精品解析：上海师范大学附属中学2026届高三下学期4月月考数学试卷

2025 学年第二学期高三数学试卷 【2026届高三】 【2026年4月】（考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 2. 已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，模长公式计算即可. 【详解】由，得， 由，得， 又因为，所以. 故答案为：. 3. 设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是_______（结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】## 【解析】 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 4. 在的二项展开式中，常数项的值为__________ 【答案】15 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为： 当时， 常数项为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 5. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以 故答案为：9 6. 有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同的停放方法. 【答案】12 【解析】 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 7. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分， 设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，， 故, 故答案为：. 8. 设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 9. 已知函数，若仅存在唯一整数解，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，原题等价于函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，进而研究函数的图象与性质，数形结合即可求出结果. 【详解】根据题意，令，， 仅存在唯一整数解的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点， 当与相切时，设切点， 由于，故切线斜率， 切线方程为：， 代入得，解得，此时，切点为， 又当时，，， 所以符合要求的条件为，解得． 即的取值范围为. 故答案为： 10. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【答案】1.1 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 11. 在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，可得为等边三角形，设AB的中点为D，可求出，分析可得以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，根据线性运算法则，可得，根据点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以为等边三角形， 设AB的中点为D，连接OD，则， 所以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，则方程为， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 12. 由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可. 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 15. 已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为.若 ,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是 （　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系， 设M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）； 因为，所以y2=λ（x+a）（a-x）， 即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆． 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程; 当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程． 故选C． 考点：轨迹方程求法,圆锥曲线方程。 点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 【答案】B 【解析】 【分析】结合定义将命题①转化为至多有一个解，讨论，求的范围，判断命题①；结合定义将命题②转化为函数是增函数或减函数，结合导数与函数的单调性关系求的范围，判断②，由此确定结论. 【详解】因为为“函数”， 所以函数的图象与的图象至多只能有一个交点， 所以方程组至多只有一个交点， 所以对于任意的至多只有一个解， 当时，函数的图象与的图象至多只有一个交点，满足条件， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 作函数的图象如下： 当时，与有两个交点，不满足要求， 当时，因为函数，都在，上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 其图象如下， 所以对于任意的，直线与函数的图象都有两个交点， 所以不满足要求， 故，命题①正确. 因为函数为“函数”， 所以对任意的关于的方程至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 所以函数的图象至多只有一个交点， 所以函数是增函数或减函数， 又， 所以或， 由，可得， 当时，， 由，可得， 当时，， 当时，，当时，， 函数的定义域为， 函数的导函数， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，当时，， 当且时，， 当且时，， 当时，， 当时，， 其图象大致如下， 所以，即， 所以满足条件的整数的值有，有且只有三个. 所以满足条件的整数的值有三个，②错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合定义将函数为“函数”.转化为函数的图象与对任意的至多只有一个交点，再结合函数方程知识处理. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正三棱柱中，，，点、、分别是棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线性质证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定定理证明可得结论； （2）解法一：作，，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再由勾股定理可得二面角的余弦值或正切值，用三角函数表示即可； 解法二：以为原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系，求出两平面和的法向量，即可得出二面角的余弦值. 【小问1详解】 连接，如下图所示： 则，且， 所以四边形为平行四边形，， 又平面内，平面， 所以平面. 【小问2详解】 解法一： 作，，垂足分别为和，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又，所以平面. 因此为在平面内的投影，由三垂线定理可知， 所以二面角的平面角为的补角. 又，，可得，因此可得， 又易知，所以 可得， 所以（或）， 因此二面角的大小为（或） 解法二： 以为原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，； 可得， 设平面的一个法向量； 所以，解得，令，可得； 即平面的一个法向量可以为， 设平面的一个法向量为， 又； 即，解得，令，可得； 即平面的一个法向量可以为， 所以， 因为二面角是钝角， 所以二面角的大小为. 18. 设，函数的表达式为. （1）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. （2）对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【答案】（1） （2）函数在单调递减，在单调递增 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； 【小问2详解】 由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 19. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】（1）软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 （2）应该使用软件来解决这道试题. （3）， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【小问1详解】 记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. 【小问2详解】 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. 【小问3详解】 几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】（1）焦点坐标为，渐近线方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【小问1详解】 双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； 【小问2详解】 设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． 【小问3详解】 设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“P－可见”定义分别验证即可； （2）求出方程，转化为方程在有且仅有1解，讨论即可； （3）任取得到在有且仅有1个零点，讨论的正负，得出时的正负，结合函数单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 ， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. 【小问2详解】 ,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . 小问3详解】 任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 学年第二学期高三数学试卷 【2026届高三】 【2026年4月】（考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则___________. 2. 已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 3. 设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是_______（结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 4. 在的二项展开式中，常数项的值为__________ 5. 设，拋物线上点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 6. 有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同的停放方法. 7. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 8. 设，函数表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________. 9. 已知函数，若仅存在唯一整数解，则的取值范围为_______． 10. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 11. 在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 12. 由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________. 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）. A. B. C. D. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 15. 已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为.若 ,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是 （　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正三棱柱中，，，点、、分别是棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 18. 设，函数的表达式为. （1）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. （2）对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 19. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答数量 测试试题数量 正确解答数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $