重难点03 解三角形的中线、角平分线、高线问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 解三角形中的中线、角平分线、高线问题 知识点一、中线处理方法 在中，为的中点，是底边的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有： 1、中线的向量表示：，通过平方进一步转化为数量积问题. 2、中线长定理：. 3、极化恒等式：. 4、底边邻补角互补：，所以. 5、底边公共角相等：,，所以,. 6、中线的性质：平分的面积，. 注:若或将条件“为的中线”换为“”则可以考虑方法①或方法②. 知识点二、角平分线处理方法 如图,中,平分. 1、角平分线定理: 2、等面积法 3、余弦定理:邻补角余弦值为相反数, 即. 知识点三、高线处理方法 如图,中,为的高线. 1、等面积法: 2、 3、射影定理: 题型01：求中线的长、最值与范围 【方法点拨】1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 【例1】在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 【例2】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【例3】在中，的对边分别为. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 【跟踪训练】 1.在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求边上的中线的长． 2.如图：在中，，，． （1）求角； （2）设为的中点，求中线的长． 3.已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 4.记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)的外接圆半径为1，是边的中点，求的最小值． 题型02：已知中线长，解三角形 【例4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积． 【例5】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【跟踪训练】 1.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，边上的中线，求的面积． 2.已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 3.在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 题型03：类中线问题 【方法点拨】线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量 D A C B 【例6】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【跟踪训练】 1.如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，． (1)证明：； (2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积． ①； ②． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 2.如图，在中，，，且点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，，求的面积． 3.在中，内角的对边分别为，． (1)求角； (2)是边上的点，若，，求的值． 题型04：求角平分线的长、最值与范围 【方法点拨】等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). 【例7】在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【例8】已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【跟踪训练】 1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）求角的余弦值； （2）若，角的平分线交于点，求的长度。 2.如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 3.的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 题型05：已知角平分线，解三角形 【方法点拨】如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 技巧1：内角平分线定理： 技巧2：等面积法， 技巧3：边与面积的比值： 技巧4:角互补：+, 在△, 在△, 【例9】在中，角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）设为边AB上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 【跟踪训练】 1.在中，已知内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求角； (2)若，角的平分线，求的面积. 2.在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 3.已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 4.在中，设角，，所对的边分别为，，，且 (1)求； (2)若为上的点，平分角，且，，求. 5.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值. 6.在中，，，为的内角平分线，. （1）求的值 （2）求角的大小 题型06：三角形的高线与垂线问题 【方法点拨】垂线问题的处理策略 1、等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. 2、AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD. 【例10】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A. （2）若，边上的高为3，求c. 【例11】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【跟踪训练】 1.已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 2.设的内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若边上的高为，求． 3.如图，在中，．   (1)求的长； (2)设为边上一点，且，求的面积； (3)求的值． 4.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，满足. (1)求； (2)点D在BC上，，，求AB. 【例12】在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【跟踪训练】 1.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 2.已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 3.如图．在锐角中，点D为边上一点，=，且，．    (1)求边的长； (2)若点D为边BC的中点，求的面积． (3)若AD为的平分线，求的面积． 1.在锐角中，角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，，为的中点，求. 2.在中，角的对边分别为已知，． (1)求； (2)若，边的中点为，求． 3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 4.已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 5．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值. 6.在中，内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)点是线段的中点，且，求的周长． 7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 8. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 9.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是上的一点，且，求的最小值． 10. 在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 11.已知中，．是的角平分线，交于． （1）求的值； （2）求的长． 12.在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积. 13.设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且． (1)求； (2)若，求． 14. 在平面四边形ABCD中，，，. (1)若△ABC的面积为，求AC； (2)若，，求. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为4，求BC边上的高． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 解三角形中的中线、角平分线、高线问题 知识点一、中线处理方法 在中，为的中点，是底边的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有： 1、中线的向量表示：，通过平方进一步转化为数量积问题. 2、中线长定理：. 3、极化恒等式：. 4、底边邻补角互补：，所以. 5、底边公共角相等：,，所以,. 6、中线的性质：平分的面积，. 注:若或将条件“为的中线”换为“”则可以考虑方法①或方法②. 知识点二、角平分线处理方法 如图,中,平分. 1、角平分线定理: 2、等面积法 3、余弦定理:邻补角余弦值为相反数, 即. 知识点三、高线处理方法 如图,中,为的高线. 1、等面积法: 2、 3、射影定理: 题型01：求中线的长、最值与范围 【方法点拨】1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 【例1】在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． （2）在中，由余弦定理得：， 得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 【例2】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【例3】在中，的对边分别为. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理可得，， ，，， 即， . （2）由（1）知，由，则.设，，，，. 【跟踪训练】 1.在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求边上的中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意可得， 因为，所以，则， 因为，所以． （2）因为，所以． 因为， 所以， 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 则． 2.如图：在中，，，． （1）求角； （2）设为的中点，求中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意，中，，则． 由正弦定理，即，得， 又由，则为钝角，为锐角， 故． （2）根据题意，， 则． 由正弦定理得，即得． 在中由余弦定理得： ， 故． 3.已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出； （2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故， 故，， 又，故； （2）因为，为的中线， 所以， 又， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 4.记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)的外接圆半径为1，是边的中点，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，即， 由余弦定理得，而， 所以. （2）由的外接圆半径为1及正弦定理得， 则，当且仅当时取等号，， 由是边的中点，得，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 题型02：已知中线长，解三角形 【例4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积． 【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，化简得．因为，，所以．因为，所以． （2）因为为的中点，所以，等式两边平方得，即①．在中，由余弦定理得②，联立①②解得，所以． 【例5】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【跟踪训练】 1.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，边上的中线，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由两角和正弦公式和正弦定理结合题意得，再由辅助角公式即可求角A； （2）先由结合余弦定理求出，接着由余弦定理求出，再由正弦定理面积公式即可计算求解. 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得， 又因为，所以，所以， 所以即， 又因为，所以， 所以，所以. （2）因为， 所以即， 所以， 所以由余弦定理得，解得， 所以. 2.已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，则， 因为， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. 3.在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. （2）在中，因为， 由余弦定理得， 即，解得或，   当时，， 则，即，此时周长； 当时， 则，即，此时周长为， 综上所述，的周长为或. 题型03：类中线问题 【方法点拨】线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量 D A C B 【例6】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】 （1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【跟踪训练】 1.如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，． (1)证明：； (2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积． ①； ②． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解； （2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解； 选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，利用锐角三角函数的定义，得出角 ，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解. (1) 因为， 所以， 故； (2) 选①． 因为， 所以 在中，由余弦定理可得， 由正弦定理可得 所以，故， 在中，因为，所以， 又． 选②， 设，则，在中，， 由（1）得， 解得，即 在中，则 ,， 所以， 所以． 所以. 2.如图，在中，，，且点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的长； （2）由已知可得出，结合三角形的面积公式以及已知条件可求得、的长，利用余弦定理可求得的长，进而可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. (1) 解：，，则， ，解得，， ，， 在中，由正弦定理可知得. (2) 解：由得，所以， 因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，得，所以， . 3.在中，内角的对边分别为，． (1)求角； (2)是边上的点，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得，由此可得； （2）设；在和分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于的方程，解方程可求得结果. (1) 由得：， 由正弦定理得：， ，又，， ； 有意义，，，即， 又，. (2) ，， 设，则， 在中，由正弦定理得：，即； 在中，由余弦定理得：； ，解得：， 即，又，. 题型04：求角平分线的长、最值与范围 【方法点拨】等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). 【例7】在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理及得，， 由余弦定理可得， 因为，所以． （2）由（1）得角， 又因为为的平分线，点在上，所以， 又因为，且，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得． 【例8】已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解； （2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 【跟踪训练】 1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）求角的余弦值； （2）若，角的平分线交于点，求的长度。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）∵由，及正弦定理得：， ∴，， 由余弦定理可得：. （2）由（1）得：，， ∴， ∴，∴， ∵由余弦定理可得，∴， ∴ . 在中，由正弦定理得，得：. （其他合理答案可酌情给分，比如利用角平分线定理）. 2.如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 3.的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：，则， 而，且，则． （2）因为，所以由余弦定理得，即， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 因为，所以， 解得，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．    题型05：已知角平分线，解三角形 【方法点拨】如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 技巧1：内角平分线定理： 技巧2：等面积法， 技巧3：边与面积的比值： 技巧4:角互补：+, 在△, 在△, 【例9】在中，角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）设为边AB上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 【答案】（1） （2）3 【解析】（1）由已知可得， 即， ∴， ∴，∴cos. ∵，∴； （2）由（1）知，设点到边的距离为， 则点到的边的距离也为， 因为平分，∴， ∵，， 由，得， 设，则， 分别在和中由余弦定理得，，. ∴，解得，∴. 【跟踪训练】 1.在中，已知内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求角； (2)若，角的平分线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理化简题设可得，进而结合两角和的正弦公式可得，进而求解； （2）结合角平分线利用等面积法可得，进而求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 整理得， 即， 又，则， 所以. （2）因为为角的平分线， 所以， 由，得， 即，解得， 所以.    2.在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【答案】（1）；（2）,1 【详解】（1），，∵，，∴．由正弦定理可知. （2）∵，，∴．设，则，在△中，由余弦定理可知，①，在△中②，解得，即． 3.已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可 (1) 在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 (2) 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 4.在中，设角，，所对的边分别为，，，且 (1)求； (2)若为上的点，平分角，且，，求. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边整理得，再结合余弦定理；（2）利用等面积，整理得，再由角平分线的性质代入计算． (1) 因为， 所以由正弦定理可得：，整理得. 由余弦定理得： 又因为所以 (2) 由（1）知. 又因为平分角，所以. 由得. 即. 又因为，，所以. 再由角平分线的性质可知： 5.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角之间互化，再根据三角恒等变化化简求值； （2）利用三角形面积公式得到，从而利用基本不等式求得，由此可得面积的最小值. 【详解】（1）由正弦定理可得，, 所以，即， 因为是的内角，所以， 得，所以， 所以. （2）因为，平分，所以，又， 则由，得， 所以， 又，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故最小值为. 6.在中，，，为的内角平分线，. （1）求的值 （2）求角的大小 【答案】（1）2；（2）. 【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得： 在三角形ACD中,由正弦定理得： 因为 （2）在三角形ABD中, 由余弦定理得 在三角形ACD中, 由余弦定理得 又解得 又 题型06：三角形的高线与垂线问题 【方法点拨】垂线问题的处理策略 1、等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. 2、AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD. 【例10】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A. （2）若，边上的高为3，求c. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）中，∵， 由正弦定理得， ∴， 即； ∵为内角，， ∴， 又∵为内角，∴. （2）因为 将，，代入，得. 由余弦定理得， 于是， 即，解得或. 【例11】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 【分析】 (1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解； (2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得. 【详解】 (1)设，在中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 【跟踪训练】 1.已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由， 所以. 由正弦定理可得：，因为，所以. 所以，又，所以. （2）因为，边上的高为， 所以. 根据正弦定理：. 由余弦定理：， 所以或（舍去），所以. 所以的周长为：. 2.设的内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若边上的高为，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理，得， 所以，， 所以，， 又因为，所以，，则， ，因此，. （2）因为的面积，则， 由余弦定理，得， 所以，，所以，. 3.如图，在中，．    (1)求的长； (2)设为边上一点，且，求的面积； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据数量积和三角形的面积公式求出，进而求得，再由余弦定理即可得解； （2）先由余弦定理求出角，进而可求得，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）先由余弦定理求出角，根据二倍角公式求出，再根据两角和的正弦公式即可得解. 【详解】（1）易知； ，可得， 又，所以； 又，且，可得； 根据余弦定理可得， 所以. （2）由（1）知， 又，所以，可得，； 因为，所以， ， 所以， 即的面积为. （3）l利用余弦定理可得； 又，所以； 由（2）可得，； 故; 可得. 4.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，满足.    (1)求； (2)点D在BC上，，，求AB. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正余弦定理可求出，利用两角差的正弦公式求解； （2）在△ABD中，由正弦定理求解即可得解. 【详解】（1）由已知及正弦定理得：，即. 由余弦定理得：，又，所以. 故， 所以； （2）由（1）知，又，所以， ， 在△ABD中，由正弦定理得： ，所以. 题型07：中线角平分线高线综合 【例12】在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 【跟踪训练】 1.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案； （2）根据面积法得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 2.已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值． 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 3.如图．在锐角中，点D为边上一点，=，且，．    (1)求边的长； (2)若点D为边BC的中点，求的面积． (3)若AD为的平分线，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求得,再由正弦定理即可求得 （2）首先求得sin, 再由正弦定理求得,根据 为中点，得,即可求得三角形的面积； （3）由角平分线定理，结合余弦定理，求得, 即为中点，再根据（2）的结果即可得三角形面积. 【详解】（1）由, 可得, 所以 又, 在中，由正弦定理可得 即, 故边的长为 （2）由, 可得, 所以. 在中，由正弦定理，可得, 即, 又点为边的中点， 所以 （3）若为的平分线，由角平分线定理，可得, 设, 在中，由余弦定理可得 整理得,解得或（舍去）， 故, 由可知，此时为中点， 故 1.在锐角中，角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，，为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理可得出关于的方程，结合为锐角三角形可求出的值，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：在中，因为， 所以，所以，解得或 当时，，则为钝角，不符合题意， 当时，，则为锐角，合乎题意，故， 因为为的中点，则， 所以， ，故. 2.在中，角的对边分别为已知，． (1)求； (2)若，边的中点为，求． 【答案】(1)(2) 【详解】(1)在中，由正弦定理，得 ． (2)由及，得， 中，由余弦定理，得， 即，解得或（舍），所以， 又因为边的中点为，所以即， 在中，由余弦定理得， 所以． 3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明. （2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）由，可得， 由余弦定理可知，所以. （2）（ⅰ）由，可得，． 根据三角形三边关系，知即 则解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以， 则， 所以． 令，则，因为在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 4.已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则 ，而，则，又， 所以. （2）依题意，，由（1）知，得， 在中，由余弦定理得 ，当时取到等号， 所以的最小值为. 5．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）化切为弦，利用正弦定理及两角和的正弦公式将条件化简得，即可得解. （2）根据同角函数基本关系求得，对两边平方得，进而利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 即， 所以， 由，得，即. （2）因为，， 所以，． 因为BD为AC边上的中线，所以， 又因为，所以，即， 所以， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时等号成立． 故， 所以面积的最大值为． 6.在中，内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)点是线段的中点，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合三角恒等变换的公式和正弦定理，化简得到，即可求解； （2）根据题意，得到，进而得到，结合余弦定理，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 由， 可得 所以，所以，即， 又由正弦定理，可得，所以． （2）解：因为点是线段的中点，所以，可得， 则， 由余弦定理得， 又由（1）知，，则， 联立方程组，解得，则， 所以的周长为． 故的周长为．    7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）  在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理得，则，因为，所以，而．所以，即． （2）由，得，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，，即，整理得，，在中，由余弦定理得，∴，故，即，所以. 8. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，由正弦定理得，即，所以，又，所以； （2）法一：由M在边BC上满足，可得，两边平方可得，所以，所以，当且仅当时取“”，所以，所以，即面积的最大值为. 法二：由，则，由余弦定理可得，即，可得，又因为，所以，当且仅当时取“＝”，所以，所以，即面积的最大值为. 9.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是上的一点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简可得，再根据角度关系分析即可； （2）根据平面向量基本定理可得，再两边平方可得，结合余弦定理可得，再令，结合函数单调性与最值求解即可. 【详解】（1）， 又，则或， 若，则； 若，则，又，不符合题意，舍去， 综上所述. （2） ①，又②， ①÷②得： 令，又， ， 令 令， 令， 当时，当时， 由对勾函数性质可得当时，为减函数，故， 同理当时， 所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为 10. 在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案 (1) 在中，由余弦定理 整理得 解得或 由于，所以 因为，所以，所以 由正弦定理得：，故 (2) 设， 由及三角形的面积公式可得： 整理得 在中，由余弦定理 由得 则 11.已知中，．是的角平分线，交于． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的长． 【答案】（I）；（II）. 【解析】（Ⅰ）在中，，在中， 因为是的角平分线，所以 （Ⅱ）法一：由题知， 所以 ，所以 法二： 所以 12.在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得. （2）根据三角形的面积公式、余弦定理，先求得，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理得， 由于是三角形的内角，所以， 所以，则， 由于，所以， 所以， 所以，所以. （2）由余弦定理得， 由三角形的面积公式得， 整理得， 所以， ， 解得，所以三角形的面积为. 13.设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用等面积法结合已知条件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值. (1) 解：由及正弦定理可得， 、，则，所以，，解得， 所以. (2) 解：因为，即， 所以，因为，则， 所以，所以. 14. 在平面四边形ABCD中，，，. (1)若△ABC的面积为，求AC； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求； （2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解. (1) 在△中，，， ∴，可得， 在△中，由余弦定理得， . (2) 设，则， 在中，，易知：， 在△中，由正弦定理得，即， ，可得，即. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为4，求BC边上的高． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高. (1)，即． ， ， ． 又，． (2)，． 故由余弦定理可知． 而， 解得，所以BC边上的高为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $