重难点15 三角形四心问题的5大常考题型 同步培优讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点15 三角形四心问题的5大常考题型 知识点一、三角形的重心 1、重心的定义：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 ⑤ 知识点二、三角形的内心 若点为的内心 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ② （可以从到的投影数量与其到的投影数量相等去推导） ③（根据奔驰定理推导出） ④若为所在平面内一点，则有（可以由③推导出） ⑤（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 知识点三、三角形的外心 若点为的外心 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） 变形：P为平面ABC内一动点， 若，则为三角形的外心 ③（根据奔驰定理推导出） ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. （将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ⑤；（根据投影向量可推导出） 知识点四、三角形的垂心 1、垂心的定义：三角形三条高线的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 【核心解题技巧】 （1）重心问题 优先用坐标法：已知三点坐标直接套用重心坐标公式； 向量法关键：利用“中点向量+2:1分点比例”，即（为中点）。 （2）外心问题 紧扣“垂直+等距”：垂直平分线性质转化为向量垂直（数量积为0），等距转化为模长相等； 直角三角形捷径：外心为斜边中点，直接用中点向量公式。 （3）内心问题 加权向量公式：，可快速求解参数； 坐标法：内心坐标公式，代入即得。 （4）垂心问题 核心转化：将高线转化为向量垂直（）； 锐角三角形性质：，可简化计算。 题型一：重心问题 【例1】已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【解析】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 【例2】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( ). A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】由题意， 当时，由于表示边上的中线所在直线的向量， 所以动点的轨迹一定通过的重心. 【例3】已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足λ（），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】法一：由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足λ（）2λR（）．因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故选：C． 法二：作出如图的图形，由于， ∴， 由加法法则知，在三角形的中线上 故动点的轨迹一定通过的重心． 【跟踪训练】 1．已知O是内一点，，且，则的面积为____ 【分析】由题意判断O为的重心，可得，结合，求出，可求得，即可求得答案. 【解析】由题意知O是内一点，， 设D为的中点，则， 故O为的重心，则，    又且，则， 故， 则， 2. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【解析】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 3. 已知是所在平面上的一点，若（其中为平面上任意一点），则点是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】C 【解析】由已知得， ∴，即， 由“是的重心”知点是的重心。 4. 已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为______ 【解析】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 题型二：内心问题 【例4】平面内及一点满足，，则点是的 A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】C 【解答】平面内及一点满足， 可得，所以在的平分线上， 由，可得：， 所以在的平分线上， 则点是的内心． 【跟踪训练】 1．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果. 【解析】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选:A 2.若在所在的平面内：，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【解析】∵向量的模等于1，因而向量是单位向量 ∴向量、和等都是单位向量 ∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形， ∵可得在∠BAC的平分线上 同理可得平分∠ABC，平分∠ACB，∴是的内心． 3. 已知△ABC，平面内一动点P满足λ（），则动点P过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】确定的方向与∠BAC的角平分线一致，从而可得的方向与∠BAC的角平分线一致，即可得到结论． 【解答】解：∵，分别表示，方向上的单位向量， ∴的方向与∠BAC的角平分线一致． ∵λ（），∴λ（）， ∴的方向与∠BAC的角平分线一致 ∴一定通过△ABC的内心 故选：A． 题型三：外心问题 【例5】已知是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】若，则， ∴， 则是的外心。 【跟踪训练】 1.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点分别为，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出结论. 【解析】设的中点分别为， ， ， 所以，点在线段的垂直平分线上， 同理点在线段的垂直平分线上， 所以为的外心. 故选:B. 2．若O为的外心，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【解析】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 3.已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )。 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点为， ∵ ∴ 又时， ∴ ∴点的轨迹一定在的垂直平分线上， ∴点的轨迹一定通过的外心. 4. 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解析】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 5. 设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若，则O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质，结合三角形的外心，可得所求． 【解答】解：若， 可得•（）•（）•（）＝0， 即为（）•（）＝（）•（）＝（）•（）＝0， 即有||2＝||2＝||2， 则||＝||＝||， 故O为△ABC的外心， 故选：B． 6. 已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且，，，则点O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简，得到O点到三角形三个顶点的距离，判断出O为垂心，即可求得结论． 【解答】解：∵，∴（ ）•0 即 •0 又，∴，即， ∴•（）＝0，即（）•（）＝0， ∴，∴OB＝OC 同理OA＝OC， ∴O是△ABC的外心． 故选：B． 题型四：垂心问题 【例6】在△ABC中，若•••，则点O是△ABC的　　（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 【分析】将等式••，移项、提公因式变形得•0，从而得出OB⊥CA，同理得：OA⊥BC，OC⊥AB，从而可得O为垂心． 【解答】解：∵••， ∴•0， ∴•（）＝0， ∴•0， ∴⊥， ∴OB⊥CA， 同理可得：OA⊥BC，OC⊥AB， 故答案为：垂心． 【例7】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】由题意， 由于，即， 所以表示垂直于的向量， 即点在过点且垂直于的直线上， 所以动点的轨迹一定通过的垂心. 【跟踪训练】 1.是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】由，得，即，所以． 同理可证，． ∴是的垂心． 2.已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解析】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 题型五：四心综合 【例8】设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 【例9】已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【解析】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 【跟踪训练】 1. 已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【解析】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 故选：C. 2. 已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【解析】设的中点为， 则， ∵， ∴， 而， ∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心， 故选：C. 3. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 4．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【解析】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确； 对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 一、填空题 1.已知点是的重心，若存在实数使得成立，则的值是 【答案】3 【分析】利用三角形的重心性质和平面向量基本定理易求得参数的值. 【详解】 如图，延长交于点， 因点是的重心，则， 且， 故有，即得，故. 故答案为：3. 2.已知的重心为，若，且，则______ 【分析】首先判断，再根据重心的向量表示，变形后，利用数量积公式，即可求解. 【解析】因为，故． 而，故， 则． 3．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于______ 【分析】直接利用△ABC重心的性质，可知△ABC的重心与外心重合，可得△ABC为等边三角形. 【详解】依题意， 因为，所以O也是△ABC的重心， 又因为O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°. 4.已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为______ 【分析】得为斜边的中点，过点作，垂足为，在上的投影向量为，再由、共线可得答案. 【解析】因为，所以，所以是直角三角形． 又为的外心，所以为斜边的中点，所以． 如图，过点作，垂足为， 故在上的投影向量为， 又， ， 故，因此在上的投影向量为. 5.已知为的外心，，，，则的面积为______ 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 6.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写） 【答案】外心 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【解析】如图所示：为中点，连接， ， ，故， 即，故的轨迹一定经过的外心. 故答案为：外心 7.在中，，点为的垂心，且满足，，则____ 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 二、选择题 8.已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 9.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【解析】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 10. 如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则下列结论不正确的是（  ） A． B．对于任意一点，都有 C．对于任意一点，都有 D． 【答案】A 【分析】由重心的性质及中线的向量表示可判断A，由向量的减法及A判断B，由向量的减法及B可判断C，由数量积的运算法则及相反向量可判断D. 【解析】由题意，知为的重心， 因为F是AB的中点，所以，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 由B选项可知， ，所以，故C正确； 因为， 同理，， 三式相加可得，故D正确. 故选：A 11.是所在平面上一点，若，则是的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定等式，利用数量积运算律结合向量减法计算得判断作答. 【解析】由得：，即，则有， 由，同理可得，因此，， 所以是的外心. 故选：B 12.已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为，， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线，点的轨迹过的内心. 故选：C． 13．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果. 【详解】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选:A 14.已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 15．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【分析】，结合三角形的性质得出答案. 【解析】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 16．已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】首先判断，再根据重心的向量表示，变形后，利用数量积公式，即可求解. 【解析】因为，故． 而，故， 则． 故选：B 17. 是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（ ）. A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】根据向量的四则运算结合垂直关系可知，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 又因为，可知， 所以点为的垂心. 故选：C. 18 .已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（  ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【解析】利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心． 【解析】由得：， 即，故， 故，， 又，， ，即， 同理，即，所以是的垂心． 故选：C. 19.已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（  ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由向量的数量积运算可得，即，同理可证即可得出结果. 【解析】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 20.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意利用点分别为的垂心，外心得到，并得到，借助相似及重心性质可得，结合向量关系表示即可. 【解析】因为为的外心，为的中点,所以, 因为为的垂心,所以, 所以, 易得 所以，所以. 因为为的重心，所以. 所以, 所以. 故选：B. 21在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法不正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得. 【解析】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确． B选项：，选项B正确； C选项：，选项C正确； D选项：，选项D错误； 故选：D 22．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【解析】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 23.设是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（  ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【解析】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：B 24．设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则不正确的（    ） A．O为的外心 B．O为的重心 C．O为的垂心 D．O为的内心 【答案】A 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示 【分析】由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出结果. 【详解】A.当O为三角形的外心，由正弦定理可得：，故A错误； B.当O为三角形的重心，O为中线的交点，延长AO交BC于点M，可得，所以. 反之，取BC中点M，若，则，则可得A,O,M三点共线且，即A为三角形的重心.故B正确； C.当O为三角形的垂心，，同理可证，即，反之也成立，故C正确； D. 当O为三角形的内心，O为三角形的角平分线，则，如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，则四边形AMON为平行四边形 所以，反之也成立，故D正确； 故选：A 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点15 三角形四心问题的5大常考题型 知识点一、三角形的重心 1、重心的定义：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 ⑤ 知识点二、三角形的内心 若点为的内心 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ② （可以从到的投影数量与其到的投影数量相等去推导） ③（根据奔驰定理推导出） ④若为所在平面内一点，则有（可以由③推导出） ⑤（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 知识点三、三角形的外心 若点为的外心 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） 变形：P为平面ABC内一动点， 若，则为三角形的外心 ③（根据奔驰定理推导出） ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. （将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ⑤；（根据投影向量可推导出） 知识点四、三角形的垂心 1、垂心的定义：三角形三条高线的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 【核心解题技巧】 （1）重心问题 优先用坐标法：已知三点坐标直接套用重心坐标公式； 向量法关键：利用“中点向量+2:1分点比例”，即（为中点）。 （2）外心问题 紧扣“垂直+等距”：垂直平分线性质转化为向量垂直（数量积为0），等距转化为模长相等； 直角三角形捷径：外心为斜边中点，直接用中点向量公式。 （3）内心问题 加权向量公式：，可快速求解参数； 坐标法：内心坐标公式，代入即得。 （4）垂心问题 核心转化：将高线转化为向量垂直（）； 锐角三角形性质：，可简化计算。 题型一：重心问题 【例1】已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( ). A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【例3】已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足λ（），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【跟踪训练】 1．已知O是内一点，，且，则的面积为____    2. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 3. 已知是所在平面上的一点，若（其中为平面上任意一点），则点是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4. 已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为______ 题型二：内心问题 【例4】平面内及一点满足，，则点是的 A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【跟踪训练】 1．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2.若在所在的平面内：，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 3. 已知△ABC，平面内一动点P满足λ（），则动点P过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 题型三：外心问题 【例5】已知是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【跟踪训练】 1.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．若O为的外心，且，则 ． 3.已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )。 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4. 已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 5. 设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若，则O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6. 已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且，，，则点O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 题型四：垂心问题 【例6】在△ABC中，若•••，则点O是△ABC的　　（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 【例7】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【跟踪训练】 1.是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2.已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 题型五：四心综合 【例8】设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【例9】已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【跟踪训练】 1. 已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 2. 已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 3. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 一、填空题 1.已知点是的重心，若存在实数使得成立，则的值是 2.已知的重心为，若，且，则______ 3．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于______ 4.已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为______ 5.已知为的外心，，，，则的面积为______ 6.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写） 7.在中，，点为的垂心，且满足，，则____ 二、选择题 8.已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 9.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10. 如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则下列结论不正确的是（  ） A． B．对于任意一点，都有 C．对于任意一点，都有 D． 11.是所在平面上一点，若，则是的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 12.已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 13．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 14.已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 15．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 16．已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 17. 是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（ ）. A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 18 .已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（  ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 19.已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（  ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 20.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（  ） A． B． C． D． 21在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法不正确的有（  ） A． B． C． D． 22．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 23.设是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（  ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 24．设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则不正确的（    ） A．O为的外心 B．O为的重心 C．O为的垂心 D．O为的内心 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $