重难点19 向量的六大模型（爪子定理、极化恒等式、矩形大法、等和线、奔驰定理与三角形的四心 ）同步培优讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点19 向量的六大模型 方法一、爪子定理 【方法点拨】“鸡爪定理”的图示及性质： 已知在线段上，且，则 1．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 2．如图所示，已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，则的值为　　． 3．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 4．若点是所在平面内一点，且满足：． （1）求与的面积之比． （2）若为中点，与交于点，设，求，的值． 方法二、极化恒等式 【方法点拨】极化恒等式 平行四边形模式：. 三角形模式：在中，设为的中点，则. 5. 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． 6.在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 7.已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________． 9. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 10.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为______ 方法三、矩形大法 【方法点拨】 ①已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则：. ②矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则： 11．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 12．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 13．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法四、等和线 【方法点拨】 1.向量等和线定理：平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. 三点共线+平行线移动(三角形相似) 证明：,设 结合与(或与)同向或反向确定m正负 在上述推理过程中，暗含着,即和的系数相等(等系数) 这条线(和线)与平行，可以认为是这条线平行移动的结果，故在解题过程中，我们可以将这条线平行移动，确定临界位置，从而确定m的取值范围，即系数之和的范围 2．性质 （1）当等和线恰为直线AB时，，称为基线； （2）当等和线在O点和直线 AB之间时，； （3）当直线AB在O点和等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； （6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比； 14.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    15.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为_______ 16.如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是_____ 17.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为_______ 18.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 19.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 方法五、三角形的四心 【方法点拨】 一、三角形的重心 1、重心的定义：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 ⑤ 二、三角形的内心 若点为的内心 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ② （可以从到的投影数量与其到的投影数量相等去推导） ③（根据奔驰定理推导出） ④若为所在平面内一点，则有（可以由③推导出） ⑤（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 三、三角形的外心 若点为的外心 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） 变形：P为平面ABC内一动点， 若，则为三角形的外心 ③（根据奔驰定理推导出） ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. （将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ⑤；（根据投影向量可推导出） 四、三角形的垂心 1、垂心的定义：三角形三条高线的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 20.已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满 ，，则的轨迹一定通过的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 21.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足λ（），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 22.若在所在的平面内：，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 23.平面内及一点满足，，则点是的 A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 24.已知是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 25.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 26.已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )。 A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 27.在△ABC中，若•••，则点O是△ABC的　　（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 28.已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 29.是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 30.已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 31.已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 方法六、奔驰定理 【方法点拨】1、奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 奔驰定理：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 变形：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 2、奔驰定理与三角形四心关系 （1）是的重心 （2）是的内心 （3）是的外心 （4）是的垂心 32.已知点O为△ABC内一点，且，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 . 33．设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为_______ 34.已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 35.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________ 36.已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为_____ 37.已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 38.已知点，为中不同的两点，若，，则为_______ 39.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 40．已知三角形的外心满足，则_____． 41.设锐角的外心为，满足，，则_____ 42.已知O为△ABC的垂心，且，则角A的值为 . 43.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 一、填空题 1．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点与点不重合），设，，则的最小值为_____ 2.在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 3.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 4.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 5.如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是_______ 6.如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________ 7.线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 8.已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 9.已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为_______ 10.已知向量满足,,则的最大值等于 11.已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 12.如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是_____________    13.如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 14.边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是_______ 15.如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 16.设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 17.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,则的取值范围为_________. 18．已知点是的重心，，，，则 ． 19.点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是_______ 20.已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是______ 21.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为______ 22.已知点是内一点（如图），若，，，且（，为实数），则______． 23.如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 二、选择题 24.平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ） A． B． C． D． 25.在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 26.已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 27．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 28.已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 29.在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 30.是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（ ）. A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 31.已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 32．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 33.已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 34.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，则有．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题不正确的有（ ） A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．若，则 D．若O为△ABC的垂心，则 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点19 向量的六大模型 方法一、爪子定理 【方法点拨】“鸡爪定理”的图示及性质： 已知在线段上，且，则 1．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 【解析】解：根据条件：，； 又； ； 又，，三点共线； ； ，； ； 的最小值为．当且仅当． 故选：． 2．如图所示，已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，则的值为　　． 【解析】解：根据题意为三角形的重心， ， ， ， 由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得， 即， ， 消去得， ， 即． 3．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】作出图形，由 可推得，利用条件将其化成，再运用平面向量基本定理得，解之即得. 【详解】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 4．若点是所在平面内一点，且满足：． （1）求与的面积之比． （2）若为中点，与交于点，设，求，的值． 【解析】解（1）由， 根据三点共线的性质，，且与不共线， 可知、、三点共线． 如图令， ，即面积之比为． （2）由， ， 由、、三点共线及、、三点共线 方法二、极化恒等式 【方法点拨】极化恒等式 平行四边形模式：. 三角形模式：在中，设为的中点，则. 5. 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． 【答案】－16　 【解析】因为M是BC的中点，由极化恒等式得·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16. 6.在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 7.已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 8.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________． 答案　2 解析　如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则·＝2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号． 所以·的最大值为2. 9. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 10.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为______ 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 方法三、矩形大法 【方法点拨】 ①已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则：. ②矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则： 11．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算和数量积的运算转化可得，由两边平方，可以求得的值，进而得解. 【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 12．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】如图所示，令，，，易知， 则作矩形，根据矩形大法可知， 即， 根据，， 即， 13．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得. 【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 方法四、等和线 【方法点拨】 1.向量等和线定理：平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. 三点共线+平行线移动(三角形相似) 证明：,设 结合与(或与)同向或反向确定m正负 在上述推理过程中，暗含着,即和的系数相等(等系数) 这条线(和线)与平行，可以认为是这条线平行移动的结果，故在解题过程中，我们可以将这条线平行移动，确定临界位置，从而确定m的取值范围，即系数之和的范围 2．性质 （1）当等和线恰为直线AB时，，称为基线； （2）当等和线在O点和直线 AB之间时，； （3）当直线AB在O点和等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； （6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比； 14.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值 【详解】 如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    15.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为_______ 分析：如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 16.如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是_____ 【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则， ，设，则，解得， 故，即， 数形结合可得当时，取最小值2， 当直线与圆相切时，，取得最大值 . 故选：B 17.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为_______ 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 18.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2． 令，则由 得． 由三点共线可得 19.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 方法五、三角形的四心 【方法点拨】 一、三角形的重心 1、重心的定义：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 ⑤ 二、三角形的内心 若点为的内心 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ② （可以从到的投影数量与其到的投影数量相等去推导） ③（根据奔驰定理推导出） ④若为所在平面内一点，则有（可以由③推导出） ⑤（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 三、三角形的外心 若点为的外心 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） 变形：P为平面ABC内一动点， 若，则为三角形的外心 ③（根据奔驰定理推导出） ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. （将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ⑤；（根据投影向量可推导出） 四、三角形的垂心 1、垂心的定义：三角形三条高线的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 20.已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满 ，，则的轨迹一定通过的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】由题意， 当时，由于表示边上的中线所在直线的向量， 所以动点的轨迹一定通过的重心. 21.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足λ（），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】法一：由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足λ（）2λR（）．因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故选：C． 法二：作出如图的图形，由于， ∴， 由加法法则知，在三角形的中线上 故动点的轨迹一定通过的重心． 22.若在所在的平面内：，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【解析】∵向量的模等于1，因而向量是单位向量 ∴向量、和等都是单位向量 ∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形， ∵可得在∠BAC的平分线上 同理可得平分∠ABC，平分∠ACB，∴是的内心 23.平面内及一点满足，，则点是的 A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】C 【解答】平面内及一点满足， 可得，所以在的平分线上， 由，可得：， 所以在的平分线上， 24.已知是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】若，则， ∴， 则是的外心。 25.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点分别为，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出结论. 【解析】设的中点分别为， ， ， 所以，点在线段的垂直平分线上， 同理点在线段的垂直平分线上， 所以为的外心. 故选:B. 26.已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )。 A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点为， ∵ ∴ 又时， ∴ ∴点的轨迹一定在的垂直平分线上， ∴点的轨迹一定通过的外心. 27.在△ABC中，若•••，则点O是△ABC的　　（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 【分析】将等式••，移项、提公因式变形得•0，从而得出OB⊥CA，同理得：OA⊥BC，OC⊥AB，从而可得O为垂心． 【解答】解：∵••， ∴•0， ∴•（）＝0， ∴•0， ∴⊥， ∴OB⊥CA， 同理可得：OA⊥BC，OC⊥AB， 故答案为：垂心． 28.已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】由题意， 由于，即， 所以表示垂直于的向量， 即点在过点且垂直于的直线上， 所以动点的轨迹一定通过的垂心. 29.是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】由，得，即，所以． 同理可证，． ∴是的垂心． 30.已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【解析】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 31.已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 方法六、奔驰定理 【方法点拨】1、奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 奔驰定理：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 变形：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 2、奔驰定理与三角形四心关系 （1）是的重心 （2）是的内心 （3）是的外心 （4）是的垂心 32.已知点O为△ABC内一点，且，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 . 解析：由奔驰定理得，则 33．设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为_______ 【分析】延长至，使；延长至，使，可得是△的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论． 【解析】解：延长至，使；延长至，使，则 是△的重心， ， ，， ， 34.已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 解析：因为， 所以，所以． 35.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________ 【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 【解析】如图，D为BC边的中点， 则 因为－－＝ 所以， 所以 所以. 36.已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为_____ 【分析】结合平面向量的线性运算得到，进而根据等底等高的三角形面积相等即可求出结果. 【解析】 取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此, 37.已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以. 设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为. 38.已知点，为中不同的两点，若，，则为_______ 【分析】设，的中点分别为，，由可得点在上，且，即可得到，再根据重心的性质得到，即可得解. 【解析】因为， 如图所示，设，的中点分别为，， 因为，点在上，且， 到边的距离与C到边的距离比值为：，可得， 由可得是三角形的重心，因此， 所以， 39.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 40．已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 41.设锐角的外心为，满足，，则_____ 【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案. 【详解】    如图，圆是锐角的外接圆，设其半径为， 则， 由可得，即， 也即①. 又由两边平方可得，即， 也即② 联立①和②，解得，因为锐角三角形，故有，， 从而，， 于是，. 42.已知O为△ABC的垂心，且，则角A的值为 . 解析：由奔驰定理的三角形垂心定理可得 则，又因为，所以，则. 43.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【解析】如图，因为， 所以，同理，， 所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，， ， ． ， ． 又 ． 由奔驰定理得. 故选C． 【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题. 一、填空题 1．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点与点不重合），设，，则的最小值为_____ 【解析】解：为的重心， 又在线段上， 2.在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 3.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【答案】4 【解析】取的中点,连接,则, 在中,, 4.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 故答案为： 6. 如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是_______ 【解析】由题意可得， 为使最小，只需最小， 所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点， 又，因此， 所以的最小值为. 6.如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________ 【答案】2 【解析】如图, 取的中点,的中点,连接,则 （当且仅当三点共线时等号成立.)由极化恒等式得 7.线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意知，连接，为的中点， 则， 可得， 又因为，则圆心O到直线CD的距离为， 由点P在线段CD上可知，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 8.已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 【答案】 【解析】设点为中点,则, 设中点为,连接, 则, 由极化恒等式得, 在中,, 可得, 所以当时,的最小值为, 因此的最小值为 9.已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为_______ 【解析】因为动点满足， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以.故选：C 10.已知向量满足,,则的最大值等于 【答案】8 【详解】设向量起点为,终点分别为A,B,C， 易知点C在以O为圆心半径为1的圆上 则。补成矩形OADB， 则即,所以CD 而即的最大值为8 即的最大值为8 11.已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 【答案】/1.5 【分析】设在直线上的投影为点，则，确定取得最大值时情况，求出BQ即可求解. 【详解】设在直线上的投影为点，则， 所以当且在射线上时，最大， 又的半径为1，是的一条弦，且， 此时四边形为菱形且， 所以，则. 故答案为： 12.如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是_____________    【答案】 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【解析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    13.如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】连接，则，， 因为，所以, 因为点是圆及其内部任意一点， 所以，且当三点共线时，取得最值， 当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形, 则和为等边三角形， 所以， 所以， 所以的最大值为， 同理可求得的最小值为， 所以， 故答案为： 14.边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是_______ 【解析】 如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知. 15.如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 16.设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】如图,取中点,则 此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大, 由于, 所以, 于是的最大值为 所以的取值范围是. 故答案为： 17.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中. 考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义, 将条件转化为. 此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是. 依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是. 故答案为： 18．已知点是的重心，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质可得，平方后即可求得答案. 【详解】由于点是的重心，故， 故， 即， 故 ， 故答案为： 19.点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是_______ 【解析】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 20.已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是______ 【分析】取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解. 【详解】如下图所示，、分别是、中点， 由 得即，所以， 由，， 设，， 则，， 由三角形相似比可得，解得， 因为，所以，即， 所以， 所以，即的面积与的面积之比是 21.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为______ 【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比 【详解】解：，，如图：    ， ， 、、三点共线，且，为三角形的中位线 而 ，，的面积之比等于 22.已知点是内一点（如图），若，，，且（，为实数），则______． 【解析】由，，，得到，因此根据奔驰定理就有，于是，于是， 又，所以，， 所以． 23.如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 【答案】①②④ 【分析】对于①:利用重心的性质代入即可. 对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记, 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向. 二、选择题 24.平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 故选：B 25.在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 26.已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 27．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 28.已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 29.在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 30.是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（ ）. A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】根据向量的四则运算结合垂直关系可知，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 又因为，可知， 所以点为的垂心. 故选：C. 31.已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 32．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】先对题设中的等式进行变形，可得，即在边的垂直平分线，由此选出正确选项． 【详解】， ， ， ，即，即， 在边的垂直平分线上， 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心. 故选：B． 33.已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 34.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，则有．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题不正确的有（ ） A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．若，则 D．若O为△ABC的垂心，则 【解析】 由重心定理可知，选项A正确； 对于B，由奔驰定理可知，若，则， 选项B正确； 对于C，在△AOB中，由，可知， ，又， 所以，则， 所以，选项C错误； 对于D，如图右，结合奔驰定理，我们只需要证明，我们先验证，同理，选项D正确．故选C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $