第十二讲：实数及其简单运算（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十二讲：实数及其简单运算 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：实数的概念及分类 无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数. 有理数和无理数统称实数. 知识点02：实数与数轴上的点的对应关系 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的. 知识点03：实数的大小比较 用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小. 知识点04：实数的相反数、绝对值 相反数的意义：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 绝对值的意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 知识点05： 实数的运算与近似计算 1.实数的运算性质 (1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. (2)在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. ①交换律：加法a+b=b+a 乘法a×b=b×a ②结合律：加法(a+b)+c=a+(b+c) 乘法(a×b)×c=a×(b×c) ③分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 2.求实数的近似值 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入. 考点1：无理数的概念 【典型例题】 在下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D．3 【变式训练1】 在实数0，，，中，是无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 考点2：无理数的大小估算 【典型例题】 下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】 在到之间的整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 考点3：实数概念理解 【典型例题】 在实数，，3.14，，中，有理数的个数是（   ） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】 在中，无理数是（   ） A． B． C．0 D． 考点4：实数与数轴 【典型例题】 如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练1】 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点5：实数的运算 【典型例题】 下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算结果为（） A． B． C． D． 一、单选题 1．无理数的发现，引发了首次数学危机，也引发了数学家们对无理数的深入研究．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的叙述不正确的是（   ） A．是8的算术平方根 B．面积是8的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 3．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 4．若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 5．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 6．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 7．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 二、填空题 9．比较大小： 5．（填“>”“<”或“＝”） 10．若，则 ． 11．若，其中，则b的值为 ． 12．计算： ． 13．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 14．若的整数部分是m，小数部分是n，则 ． 15．点A，B在数轴上相距个单位长度，且线段AB的中点在数轴上表示的数是2，则点A表示的数是 ． 16．如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． (3)． 18．请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 19．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 20．已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十二讲：实数及其简单运算 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：实数的概念及分类 无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数. 有理数和无理数统称实数. 知识点02：实数与数轴上的点的对应关系 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的. 知识点03：实数的大小比较 用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小. 知识点04：实数的相反数、绝对值 相反数的意义：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 绝对值的意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 知识点05： 实数的运算与近似计算 1.实数的运算性质 (1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. (2)在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. ①交换律：加法a+b=b+a 乘法a×b=b×a ②结合律：加法(a+b)+c=a+(b+c) 乘法(a×b)×c=a×(b×c) ③分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 2.求实数的近似值 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入. 考点1：无理数的概念 【典型例题】 在下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了无理数．无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方式有：开不尽方的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻两个之间依次增加个)． 【详解】解：A、是整数，是有理数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是分数，是有理数，不是无理数，故该选项不符合题意； C、是开不尽方的数，是无理数，故该选项符合题意； D、3是正整数，是有理数，不是无理数，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】 在实数0，，，中，是无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义,根据无理数的定义：无限不循环小数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．0是整数，是有理数； B．是分数，是有理数； C．是整数，是有理数； D．是开方开不尽的数，无法表示为分数，且为无限不循环小数，属于无理数， 故选：D． 考点2：无理数的大小估算 【典型例题】 下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算出的取值范围，再减去2，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与最接近的是3． 故选：C． 【变式训练1】 在到之间的整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算． 判断出和的取值范围，进而确定到之间的整数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在到之间的整数是2和3． 故选：B． 考点3：实数概念理解 【典型例题】 在实数，，3.14，，中，有理数的个数是（   ） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了实数、有理数、算术平方根与立方根，熟练掌握实数的分类是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据实数的分类即可得． 【详解】解：，，都是无理数， ，，，，都是有理数，共有5个， 故选：A． 【变式训练1】 在中，无理数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，需熟悉常见无理数如非完全平方数的平方根等； 无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，分别判断各选项即可． 【详解】解：选项A： 是分数，属于有理数； 选项B：是无理数，故是无理数； 选项C：是整数，属于有理数； 选项D：，是整数，属于有理数； 故选B． 考点4：实数与数轴 【典型例题】 如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及数轴上点的位置与实数的对应关系．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解答． 【详解】解：， ， 即， 在数轴上实数对应的点可能是点， 故选：． 【变式训练1】 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， 结合选项可知，只有D选项结论正确． 故选：D． 考点5：实数的运算 【典型例题】 下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过直接计算每个选项的左右值，判断等式是否成立，注意算术平方根和绝对值的性质． 本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的性质，掌握算术平方根与立方根的计算规则、绝对值的化简方法是解题的关键． 【详解】解：A、∵=3，=2， ∴ =1，而≠1，故A错误，不符合题意； B、∵ ≈1.732 > 1， ∴ =，故B正确，符合题意； C、=3，而非±3，故C错误，不符合题意； D、== 9， ∴ =−9 ≠9，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】 计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 一、单选题 1．无理数的发现，引发了首次数学危机，也引发了数学家们对无理数的深入研究．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； 、，是整数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意； 故选：． 2．关于的叙述不正确的是（   ） A．是8的算术平方根 B．面积是8的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义、化简以及应用的相关知识，根据二次根式的定义及相关概念即可做出选择． 【详解】解：A、是8的算术平方根，正确，故本选项不符合题意； B、面积是8的正方形的边长是，正确，故本选项不符合题意； C、根据无理数的定义，属于无理数，原说法错误，故本选项符合题意； D、在数轴上可以找到表示的点，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据无理数的估算方法得到的取值范围，再根据数轴上的点所表示数的特征进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 观察数轴可知，点表示的数在和之间，故选：D． 4．若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，利用夹逼法可得，即得，进而得到，，即得到，再根据立方根的定义即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 又∵，且是两个连续的整数， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根是 故选：． 5．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出的范围，再确定点的位置即可选择． 【详解】解：， 数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合， 故选：A． 8．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 二、填空题 9．比较大小： 5．（填“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数的大小比较方法． 通过比较平方值来判断大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 故答案为：＜． 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数，绝对值的性质，掌握绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的性质，化简等式，得到，从而求出的值． 【详解】解：，且， ∴原等式可化为． 解得： ． 故答案为：． 11．若，其中，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、乘方、绝对值的运算，掌握先分别计算各部分运算结果，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、乘方绝对值，再进行有理数加减运算． 【详解】解：，，， 则原式 ． 故答案为 ． 13．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 14．若的整数部分是m，小数部分是n，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的估算，解决本题的关键是要熟练对二次根式进行估算． 先估算的范围，再估算的范围，可求出的整数部分，根据小数部分等于原数减去整数部分即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分是8，即， ∴小数部分=， ∴， 故答案为：． 15．点A，B在数轴上相距个单位长度，且线段AB的中点在数轴上表示的数是2，则点A表示的数是 ． 【答案】或 【分析】设点表示的数为，利用中点坐标公式和两点间距离公式建立方程，解绝对值方程即可求解． 本题考查了数轴上的中点公式与两点间距离，掌握数轴上的中点公式与两点间距离是解题的关键． 【详解】解：设点表示的数为， ∵线段的中点在数轴上表示的数是2， ∴点表示的数为． ∵点和点相距个单位长度， ∴，即． 解方程得 或 ， 解得 或 ． 故点表示的数为 或 ． 故答案为：或． 16．如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）分别化简算术平方根和立方根，然后计算加减即可； （2）分别化简幂的运算、绝对值和立方根，然后计算加减即可； （3）分别化简幂的运算、立方根和算术平方根，然后算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． 18．请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 【答案】正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 【分析】根据正数、有理数、负数、无理数的定义进行分类．正数是大于0的数；有理数是整数、有限小数或无限循环小数；负数是小于0的数；无理数是无限不循环小数． 本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 19．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 20．已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 【答案】点表示的数是 【分析】本题考查了实数与数轴，正确地求出点表示的数是解题的关键． 先表示出点表示的数，再根据点是的中点进行求解即可． 【详解】解：点表示的数是，线段， 点表示的数是． 是的中点， 线段， 点表示的数是． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【详解】（1）解：实数m的值是． 故答案为：； （2） ． ． （3）∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $