专题二 勾股定理及逆定理的综合运用同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题二 勾股定理及逆定理的综合运用 类型 1 网格中的应用 1.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，若 BD 是△ABC 的高,则 BD 的长为 ( ) A. B. C. D. 2.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则∠ACB 的度数是 . 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)试判断线段 AB 与线段 BC 的位置关系，并说明理由； (2)请在格点上确定一点 D，使∠ADC=90°，并求出四边形ABCD 的面积(写出一种情况即可). 类型 2 折叠中的应用 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D为边 BC 上一点,连接AD,将直角边AC沿AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合,则 S△ABD 的值为 . 5.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P 是边 AB 上一点,连接 CP,将△ACP 沿 CP 翻折得到△QCP,且 PQ⊥AB,则 BP 的长为 . 6.如图,在矩形ABCD 中,AB=12,BC=18,将矩形 ABCD 沿 MN 折叠,使点 C 与点 A 重合,D 落在点 E 处,连接DE. (1)求证△ABM≌△AEN; (2)求 BM 和AM 的长. 类型3 最短距离中的应用 7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1,2),(2,1),若C是y轴上一动点，则AC+BC的最小值为 ( ) A. 3 B. 4 C. D. 4 8.如图，圆柱体的底面周长为8cm ，高AB 为3cm，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从点 D出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 B，则爬行的最短路程为 cm. 9.如图,在 Rt△ACB 中,∠B=90°,AB=3AM平分∠BAC 交 BC 于点 M,AM=6,N为边AC上一点，求线段 MN的最小值. 类型 4 实际问题中的应用 10.我国古代数学典籍《九章算术》记载了这样一道题，其大意是：一根竹子原高一丈(一丈=10尺)一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，折断处离地面的高度为x尺，则根据题意可得 ( ) A. B. C. D. 11.如图，为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块四边形平地ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.已知运动型塑胶地板的价格为200 元/m²,经测量∠B =90°,AB =6 m,BC=8m,CD=5m ,AD=5 m. (1)求A，C两点之间的距离； (2)求购买运动型塑胶地板的费用. 学科网（北京）股份有限公司 专题二 勾股定理及逆定理的综合运用 1. D【解析】由勾股定理得 2.45°【解析】∵ 每个小正方形的边长都是 1， 是等腰直角三角形,∴∠ACB=45°. 3.解:(1)AB⊥BC,理由如下: 根据勾股定理，得 ∴△ABC为直角三角形,∠ABC=90°, ∴AB⊥BC; (2)点 D位置如解图所示， 根据勾股定理，得 ∴△ADC为直角三角形,∠ADC=90°, (答案不唯一). 4. 15 【解析】由折叠的性质可得,AE=AC=6,CD=DE,∠ACD=∠AED=∠DEB=90°,在 Rt△ABC中, AE=10-6=4,设CD=DE=x,则DB=BC-CD=8-x,在 Rt△DEB 中,由勾股定理,得 解得 5. 【解析】如解图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,由翻折的性质得∠APC =∠QPC. ∵ PQ⊥AB, ∴∠APQ=∠QPB=90°,则∠APC=∠QPC=135°,∴∠BPC+∠QPB=135°,∴∠BPC=45°.∵ CH⊥AB,∴ CH=PH,在 Rt△ABC 中, 在 Rt△BCH 中, 6. (1)证明:根据折叠的性质可得 AE=CD,∠C=∠MAE=90°,∠CDA=∠AEN=90°,根据矩形的性质可得 AB = CD = AE,∠BAD =∠MAE=90°,∠B=∠CDA=∠AEN=90°,∴∠BAD-∠MAN=∠MAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN, 在△ABM 和△AEN中 ∴△ABM≌△AEN(ASA); (2)解:设 BM=x,则MC=AM=18-x, 在 Rt△ABM 中, 即 解得x=5, ∴BM=5,AM=13. 7. C 【解析】如解图,连接AB交y轴于点 C,∵两点之间线段最短，∴此时AC+BC 取得最小值，最小值为线段AB 的长度.∵A(-1,2),B(2,1),∴AB= 8.5【解析】圆柱体的侧面展开图如解图所示，则AC的长为蚂蚁爬行的最短路程，∵底面周长为8cm，∴侧面展开图中BC=B'C=4 cm.又∵AB=3cm,∴在 Rt△ABC 中, 学科网（北京）股份有限公司 ∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm .期末复习 9.解:如解图,过点 M 作 MH⊥AC 于点 H,由垂线段最短可得，当点 N 与点 H 重合时，线段MN的值最小， ∴在 Rt△ABM中, ∵AM平分∠BAC,BM⊥AB,MH⊥AC, ∴ MH=BM=3, 故线段 MN的最小值为3. 10. A 【解析】如解图,∵原来竹子高9尺,∴AB+AC=9(尺),∵AB为x尺,∴AC为(9-x)尺,由题意易知 即 11.解:(1)如解图,连接AC, ∵∠B=90°,AB=6m,BC=8m, ∴ 在 Rt △ABC 中,根据勾股定理,得 AC = ∴A,C两点之间的距离为10m; (2)由(1)得AC=10m, ∴ △ACD 是直角三角形,且∠ACD=90°, 49×200=9800(元), ∴购买运动型塑胶地板的费用为9800元. $