重难点18 向量的最值与范围问题 同步培优讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点18 向量的最值与范围问题 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路 (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法 (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基本不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. (4)极化恒等式 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 平行四边形模式：. 三角形模式：(M为BC的中点)(如图). 题型01：与向量共线有关的最值与范围 【例1】在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为_______ 【跟踪训练】 1.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则λ2+μ2的最小值为______ 2. 如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为___    3.在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为______ 题型02：与向量数量积有关的最值与范围 【例2】已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，点P在线段AD（包括端点）上运动，则的取值范围是 　　． 【例3】已知满足，，，，为直线上的动点，且，则的最小值为 ． 【例4】已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【跟踪训练】 1. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为________ 2. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值最小值是_______ 3.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.等边的外接圆的半径为，点是该圆上的动点，则的最大值为_______ 题型03：与模有关的最值与范围 【例5】已知单位向量，的夹角为，则||的最小值为_______ 【跟踪训练】 1. 已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2. 设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 3. ，则的最大值是_________ 4.在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是________ 题型04：与向量夹角的最值与范围 【例6】设为非零向量2||，则与的夹角的最大值为_______ 【例7】已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【例8】已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，是平面向量，满足||＝4，||≤1且2，则cos，的最小值是_____ 2.平面向量，满足，，则与夹角的最大值为_____ 3.若向量（1，2）与（t﹣1，）的夹角为锐角，则t的取值范围为____ 题型05：平面向量系数的最值与范围 【例9】已知、是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若xy，其中x、y∈R，则x+y的最大值是_____ 【跟踪训练】 1.已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是_____ 2.已知向量||＝||2，λμ（λ，μ∈R），且||＝||，则λ+μ的取值范围是 　　． 3.已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是_____ 4.在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06：平面向量与三角函数结合的最值与范围 【例10】已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【跟踪训练】 1. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 1. 如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 2.在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为_______ 3.如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为_______ 4.如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 5.如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 6.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是______ 7.平面向量满足，若，则最小值为_____ 8．已知向量，均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为_____ 9.设为两个非零向量，所成的角，已知对任意，的最小值为，则 . 10．已知平面向量满足，，为不共线的单位向量．且恒成立，则，夹角的最小值为_______ 11.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为________ 12.已知向量（6，λ），（﹣3，2），若，为钝角，则λ的范围是 　 　． 13.已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为_____ 14.如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为_____    15.如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 16.如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    17.如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 18.已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为； （1）求函数的解析式； （2）求函数的严格增区间； （3）将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围. 19.已知、都是单位向量，，，函数，. （1）当时，求值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点18 向量的最值与范围问题 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路 (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法 (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基本不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. (4)极化恒等式 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 平行四边形模式：. 三角形模式：(M为BC的中点)(如图). 题型01：与向量共线有关的最值与范围 【例1】在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为_______ 【分析】画出图形，通过向量线性运算分析得到，从而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意验证取等条件是否满足. 【解析】如图所示： 不妨设，则， 同理设，则， 所以 又由题意， 所以， 从而， 当时，由基本不等式可得， 等号成立当且仅当. 综上所述：的最小值为2. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则λ2+μ2的最小值为______ 【分析】利用三点共线的向量表示得到λ+μ，再利用基本不等式求解即可． 【解答】解：∵N为AM中点，且满足， ∴λμ，∴2λ2μ， ∵M为边BC上任意一点， ∵2λ+2μ＝1，∴λ+μ， ∵λ2+μ2≥2λμ，∴2（λ2+μ2）≥（λ+μ）2， ∴λ2+μ2，当且仅当λ＝μ时取等号， ∴λ2+μ2的最小值为． 2. 如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为___    【解题思路】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【解答过程】    如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 3.在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为______ 【解题思路】作出图形，利用平面向量的线性运算可得出，设，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【解答过程】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 题型02：与向量数量积有关的最值与范围 【例2】已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，点P在线段AD（包括端点）上运动，则的取值范围是 　　． 【分析】利用向量的平行四边形法和共线向量的数量积可求． 【解答】解：∵2，•（）＝2•， 又△ABC是边长为2的等边三角形，所以， 设PA＝λ，则PD， ∴•λ（λ）＝λ2λ，0≤λ， 由λ2λ＝（λ）2， 可得λ时，上式取得最小值；当λ＝0或λ时，上式取得最大值0． 则所求范围为． 故答案为：[，0]． 【例3】已知满足，，，，为直线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据三角形边角关系确定边上的高，由的面积可得的长度，不妨设点靠近点，得，设，则，从而根据平面向量基底运算结合数量积运算得关于的表达式，利用二次函数求解最值即可. 【详解】过作于， 因为满足，，， 所以， 则，所以， 不妨设点靠近点，则， 设，则， 所以， 因为， 则 因为，故当时，的最小值为. 故答案为：. 【例4】已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 【跟踪训练】 1. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为________ 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向量的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【解析】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 2. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值最小值是_______ 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【解析】在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 3.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【解析】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 4.等边的外接圆的半径为，点是该圆上的动点，则的最大值为_______ 【分析】先证明，再给出一个点的位置使得，即可得到的最大值是. 【解析】 如图，设的中点为，的中点为，的外接圆圆心为，则. 从而，故，所以，故，所以. 这表明，所以一方面有 . 而另一方面，当点是点的对径点时，有，. 所以此时有. 综合两方面，可知的最大值是. 题型03：与模有关的最值与范围 【例5】已知单位向量，的夹角为，则||的最小值为_______ 【分析】根据题意，由数量积的性质可得||22+λ22﹣2λ•λ2+λ+1，结合二次函数的性质可得||2的最小值，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，单位向量，的夹角为，则•， 则||22+λ22﹣2λ•λ2+λ+1＝（λ）2， 则||，即||的最小值为； 【跟踪训练】 1. 已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C.   2. 设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【解析】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 3. ，则的最大值是_________ 【答案】 【分析】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解析】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故答案为： 4. 在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是________ 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 题型04：与向量夹角的最值与范围 【例6】设为非零向量2||，则与的夹角的最大值为_______ 【分析】设,,,问题转化为∠C最大值，可解决此题． 【解答】解：在△ABC中，设,,,问题转化为∠C最大值， 由正弦定理得：,又∵2||，∴sinCsinB, ∵C为锐角，∴C的最大值为． 【例7】已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】由题意设， ， 由， ， 化简得恒成立，所以， ， ， ， 当且仅当且时取到等号； 故答案为： . 【例8】已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得以及，或，由此即可得解. 【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知，是平面向量，满足||＝4，||≤1且2，则cos，的最小值是_____ 【分析】推导出4，从而2，进而cos，当||＝1时，cos，的最小值为． 【解答】解：∵，是平面向量，满足||＝4，||≤1，且2， ∴4， ∴2， ∴cos， ∵||≤1，∴当||＝1时，cos，的最小值为． 2.平面向量，满足，，则与夹角的最大值为_____ 【分析】根据条件对两边平方即可得出，从而可求出，进而即可得出，然后根据基本不等式即可得出，根据向量夹角的范围即可求出向量夹角的最大值． 【解答】解：∵； ∴； ∴； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴与夹角的最大值为． 3. 若向量（1，2）与（t﹣1，）的夹角为锐角，则t的取值范围为____ 【分析】根据题意，由数量积的性质可得•0且、不共线，即，解可得答案． 【解答】解：根据题意，向量（1，2）与（t﹣1，）的夹角为锐角，则•0且、不共线， 即，解可得t且t≠4， 则t的取值范围为（，4）∪（4，+∞）； 题型05：平面向量系数的最值与范围 【例9】已知、是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若xy，其中x、y∈R，则x+y的最大值是_____ 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案． 【解答】解：∵已知、是两个夹角为120°的单位向量，如图所示， 点C在以O为圆心的上运动．若xy，其中x、y∈R， 以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系． 设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤120°， 可得A（1，0），B（，）， 由x（1，0）+y（，）得，xy＝cosθ，y＝sinθ， ∴ysinθ， ∴x+y＝cosθsinθ＝2sin（θ+30°）． ∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°， ∴1≤2sin（θ+30°）≤2， ∴x+y的范围为[1，2]，则x+y的最大值是2， 【跟踪训练】 1.已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是_____ 【解题思路】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【解答过程】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 2.已知向量||＝||2，λμ（λ，μ∈R），且||＝||，则λ+μ的取值范围是 　　． 【分析】由题可设（x，y），（1，），（﹣1，），则结合条件可将λ，μ用x，y表示，由||＝||得出x，y满足的关系式，利用换元法，设x＝cosθ，ysinθ，这样可用θ表示出λ+μ，从而可得其范围． 【解答】解：设（x，y），（1，），（﹣1，），此时满足||＝||2， 因为λμ，所以， 又（0，），||＝1， 由||＝||得x²+（y）²＝1， 设x＝cosθ，ysinθ， 则λ+μy＝1sinθ，因为﹣1≤sinθ≤1，所以1λ+μ≤1， 故答案为：[1，1]． 3.已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是_____ 【分析】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【解析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 4. 在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可表示出，，根据大小关系可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 题型06：平面向量与三角函数结合的最值与范围 【例10】已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 【跟踪训练】 1. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点 故实数m的取值范围为. 1. 如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值. 【解答过程】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 2. 在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为_______ 【解题思路】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 3.如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为_______ 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 4.如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【解题思路】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【解答过程】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 5. 如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设， 则 ， 其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 6. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是______ 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 7. 平面向量满足，若，则最小值为_____ 【分析】建立平面直角坐标系，作，设，根据已知求得，然后代入向量的模长公式，结合二次函数性质可得. 【详解】因为，所以， 作，以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，作，设， 则，， 因为，所以， 整理得：，则， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 8．已知向量，均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为_____ 【解析】解：由，向量，为单位向量，可得，的夹角为．设，，．由向量，向量，均为单位向量 ，， ，． 设，，． 向量满足与的夹角为， ． 由等边三角形，点在外且为定值，可得的轨迹是两段圆弧，是所对的圆周角． 可知：当时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，取得最大值， 在中，由正弦定理可得：． ，取得最大值取得最大值是2． 9.设为两个非零向量，所成的角，已知对任意，的最小值为，则 . 【答案】或. 【分析】令，，，根据向量减法及模的几何意义得即为线段AC的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，，， 如下图所示，即为线段AC的长度，由对任意，的最小值为，即， 而，时，线段AC最短， 此时， 所以，又，故或.    故答案为：或. 10．已知平面向量满足，，为不共线的单位向量．且恒成立，则，夹角的最小值为_______ 【分析】求得 ，由 恒成立得出 ，化简得知 对任意的 k∈R 恒成立，由△≤0 可求得 夹角的取值范围，由此可得出结果． 【解答】解：∵k2﹣2〉+3， 由| 得 〉 +|k， ∴|〉， 由题意可得|k， ∴k2﹣20 对任意的 k∈R 恒成立， ∴Δ＝12cos2〈〉﹣3≤0， 解得， ∵0≤〈〉≤π， ∴， 因此， 夹角的最小值为 ， 故选：B． 11. 已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为________ 【分析】利用基本不等式得到，再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到夹角的余弦值关于的表达式，从而得解. 【解析】因为，所以， 当且仅当时，取等号， 设的夹角为，由题意得， 因为向量非零且不垂直，所以且， 所以， 所以夹角的余弦值的最小值为. 12. 已知向量（6，λ），（﹣3，2），若，为钝角，则λ的范围是 　 　． 【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得•0且与不共线，则有，解可得答案． 【解答】解：根据题意，向量（6，λ），（﹣3，2）， 若，为钝角，则•0且与不共线，则有，解可得λ＜9且λ≠﹣4， 即λ的范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，9）； 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，9）． 13.已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为_____ 【解题思路】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【解答过程】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 14.如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为_____    【解题思路】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【解答过程】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌,    而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 15. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【解析】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 16. 如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 【解析】假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 17. 如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 18.已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为； （1）求函数的解析式； （2）求函数的严格增区间； （3）将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解； （3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以； 【小问2详解】 令， 则， 所以的严格增区间为; 【小问3详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是. 19.已知、都是单位向量，，，函数，. （1）当时，求值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存，. 【解析】 【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可； （2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值； （3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得. 【小问1详解】 当时，，则； 【小问2详解】 由，则， 则， 令，则，则，其对称轴， 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）； 当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意； 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）. 综上，实数的值为. 【小问3详解】 令，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则即得，，即得， 即实数的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $