精品解析：江苏泰州市姜堰区实验初级中学2025-2026年下学期九年级数学第一次独立作业

2026年春学期九年级数学独立作业一 一、选择题（每题3分，满分18分） 1. 在一些美术字中，有一些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、积的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义，理解其定义是解题的关键． 根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：由题意知，．   故选：C ． 4. 如图，在中，点、分别在、上，，与四边形的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．根据平行线的性质得到，从而得到，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 与四边形的面积的比为， ，解得． 故选：D． 5. 已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质比较y的大小即可． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点A，B都在第三象限，可得，，排除A，B选项； ∵当时，反比例函数在每个象限内，y随x增大而减小. 又∵， ∴， 综上可得． 6. 二次函数和二次函数的图象有一个交点，过点的直线与二次函数和二次函数的图象分别交于点、，线段的长（ ） A. 与、的取值有关 B. 与、的取值有关 C. 与、的取值有关 D. 与、、的取值均无关 【答案】D 【解析】 【分析】先联立两个二次函数求出交点的横坐标，再分别联立直线与两个二次函数，利用根与系数的关系得到点、的横坐标与点横坐标的关系，进而求出横、纵坐标的差值，最后通过两点间距离公式计算线段的长度，判断其为定值，与、、的取值均无关． 【详解】解：设点，，的横坐标分别为，，，点，的纵坐标分别为，， ∵二次函数和二次函数的图象有一个交点， ∴令可得， 整理得，解得； ∵直线与二次函数的图象交于点， ∴令，可得， 整理得，该方程的两个根分别为与， 则，即； ∵直线与二次函数的图象交于点， ∴令，可得， 整理得，该方程的两个根分别为与， 则，即， ∴； ∵点、在直线上， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每题3分，满分30分） 7. cos30°的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值即可得答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 8. 中国科学院研发的新型纳米机器人的大小仅为0.000000098米，数据0.000000098用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查频数的定义，即每个对象出现的次数．数出这个句子中字母“e”出现的次数即可． 【详解】解：在“”这个句子的所有字母中，字母“e”出现了4次，故字母“e”出现的频数为4． 故答案为：4． 10. 已知实数是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解： 实数是方程的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键． 11. 圆锥体的底面半径为2，侧面积为．则其圆锥体的母线长是___ ． 【答案】4 【解析】 【详解】解：由圆锥侧面积公式， ，， ， 解得：． 12. 甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数（单位：环）与方差（单位：环）如表所示．其中成绩好且发挥稳定的运动员是______． 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表知乙、丙射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数， ∴从乙、丙中选择一人参加竞赛， ∵乙的方差较小， ∴乙发挥稳定， ∴选择乙参加比赛． 故答案为：乙． 13. 如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径的长． 【详解】解：设圆半径长是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径． 故答案为：10． 14. 将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将二次函数解析式化为顶点式，先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则求出平移后的解析式，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的解析式为， ∴将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 15. 若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 三、解答题（满分102分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 18. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 【答案】（1）30；32 （2）B型号的无人飞行器的续航性能更优，理由： 虽然平均数相同，但从众数、中位数看B型号都优于A型号， ∴B型号的无人飞行器的续航性能更优． （3）195 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． （1）利用众数、中位数的定义进行计算即可； （2）根据求得的中位数，众数及平均数进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：将A型号重新排列得：26，28，30，30，30，32，32，33，33，35； ∴； B型号重新排列得：25，28，28，30，32，32，32，33，34，36； ∴； 故答案为：30，32． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（架）， 答：这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有195架． 19. 今年“五一”假期，某地推出三种消费方式：享受美食，自然观光，科普打卡，以此来活跃市场消费，促进经济循环．小王和小李准备选择其中一种方式来休闲度假，他们选择任何一种方式都是等可能的． （1）小王选择“科普打卡”的概率是______； （2）求小王和小李都选择“自然观光”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小王和小李都选择“自然观光”的结果有1种，再由概率公式求解即可． 此题主要考查列表法与树状图法求概率，概率公式的知识． 【小问1详解】 解：∵某地推出三种消费方式：享受美食，自然观光，科普打卡， 小王选择“科普打卡”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小王和小李都选择“自然观光”的结果有1种， 小王和小李都选择“自然观光”的概率为 20. 如图，在中． （1）用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，点D即为所求． 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图，作出，推导出，得到，则，即可解答； （2）先求出，得到，由，得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 即， 解得． 21. 已知二次函数（t为常数）． （1）若二次函数图象经过原点，求t的值． （2）已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． 【答案】（1）t的值为0或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象性质，准确理解“点在函数图象上，点的坐标满足函数关系式”是解题的关键． （1）根据点在函数图象上，点的坐标满足函数关系式，将点代入中，可求得t的值； （2）根据点在函数图象上，点的坐标满足函数关系式，将点代入 中，结合，可得；同理可得，；求出 ，从而可得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过原点， ∴将点代入中， 可得：， ∴， 即， ∴，， ∴t的值为0或； 【小问2详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴将点代入中， 可得：， ∵， ∴， 即； 同理，∵点在二次函数的图象上， ∴将点代入中， 可得：， ∵， ∴， 即； ∵， ∴． 22. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE； （2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC． 【详解】解：（1）由已知得：， 在中， ， （cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为； （2）如图， 过点B作于点F， ． ， 在中， ， ， ， ， ， （cm）． 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 23. 如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． （1）求正方形的边长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）正方形的边长为1 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； 【小问2详解】 解：由（1），得， ∴，， ∴． 24. 如图，锐角三角形ABC内接于，，，，，为上一点． （1）若． 求证：； 求的长度； （2）若在边上存在两个位置，使得，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；长度为； （2）的取值范围． 【解析】 【分析】（）通过相似三角形的判定方法即可求证； 由，则，所以，从而证明，所以，然后通过直角三角形性质可得，再代入即可求解； （）找到临界点当，且与重合时，在边上存在一个位置，当在以为直径，中点为圆心的圆上运动，此时在边上存在一个位置，从而求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为； 【小问2详解】 解：如图，当，且与重合时，在边上存在一个位置， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 如图，取中点，连接， ∵， ∴， ∴当在以为直径，中点为圆心的圆上运动，此时在边上存在一个位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 综上可得：若在边上存在两个位置，使得，的取值范围． 25. 如图，A、B为抛物线图像上两点，A、B两点的横坐标分别为m、，若抛物线顶点的纵坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，若点C为直线下方抛物线上一个动点，轴交直线于点D．过点A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F． ①当，时，若点C的横坐标为s，则__________和__________（用含s的代数式表示）； ②探究和之间数量关系，并说明理由； （3）如图2，将（2）中“点C为直线下方抛物线上一个动点”这一条件改成“点C为B点右侧抛物线上一个动点”，不再有“，”和“顶点的纵坐标为”这一条件，其他条件不变，试问和之间的数量关系是否发生变化，若不变，说明理由；若变化，请写出变化的理由． 【答案】（1） （2）①，；②，理由见解析 （3）数量关系发生变化，为 【解析】 【分析】（1）将解析式化为顶点式，得到，求出a的值，即可解答； （2）①先求出，，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，进而推导出，，得到，再求出，得到，即可解答； ②先求出，推导出直线的解析式为，进而推导出，，求出，，则，即可解答； （3）先求出，推导出直线的解析式为，进而得到，， 求出，，得到，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∵抛物线顶点的纵坐标为， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①当时， ， ∴ 当时， ， ∴， 设直线的解析式为，将代入，得 将， ∴直线的解析式为， 由点C的横坐标为s，得 ， ∵轴， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∵，轴， ∴均为水平线段， 则， ∴， ②，理由如下： ∵A、B在抛物线上，横坐标分别为， ∴， 由①得，将代入，得 解得． ∴直线的解析式为， 同①可设点C的横坐标为s，则， ∵轴， ∴， ， ∵，轴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：数量关系发生变化，为，理由如下： ∵抛物线的一般式为，A、B的横坐标分别为m、n， ∴， 由（2）①，可将代入直线的解析式，得 解得， ∴直线的解析式为， 由（2）①，可设点C的横坐标为s（，即C在B右侧），则， ∵轴， 点C为B点右侧抛物线上一个动点 ∴， ， ∵，轴，， ∴， ∴， ∴，与（2）中时的不同，数量关系发生变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级数学独立作业一 一、选择题（每题3分，满分18分） 1. 在一些美术字中，有一些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点、分别在、上，，与四边形的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数和二次函数的图象有一个交点，过点的直线与二次函数和二次函数的图象分别交于点、，线段的长（ ） A. 与、的取值有关 B. 与、的取值有关 C. 与、的取值有关 D. 与、、的取值均无关 二、填空题（每题3分，满分30分） 7. cos30°的值等于_____． 8. 中国科学院研发的新型纳米机器人的大小仅为0.000000098米，数据0.000000098用科学记数法表示为_____． 9. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为__________． 10. 已知实数是方程的两根，则______． 11. 圆锥体的底面半径为2，侧面积为．则其圆锥体的母线长是___ ． 12. 甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数（单位：环）与方差（单位：环）如表所示．其中成绩好且发挥稳定的运动员是______． 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 13. 如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 14. 将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为_____． 15. 若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 三、解答题（满分102分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 18. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 19. 今年“五一”假期，某地推出三种消费方式：享受美食，自然观光，科普打卡，以此来活跃市场消费，促进经济循环．小王和小李准备选择其中一种方式来休闲度假，他们选择任何一种方式都是等可能的． （1）小王选择“科普打卡”的概率是______； （2）求小王和小李都选择“自然观光”的概率． 20. 如图，在中． （1）用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 21. 已知二次函数（t为常数）． （1）若二次函数图象经过原点，求t的值． （2）已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． 22. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 23. 如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． （1）求正方形的边长； （2）求图中阴影部分的面积． 24. 如图，锐角三角形ABC内接于，，，，，为上一点． （1）若． 求证：； 求的长度； （2）若在边上存在两个位置，使得，直接写出的取值范围． 25. 如图，A、B为抛物线图像上两点，A、B两点的横坐标分别为m、，若抛物线顶点的纵坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，若点C为直线下方抛物线上一个动点，轴交直线于点D．过点A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F． ①当，时，若点C的横坐标为s，则__________和__________（用含s的代数式表示）； ②探究和之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，将（2）中“点C为直线下方抛物线上一个动点”这一条件改成“点C为B点右侧抛物线上一个动点”，不再有“，”和“顶点的纵坐标为”这一条件，其他条件不变，试问和之间的数量关系是否发生变化，若不变，说明理由；若变化，请写出变化的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $