8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

长沙市明达中学 高一数学 8.4 空间点、直线、平面 之间的位置关系 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 必修第二册 高一数学组 新课标 人教版 高中数学 1 学习目标 知识目标　1.正确理解空间中两直线间的位置关系(特别是两条直线的异面关系).(重点) 2.掌握空间中直线与平面的交点个数、位置关系及符号表示.(难点) 3.掌握空间中平面与平面的位置关系.(难点) 能力目标　培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力. 素养目标　1.通过空间中两条直线的位置关系的学习，培养直观想象的核心素养； 2.借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习,提升逻辑推理的核心素养． 复习导入 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 符号表示： A∉直线BC, 过点A、B、C有且只有一个平面α. 作用：①确定平面； ②判定两平面是否重合； ③证明点线共面. 平面的基本性质 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. α A • B • l 符号表示： 作用：①判断直线是否在平面内； ②判断点是否在平面内. ⇒l⊂α A∈l，B∈l A∈α，B∈α 复习引入 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. α a A α α b a b a P 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 作用：确定一个平面． 符号表示： 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 作用：①判断两个平面相交的依据； ②判断点在直线上． α l P β 情境引入 在前面的学习中，我们独立地认识了空间中点、直线、平面的概念与性质，接下来，我们来研究空间中点、直线、平面之间有什么位置关系？ ! 点、直线、平面之间的位置关系 点与直线 点与平面 直线与直线 直线与平面 平面与平面 探索新知 问题 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系， 如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等. 点与直线的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？ 点与平面的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？ 点A在直线l上． 点B在直线l外． 点A在平面 内， 记作 ． 记作 ． 点B在平面 外， ● A ● B l α ● A ● B 探索新知 问题 同一平面内的直线有哪些位置关系？ 相交（有一个公共点） 平行（无公共点） a b O a b 既非平行 又非相交 空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗? 垂直 × 概念生成 如果直线a, b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图所示. α β a b 1. 异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. ①定义: ②画法: ③判别: Ⅰ. （反证法）两条直线既不相交、又不平行. Ⅱ.（定义法）两条直线不同在任何一个平面内. 探索新知 ③直线𝐴𝐵与是什么位置关系？是平行还是相交？ 探究：空间中的直线与直线有哪些位置关系？ ①直线𝐴𝐵与𝐷𝐶在同一个平面𝐴𝐵𝐶𝐷内， 它们没有公共点，它们是平行直线； ②直线𝐴𝐵与𝐵𝐶也在同一个平面𝐴𝐵𝐶𝐷内， 它们只有一个公共点𝐵，它们是相交直线； B D C A' B' C' D' A 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 追问：直线𝐴𝐵与有什么特征？该如何命名呢？ 都不是 没有一个公共点、不在同一个平面 异面直线 探索新知 相交直线 平行直线 异面直线 a b M 答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行. a b a b 问题 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ a b 异面直线 探索新知 问题 观察下图的长方体，棱与直线 有哪些不同的位置关系？ 棱 　 与 平行． 棱 与 相交． 共面 棱 与 异面． 2. 空间两条直线的位置关系 有且只有三种 共面直线 相交直线： 在同一平面内，有且只有一个公共点； 在同一平面内，没有公共点； 不同在任何一个平面内，没有公共点. 平行直线： 异面直线： 例1　已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明. 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面.如图(1)(2)(3). 典例辨析 跟踪训练1　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_____； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是_____. 平行 异面 相交 异面 跟踪训练 探索新知 3. 空间中直线与平面的位置关系 问题 下图中，直线AB与平面ABCD有多少个公共点？直线AA'与平面ABCD呢？直线A'B'与平面ABCD呢？ ①直线在平面内—有无数个公共点； ②直线与平面相交—有且只有一个公共点； ③直线与平面平行—没有公共点. B D C A' B' C' D' A 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 A • α a 探索新知 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 符号表示 图形表示 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 无数个 有且只有一个 没有 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数. 典例辨析 例2 如下图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a. 直线AB与a具有怎样的位置关系? 为什么? 直线AB与a是异面直线. 理由如下： 若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行. B • α a A • 解： 设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β. 由推论1可知经过点B与直线a有且仅有一个平面α， 因此平面α与β重合. 从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾. 所以直线AB与a是异面直线. 启示：一种判断异面直线的方法 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 跟踪训练 练.已知是空间四个点,且直线与是两条异面直线. 证明:直线与也是异面直线. 方法一(定理法):因为直线与是两条异面直线, 所以平面, 因为平面,,平面, 所以与是异面直线. 方法二(反证法）:假设和不是异面直线,则与在同一平面内, 所以,,,四点在同一平面内, 所以,就分别有两个点在这个平面内, 则,在这个平面内, 所以与不是异面直线,这与已知条件产生矛盾, 所以和是异面直线. (1)直接证明:如图,若,,,则直线与直线是异面直线; (2)反证法证明：先假设两条直线不是异面直线,两条直线共面,即平行或相交, 再推出矛盾否定假设. 关于异面直线的证明 探索新知 探究：空间中的平面与平面有哪些位置关系？ ①平面与平面没有公共点； ②平面与平面有无数公共点， 恰好形成了一条公共直线， B D C A' B' C' D' A 再结合生活实例(如教室中的面、书本等)，我们可以看出，平面与平面的位置关系有且只有2种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线. 两平面相交或平行的如何用符号语言与图形语言表示？ 探索新知 两平面平行：画两个两个平行四边形表示，但要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行。 两平面相交：在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一 个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画 概念生成 4. 空间中平面与平面的位置关系 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线. α β α // β α β l α∩β=l 注意：画两个平面平行时，通常画两个对应边互相平行的平行四边形. 问题 下图中，平面ABCD与平面A'B'C'D'有多少个公共点？平面ABCD与平面BCC'B'呢？ α l B D C A' B' C' D' A 典例辨析 例3.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系. 解：在(1)中，，，. 在(2)中，，，， ，，. 跟踪训练.用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系 解：题图(1)中,,,∥,,; 题图(2)中,,,, , 1.按顺序写避免遗漏：一般先表示面与面的关系,再表示线与面的关系,最后表示点的位置; 2.正确使用符号：面与面可以用//,;线与面可以用//,,,;点与线、面可以用,. 随堂检测 1. 若直线与平面平行,直线,则与的位置关系是 (　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.没有公共点 解：因为直线与平面平行,所以与平面没有公共点, 又直线,所以与没有公共点,故错误,D正确; 直线与直线没有公共点,则与可能平行,也可能异面,故A与B错误. 选D 2. 已知两直线,,两平面,,若,,∥,则与的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 解：因为∥,所以与没有公共点, 又,,所以与没有公共点, 则与的关系为平行或异面. 选D D D (1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断; (2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断; (3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断 关于点、直线、平面位置关系的判断 概念辨析（牛刀小试） 探究.如图，在长方体中，连接，，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子并用符号表示这些位置关系。 与其他同学交流一下你的结果 直线平面 ，直线 // 平面. 活动. ①一个平面把空间分为几部分？ ②二个平面把空间分为几部分？ ③三个平面把空间分为几部分？ 课堂小结 共面直线 异面直线： 平行直线： 相交直线： 在同一平面内，有且只有一个公共点； 在同一平面内，没有公共点； 不同在任何一个平面内，没有公共点. 1. 空间中直线与直线的位置关系 ①直线在平面内—有无数个公共点； ②直线与平面相交—有且只有一个公共点； ③直线与平面平行—没有公共点. 2. 空间中直线与平面的位置关系 ①两个平面平行——没有公共点； 3. 空间中平面与平面的位置关系 ②两个平面相交——有一条公共直线. 课后作业 课 后 作 业 《概念辨析知识回顾》 《分层作业》 $