21 专项突破提升(二) 勾股定理的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（人教版）

专项突破提升(二)　勾股定理的综合应用 类型一　勾股定理 1．(4分)满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　D　) A．b2＝c2－a2 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠C＝∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝12∶13∶15 2．(4分)若直角三角形两直角边的比为 5∶12，则斜边与较小直角边的比为(　C　) A．13∶12 B．169∶25 C．13∶5 D．12∶5 3．(4分)在Rt△ABC中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长为(　D　) A． B． C．2或 D．或 4．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则AC2＋BC2＋AB2的值是(　D　) A．2 B．4 C．6 D．8 类型二　勾股定理与图形面积 5．(4分)如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝6，则图中阴影部分的面积为 (　D　) A．6 B．9 C．12 D．18 6．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以各边为直径作半圆，若AC＝3，BC＝4，则阴影部分的面积为 6 ． 7．(12分)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题． (1)试说明a2＋b2＝c2； (2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a＋b)2的值． 解：(1)∵大正方形的面积为c2，直角三角形的面积为ab，小正方形的面积为(b－a)2， ∴c2＝4×ab＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2，即a2＋b2＝c2． (2)由题图可知，(b－a)2＝2，4×ab＝10－2＝8， ∴2ab＝8，(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab＝2＋2×8＝18． 类型三　利用勾股定理求线段长 8．(4分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于(　B　) A．13 B． C． D．5 9．(4分)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上．若AB＝，则CD＝ －1 ． 10．(8分)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝13，AC＝15，D是边BC上的一点．若BD＝5，AD＝12，求BC的长度． 解：在△ABD中， ∵AB＝13，BD＝5，AD＝12， ∴BD2＋AD2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169． ∴BD2＋AD2＝AB2． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD＝＝＝9， ∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14． 类型四　应用勾股定理解决最短路径问题 11．(4分)如图，将一根长为13 cm的筷子置于底面直径为 6 cm、高为8 cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为(　C　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 12．(4分)如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为(　D　) A．14 B．16 C．20 D．28 13．(4分)若将一根长为3.3 m的木料，放置在长、宽、高都为2 m的电梯里，则(　D　) A．2<3.3，放不下 B．2<3.3，放不下 C．2>3.3，放得下 D．2>3.3，放得下 14．(4分)如图，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是 25 尺． 类型五　勾股定理的实际应用 15．(4分)如图，从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长13 m的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有 12 m． 16．(4分)如图，某风景名胜区为了方便游客参观，计划从主峰点A处架设一条缆车线路到另一山峰点C处．若在点A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部距离BD＝900 m，则缆车线路AC的长为 600 m． 17．(4分)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为 3 ． 18．(10分)如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°方向航行，乙船向南偏东50°方向航行，3 h 后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距102海里，问：乙船的航速是多少？ 解：由题意，易得∠CAB＝90°，则△ABC为直角三角形． 又∵AC为甲船航行的路程， ∴AC＝16×3＝48(海里)． 由AB2＝BC2－AC2，得AB＝＝90(海里)， ∴乙船的航速为90÷3＝30(海里/时)． 19．(12分)为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的直线AB上建一个图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别为点C和点D处．CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B．已知AB＝25 km，AC＝15 km，BD＝10 km，问：阅览室E建在距点A多远时，才能使它到C，D两所学校的距离相等？ 解：如图，连接CE，DE． 设阅览室E到点A的距离为x km， 则在Rt△EAC和Rt△EBD中， CE2＝AE2＋AC2＝x2＋152， DE2＝EB2＋BD2＝(25－x)2＋102． ∵点E到点C，D的距离相等， ∴CE＝DE． ∴CE2＝DE2，即x2＋152＝(25－x)2＋102． ∴x＝10． ∴阅览室E应建在距点A 10 km处． 类型六　勾股定理与动点问题 20．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点D从点A出发以每秒1 cm的速度向点C运动，当点D运动到线段AB的垂直平分线与线段AC的交点处时，运动时间是(　B　) A． s B． s C． s D． s 21．(14分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设出发的时间为t s． (1)出发2 s后，求△ABP的周长； (2)当t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？ 解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm， ∴AC＝4 cm．出发2 s后，CP＝2×1＝2(cm)． ∵∠C＝90°， ∴PB＝＝(cm)． ∴△ABP的周长为AP＋AB＋PB＝(4－2)＋5＋＝(7＋)cm． (2)当点P在AC上运动时，△BCP为直角三角形， ∴0<t≤4． 如图，点P在AB上运动，当CP⊥AB时，△BCP为直角三角形． ∵AB·CP＝AC·BC， ∴×5×CP＝×3×4． ∴CP＝ cm． ∴AP＝＝ cm． ∴AC＋AP＝ cm． ∵速度为1 cm/s， ∴t＝． 综上所述，当0<t≤4或t＝时，△BCP为直角三角形． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $