利用导数研究双变量问题（等价转化、单调性、消元法）讲义-2026届高三数学二轮复习

利用导数研究双变量问题 知识梳理： 1、双变量问题:导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m和n、a和b、和，这就是双变量问题. 2、 处理导数双变量问题的常见方法 （1）构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了的单调性问题. （2）消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出. （3）等价转化法：转化为最值问题。 题型一 转化为函数单调性问题求解 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增 在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x1,x2及其对应的函数值f(x1),f(x2)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为与f(x)相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解. 例1.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若对任意的两个不相等的正数x1,x2,总有>2,求实数a的取值范围. [对点训练1]已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设a≤-2,证明:对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. 题型二　转化单变量问题求解 在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题. 例2.已知f(x)= -e2x+4ex-ax-5. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)+x1+x2<0. [对点训练2]已知函数f(x)=x2-2ax+ln x(a为常数). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),求f(x2)的取值范围. 题型三　等价转化法 (双变量存在性或任意性问题，可以依据题目条件转化为函数的最值问题。) 例3、设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 练习 已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是 ． 例4. 已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． （e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4] 练习：已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，，求的取值范围． 课后作业 1．已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 3.已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 5、已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(a>0，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤ aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为(　　) A. B．[2，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 6．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 ． 7.（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数的取值范围． 8.（2025·宁夏石嘴山·一模）设函数，且在处有极值，． (1)求实数a的值； (2)求函数的极值； (3)若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围． 9.已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证: 10.已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，对于任意，，都有恒成立，求m的取值范围. 11.已知函数，． (1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值． (2)设函数． （i）证明：函数有两个极值点，； （ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围 12.已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数研究双变量问题 知识梳理： 1、双变量问题 导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m和n、a和b、和，这就是双变量问题，它在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现. 2、 处理导数双变量问题的常见方法 （1）构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了的单调性问题. （2）消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出. （3）等价转化法：转化为函数最值 题型一 转化为函数单调性问题求解 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x1,x2及其对应的函数值f(x1),f(x2)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为与f(x)相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解. 例1、已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若对任意的两个不相等的正数x1,x2,总有>2,求实数a的取值范围. 解(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+(2a+1)=.当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-,∴当x∈0,-时,f'(x)>0,当x∈-,+∞时,f'(x)<0.∴f(x)在0,-内单调递增,在-,+∞上单调递减. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在0,-内单调递增,在-,+∞上单调递减. (2)不妨设0<x1<x2,则由>2,得f(x1)-f(x2)<2x1-2x2,即f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,令h(x)=f(x)-2x,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h'(x)=f'(x)-2=+2ax+2a-1≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a(x+1)≥1-,又x+1>0,∴2a≥. 令m(x)=(x>0),则m'(x)=, 令m'(x)=0,解得x=1-(舍去)或x=+1.∴当x∈(0,+1)时,m'(x)>0; 当x∈(+1,+∞)时,m'(x)<0. ∴m(x)在(0,+1)内单调递增,在(+1,+∞)上单调递减,∴m(x)max=m(+1)==3-2,∴2a≥3-2,解得a≥. ∴a的取值范围为,+∞. [对点训练1]已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设a≤-2,证明:对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. (1)解当a=2时,f(x)=3ln x+2x2+1,所以f(1)=3,即切点为(1,3). 又f'(x)=+4x,所以切线斜率为f'(1)=7,因此曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=7x-4. (2)证明因为a≤-2,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+2ax=<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. 不妨假设x1≥x2,所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则g'(x)=+2ax+4. 因为a≤-2,且x>0,所以g'(x)≤0. 从而g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x1)≤g(x2),即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,故对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. 题型二　转化单变量问题求解 在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题. 例2、已知f(x)=-e2x+4ex-ax-5. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)+x1+x2<0. (1)解当a=3时,f(x)=-e2x+4ex-3x-5,f'(x)=-e2x+4ex-3=-(ex-1)(ex-3),则当ex∈(0,1)∪(3,+∞),即x∈(-∞,0)∪(ln 3,+∞)时,f'(x)<0,当ex∈(1,3),即x∈(0,ln 3)时,f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(ln 3,+∞),单调递增区间为(0,ln 3). (2)证明f'(x)=-e2x+4ex-a,令t=ex,即φ(t)=-t2+4t-a,令t1=,t2=,则t1,t2是关于t的方程t2-4t+a=0的两个不相等的正根,则Δ=(-4)2-4a=16-4a>0,即a<4,有t1+t2=4,t1t2=a>0,即0<a<4,则f(x1)+f(x2)+x1+x2=-+4-ax1-5-+4-ax2-5+x1+x2=-)+4(t1+t2)-(a-1)(ln t1+ln t2)-10=-[(t1+t2)2-2t1t2]+4(t1+t2)-(a-1)ln t1t2-10=-(16-2a)+16-(a-1)ln a-10=a-(a-1)ln a-2. 要证f(x1)+f(x2)+x1+x2<0,即证a-(a-1)ln a-2<0(0<a<4). 令g(x)=x-(x-1)ln x-2(0<x<4),则g'(x)=1-ln x+=-ln x. 令h(x)=-ln x(0<x<4),则h'(x)=-<0,则g'(x)在(0,4)内单调递减,又g'(1)=-ln 1=1,g'(2)=-ln 2<0,故存在x0∈(1,2),使g'(x0)=-ln x0=0,即=ln x0. 则当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,当x∈(x0,4)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,4)内单调递减,则g(x)≤g(x0)=x0-(x0-1)ln x0-2=x0-(x0-1)×-2=x0+-3,又x0∈(1,2),则x0+∈2,,故g(x0)=x0+-3<0,即g(x)<0,即f(x1)+f(x2)+x1+x2<0. [对点训练2]已知函数f(x)=x2-2ax+ln x(a为常数). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),求f(x2)的取值范围. 解(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+ln x,f'(x)=x-2+,所以f(1)=-,f'(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-. (2)若f(x)在定义域内有两个极值点,则x1,x2是方程f'(x)=x-2a+=0,即x2-2ax+1=0的两个不相等的正实根,从而有即a>1,又0<x1<x2,故x2>1,且2ax2=+1. 所以f(x2)=-2ax2+ln x2=-(+1)+ln x2=--1+ln x2=--1+ln ,令t=>1,则f(x2)=g(t)=-t-1+ln t,g'(t)=-<0,所以g(t)在(1,+∞)内单调递减,所以g(t)<g(1)=-,即g(t)的值域为-∞,-,所以f(x2)的取值范围是-∞,-. 题型三　等价转化法 (双变量存在性或任意性问题，可以依据题目条件转化为函数的最值问题。) 例3、设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 【解】　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M. 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x. 令g′(x)＞0得x＜0或x＞， 令g′(x)＜0得0＜x＜， 又x∈[0，2]， 所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以g(x)min＝g＝－， 又g(0)＝－3，g(2)＝1， 所以g(x)max＝g(2)＝1. 故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M， 则满足条件的最大整数M＝4. (2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max， 由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1. 在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立． 设h(x)＝x－x2ln x， h′(x)＝1－2xln x－x， 令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞. 即m(x)＝xln x在上是增函数， 可知h′(x)在区间上是减函数， 又h′(1)＝0， 所以当1＜x≤2时，h′(x)＜0； 当≤x＜1时，h′(x)＞0. 即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2]上单调递减， 所以h(x)max＝h(1)＝1， 所以a≥1， 即实数a的取值范围是[1，＋∞)． (1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． (2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题． [对点训练3] 已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的定义域为，， 当时，，，为增函数， 所以； 若存在，使得对任意的，恒成立， 即 ， ， 当时，为减函数，， ∴，， ∴ 故答案为. 例4.已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（    ） A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4] 【答案】B 【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，， 由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减， 在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e， 所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在， 图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，， 可得a–4≤0<e<，解得ea≤4． 故选:B． 练习：已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）用导数法求函数的单调性即可； 【详解】（1）． 在和上，，单调递增． 在上，，单调递减． 综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减． 又，，，． 所以在上，． 又． 所以在上，，， 即． 因为，，， 所以解得． 故的取值范围是． 课后作业 基础题组练 1．已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 2．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 3.已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令， 依题意得方程有两个不等正根，，     则， ， 令， 在上单调递减， ， 故的取值范围是， 故选：B 4．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 解析：选A．由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A． 5、已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(a>0，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤ aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为(　　) A. B．[2，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 答案　C 解析　依题意，得aln a＋e－4≥0, ① 因为f′(x)＝axln a＋ex－1－ln a＝(ax－1)ln a＋ex－1， 当a>1时，对任意的x∈[0,1]，ax－1≥0，ln a>0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0；当0<a<1时，对任意x∈[0,1]，ax－1≤0，ln a<0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0， 所以f(x)在[0,1]上是增函数，则对任意的x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，只需f(x)max－f(x)min≤aln a＋e－4，因为f(x)max＝f(1)＝a＋e－1－ln a，f(x)min＝f(0)＝1＋1＝2， 所以a＋e－1－ln a－2≤aln a＋e－4，即a－ln a＋1－aln a≤0， 即(1＋a)(1－ln a)≤0，所以ln a≥1，从而有a≥e，而当a≥e时，①式显然成立．故选C. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，即， 由，得， 当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 因为，，使得， 所以，解得， 故答案为： 7.（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对于求导，根据切线与直线平行，求出，代入进行求解单调区间； （2）由，恒成立，转化为，构造函数，转化为对恒成立，从而求解范围. 【详解】（1）的导数为， 可得的图象在处的切线斜率为， 由切线与直线平行，可得， 即，， 由，可得，由，可得， 则在上单调递增，在上单调递减． （2）因为，若，由， 即恒成立，设， 所以在为增函数， 即对恒成立， 可得在恒成立， 由的导数为， 当，可得，在单调递减，在单调递增， 即在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 则实数的取值范围是． 8.（2025·宁夏石嘴山·一模）设函数，且在处有极值，． (1)求实数a的值； (2)求函数的极值； (3)若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值0，极大值32 (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）先计算导函数，再代入1得出函数值为0计算求参； （2）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出函数极值； （3）先把恒成立问题转化为最值，再结合基本不等式求出最小值即可得出参数范围. 【详解】（1），由已知得，解得． （2）由（1）得，则， 令，解得， 当，当， 当，可得当时，函数取极小值． 当时，取得极大值. （3）存在，使得，都有成立 等价于， 又由（1）（2）可知，当时，． 故，，即成立． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 故，即的取值范围为． 9.已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证: 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：， 因为函数的定义域上有两个极值点，，且， 所以方程在上有两个根，，且， 即在上有两个不相等的根，， 所以，解得， 当时，若或，，，所以函数在和，上单调递增， 若，所以函数在，上单调递减， 故函数在上有两个极值点，，且， 所以，实数的取值范围是； （2）证明：由（1）知，，是方程在上有两个不等的实根， 所以，其中， 故 ， 令，其中，故（a）， 令，所以函数（a）在上单调递增， 由于，（1）， 所以存在常数，，使得，即，， 且当时，，所以函数（a）在上单调递减， 当时，，所以函数（a）在上单调递增， 所以当时，， 又，， 所以（a），即（a）， 所以． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了隐零点问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 10.已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，对于任意，，都有恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，. 令，解得或. 当，令得或；令得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，恒成立，∴函数在上单调递增； 当，令得或；令得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 当，函数在和上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知：当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ∴. 又，，∴. ∴对任意，，. ∵对于任意，，都有恒成立， ∴恒成立，即恒成立，即恒成立，∴. 设，，则. ∵，，∴当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴. 11.已知函数，． (1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值． (2)设函数． （i）证明：函数有两个极值点，； （ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析，（ii） 【详解】（1）由可得，令，可得，所以， 所以直线与函数的图象相切于点. 将点代入，可得即切线方程为. 将切线方程代入中， 可得.， 令判别式即得. 所以实数的值为. （2）（i）， 则， 考虑到的判别式，以及， 所以有两个不等实根，， 设，且，， 所以当，；当时，； 当时，， 即函数有两个极值点，. （ii） = ， 若恒成立，则恒成立， 记则， 所以在上递增，因为，所以由可得， 所以实数的取值范围为. 12.已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ). 【详解】(Ⅰ)当时，，所以 所以 所以曲线在处的切线方程为，即 (Ⅱ)的定义域是， 令，得 ①当时，，所以函数的单调增区间是 ②当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 ③当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 (Ⅲ)因为，所以 当时， 所以在上恒成立，所以在上单调递增 所以在上的最小值是，最大值是 即当时，的取值范围为 由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增 因为，所以不合题意 当时，，在上单调递减 所以在上的最大值为，最小值为 所以当时，的取值范围为 “对于任意，总存在，使得成立”等价于 即，解得 所以的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $