精品解析：上海市实验学校2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

2024-2025学年上海市实验学校高三年级下学期2月月考试卷 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 复数的虚部为________. 2. 不等式的解集为__________. 3. 已知与为单位向量，且满足，则与夹角__________. 4. 展开式中的常数项为_________.（用数字作答） 5. 已知随机变量，若，则__________. 6. 已知直线与直线的夹角为，则实数______. 7. 已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥母线的截面面积的最大值为___________． 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为__________． 9. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是______. 10. 如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见．如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了“坍塌”．那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为______． 11. 已知函数 若关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是____________. 12. 已知数列{an}满足a1＝﹣2，且Sn＝+n（其中Sn为数列{an}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝__. 二､选择题（本人题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　） A. 3 B. 4 C 8 D. 7 14. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 19. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型（以下简称），能够根据用户的文本提示创建最长秒的逼真视频.为调查的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 （1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用. （i）求员工经过培训能应用的概率； （ii）已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中 20. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点. ①求证：直线与直线的斜率之积为常数； ②求面积的取值范围. 21. 已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． （1）当时求的解析式； （2）当时，判断函数的单调性并说明理由； （3）若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市实验学校高三年级下学期2月月考试卷 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法化简复数值，然后根据定义得出复数的虚部. 【详解】，即虚部为. 故答案为： 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式等价于，求解即可. 【详解】不等式， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 已知与为单位向量，且满足，则与的夹角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解. 【详解】因为与为单位向量，则，， 又， ， ，则， 又，所以与的夹角为. 故答案为：. 4. 展开式中的常数项为_________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 5. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】0.1## 【解析】 【分析】结合正态分布求解相应的概率即可. 【详解】因为，所以，所以 根据正态分布的对称性得： 所以 故答案为：0.1. 6. 已知直线与直线夹角为，则实数______. 【答案】或 【解析】 【分析】设两直线夹角为，可得，分和两种情况，结合直线的夹角公式运算求解即可. 【详解】设直线与直线的夹角为， 则，可得，， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为， 若，则直线即为，可知， 可得，，符合题意； 若，则， 因为，可得， 即，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 7. 已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，表示其他边长，利用双曲线定义可得，在和中分别利用余弦定理可得的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，设，则， 由双曲线定义得，，， ∴，故. 在中，， 在中，， ∵， ∴，故，即， ∴曲线C的离心率． 故答案为：. 9. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由求出即可；对于②，利用复合函数的单调性判断即可；对于③，令，，分别求出，，计算即可；对于④，令，，分别求出，，计算即可. 【详解】对于①，由即，可得， 因此等级为0dB的声音强度为，故①正确； 对于②，令，则，易知和在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确； 对于③，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确； 对于④，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误. 故答案为：①②③. 10. 如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见．如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了“坍塌”．那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列组合求出基本事件总数和随机事件中的总数后可求概率. 【详解】把题设中的14个小正方体编号如下： 其中1代表最上方的一个小正方体，第二层、第三层相应的标号如下图所示. 与1号小正方体在同一个竖直方向小正方体从上至下记为2,6， 标号为3的正方体下面的小正方体标号为7， 标号为4的正方体下面的小正方体标号为8， 标号为5的正方体下面的小正方体标号为9， 若不发生坍塌，则 则全部14次施法过程中，不发生坍塌的事件总数为 设事件为：“全部14次施法过程中，不发生坍塌”， 则 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于古典概型的概率计算问题，我们在计算事件总数时需借助排列组合的方法，对于一些比较繁琐的计数问题，我们可以将问题模型化，从而便于计数. 11. 已知函数 若关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析分段函数在上的单调性，再对参数a分情况讨论即可求得结果. 【详解】 分析题意，利用函数单调性定义显然得到函数在上单调递增， 在区间上的函数对参数a分情况讨论： 当时，分段函数图像如上图所示，易知在区间上函数一定与相交， 故此时与分段函数其他部分不相交；故对于部分，必有， 对于部分，联立,整理得，即，无解； 故符合题意； 当时，分段函数，则有实数根，和不成立； 当时，易知，与分段函数在必有一个交点，且当时，， 此时分段函数，故当时，无交点，故符合题意. 综上：实数a的取值范围是 故答案为： 12. 已知数列{an}满足a1＝﹣2，且Sn＝+n（其中Sn为数列{an}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝__. 【答案】0 【解析】 【分析】项和转换可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1+1，即，可得an＝﹣3n+1.由 f（2﹣x）＝f（x），以及f（x）是奇函数可得f（4﹣x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数.利用二项式定理展开可得a2021＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020]+2，即f（a2021）＝f（2），可得解 【详解】∵Sn＝+n，∴Sn﹣1＝an﹣1+n﹣1（n≥2）， 两式相减得，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1+1， 化简整理得，an﹣1＝3（an﹣1﹣1）， ∴＝3，即数列{an﹣1}是以﹣3为首项，3为公比的等比数列， ∴an﹣1＝﹣33n﹣1＝﹣3n， ∴an＝﹣3n+1. ∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x）， ∴令x＝2，则f（2）＝f（0）＝0， 令x＝x﹣2，则f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x）， ∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数. ∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1 ＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020+40•（﹣1）2021]+1 ＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020]+2， 其中42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020能被4整除， ∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0. 故答案为：0. 二､选择题（本人题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再求出其真子集个数. 详解】集合 所以集合A的真子集的个数为. 故选：D 14. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 15. 已知，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，然后分三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得 【详解】令，得， 若，则 所以在上单调递增， 当时，则， 所以， 又在上单调递增，所以，， 当时，， 又在上单调递增，所以，不合题意； 当时，， 所以， 又在上单调递增， 所以，所以，， 综上可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对变形，结合正余弦函数的单调性即可得. 16. 已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出等边三角形和正方形的边长及其内切圆半径，根据所求结果和正方形可在内任意旋转可知，正方形各个顶点在三角形的内切圆上，建立合适的直角坐标系，求出三角形的顶点坐标和其内切圆的方程，设出的三角坐标，根据可得到关于坐标中变量的关系，分类讨论代入中化简，用辅助角公式分别求出最大值，选出结果即可. 【详解】解：因为是面积为的等边三角形，记边长为， 所以，解得， 记三角形内切圆的半径为，根据，可得： ，解得， 因为正方形面积为2，所以正方形边长为， 记正方形外接圆半径为， 所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即， 根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知， 正方形外接圆即为等边三角形内切圆，因为正方形可在内任意旋转， 可知正方形各个顶点均在该三角形的内切圆上， 以三角形底边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示： 故可知，圆的方程为， 故设，， 因为，即， 化简可得，即， 解得或， ①当时，点坐标可化为， 此时 ， 所以当，即，即， 即时，取得最大值； ②当时，点坐标可化为， 此时 ， 因为，所以当，即，即， 即时，取得最大值， 综上可知：取得最大值. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查平面几何的综合应用，属于难题，关于圆锥曲线中点的三角坐标的设法有： （1）若点在圆上，可设点为，其中； （2）若点在圆上，可设点为，其中； （3）若点在椭圆上，可设点为，其中； 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接，可得出平面，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出后再利用等差数列前项和公式即可得到答案； （2）利用裂项求和即可得，则得到答案. 【小问1详解】 根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则， 解得或，又数列为递增数列，所以， ，. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， . 因为是单调递增，，又，所以有最小值. 19. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型（以下简称），能够根据用户的文本提示创建最长秒的逼真视频.为调查的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 （1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用. （i）求员工经过培训能应用的概率； （ii）已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 【答案】（1）表格见解析，有把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关； 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 故员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 因此，视频部最多可以调人到其他部门. 20. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点. ①求证：直线与直线的斜率之积为常数； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义判断的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程； （2）①设直线，联立方程利用韦达定理求出，，根据斜率相等求出，然后代入斜率公式表示出化简即可得；②由①知，，所以，然后利用基本不等式求出最值即可 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意， 又，故的轨迹为椭圆. ，， 故的轨迹方程为 【小问2详解】 ①由（1）知，，设直线，，， 联立消去，整理得， 则， 根据题意可设，， 则由，可得， 由，可得， 所以直线与直线的斜率之积 所以直线与直线的斜率之积为定值. ②由①知，，所以. ， ， 所以 当且仅当或时等号成立， 所以面积的取值范围是. 【点睛】关键点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21. 已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数． （1）当时求的解析式； （2）当时，判断函数的单调性并说明理由； （3）若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点． 【答案】（1）； （2）递减区间为，递增区间为； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，再导数的几何意义求出切线方程得. （2）利用导数的几何意义求出切线，进而求出，再利用导数探讨其单调性. （3）根据给定条件，求出与同号的值即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 则函数的图象在处的切线方程为：，即， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，，而， 曲线在点处的切线方程为， 则 ， 求导得， 令，求导得 ，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故 当时，，则，即恒成立， 函数在上单调递增，而， 则当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，总有成立，即与同号， 则当时，，当时，， 而，由（2）知：， ，若，即，则存在使得时，， 函数在上单调递减，，， 在上单调递减，，不合题意； 若，即或，则存在使得时，， 函数在上单调递增，，， 在上单调递减，，不合题意； 因此，即或， 当时，， ，与当时，矛盾； 当时，， 又，令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，当且仅当时取等号，于是，当且仅当时取等号， 因此当时，恒成立，即恒成立， 所以函数的所有点. 【点睛】方法点睛：导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$