23.3 一次函数与方程（组）、不等式2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.3 一次函数与方程（组）、不等式 一、单选题 1．由于直线与平行，则方程组的解的情况是（   ） A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解 2．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 4．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 二、填空题 5．如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 6．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 7．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）． 8．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)的值为___________； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________． 三、解答题 9.人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 10.学校准备购进一批节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元． (1)求一只型节能灯和一只型节能灯的售价各是多少元； (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共只，并且型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 11.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 12.如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 13.定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 14.某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线y= x-，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 15.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： (1)列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 16.我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 参考答案 一、单选题 1．B 解：∵直线与平行，两直线没有交点 ∴方程组无解 故选：B． 2．C 解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 3．B 解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．B 解：当时，，令，则，解得：； 当时，，则； 当时，，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 二、填空题 5． 解：将代入得：， 即， ∵函数和的图象交于点P， ∴关于x，y的二元一次方程组即的解是． 故答案为：． 6． 解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 7．②④ 解：一次函数的图象经过第一、三象限， ， 一次函数经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴上， ，， ，所以①错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，， 即方程的解是，所以②正确； 当时，，即， 即，所以③错误； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 一次函数与轴的交点坐标为，， 当时，，所以④正确． 故答案为：②④． 8．(1)1 (2) （1）解：函数经过点和， 代入得方程组：， 解得：，， ， 故答案为：1； （2）解：由（1）知，， 即， 即， 对于，有且， 即且， 当，恒成立，且对于恒成立，故成立， 当时，需且对于恒成立，故需且，解得，即， 当时，，不等式可化为， 要使该不等式对任意都成立是不可能的，故不符合题意， 综上，m的取值范围为． 三、解答题 9.（1）解：购买A型机器人个，则购买B型机器人个， 根据题意，得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得，解得， 在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最小， 此时． 答：购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元． 10.（1）解：设一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元 依题意得，解得 所以一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元 （2）解：设购进型节能灯只，总费用为元， 依题意得， 因，当取最大值时有最小值 ，解得 而为整数，当时，最小 此时 所以最省钱的购买方案是购进型节能灯只，型节能灯只 11.（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 12.（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 13.（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 14.（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线y= x-如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 15.（1）把，代入中得：， ， 当时，， ． （2）描点连线，如下图所示， （3）由图象可得， 不等式，即的图象在的上方， 解集为或． 16.解：（1）画出函数的图像如下： 结合函数图像，函数有最小值，没有最大值，故①正确； 当时，随的增大而增大，故②错误； 图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确； ∴说法错误的是②； （2）由图像得，当或时，函数值， ∴当函数值时，自变量的取值范围为或； 故答案为：或； （3）①如图，作直线， ∵关于的方程有两个不同的解， ∴直线与函数的图像有2个交点， 当直线经过点时，则，解得， ∴的取值范围为； ②联立， 解得或， ∴，， ∴； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ∴， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， ∴综上，存在，的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $