第8章整式乘法与因式分解单元卷-2025-2026学年沪科版数学七年级下学期.

2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （考试范围：第8章：整式乘法与因式分解） 1、 单选题（每小题3分，共30分） 1．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 2．下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误． B、，∴B错误． C、，∴C错误． D、，∴D正确． 3．若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂的底数不能为，求解即可. 【详解】解：∵有意义， ∴ ，解得 4．若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据幂的运算规则可得，， 把，代入得，原式． 故选：D． 5．一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：三角形的面积是． 6．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 7．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 8．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】C 【分析】先由已知条件得出，再把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 9．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 10．下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 12．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 13．已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 14．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式． 先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 15．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 16．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及整式的加减运算． 解题的关键是严格遵循幂的运算规则，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） 18．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式法计算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项后代数求解． 【详解】解： ∵， ∴原式． 20．已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的应用及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）通过完全平方公式、平方差公式展开代数式，再合并同类项化简； （2）根据完全平方式的结构特征求出的值，代入化简后的代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是完全平方式，， ∴， 将代入得 ． 21．如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． (1)求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1)（） (2)完成绿化共需要1220元 【分析】（1）利用长方形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可； （2）将，，代入式子中，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：当时， （）， 元． 答：完成绿化共需要元． 22．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，读懂阅读材料中的分解方法是解此题的关键． （1）设另一个因式为，从而得出，对应相等可得，，计算即可得出结果； （2）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （3）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：∵设另一个因式为， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得， 解得，． （3）解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 23．阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可推出，再由非负数的性质可得答案； （2）根据已知条件可推出，再由非负数的性质可得x、y的值，最后代入求值即可； （3）求出，则可得到，即，利用非负数的性质求出b、c的值，进而求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【分析】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （考试范围：第8章：整式乘法与因式分解） 1、 单选题（每小题3分，共30分） 1．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 3．若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 5．一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 6．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 7．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 8．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 9．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 10．下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如果因式分解的结果为，那么_________． 12．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 13．已知，，则的值为______． 14．计算：_______． 15．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 16．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．因式分解： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中，． 20．已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 21．如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． (1)求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 22．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 23．阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 24．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $