精品解析：重庆市兼善中学 2025-2026学年 九年级下学期阶段性质量检测 数学试题

2026年春季初三年级阶段性质量检测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由相反数的定义：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，可知，2026的相反数是． 【详解】解：∵绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是． 故选：B． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．是轴对称图形，故该选项符合题意． 3. 如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某地水稻的生长情况 B. 调查某品牌无人机的抗风能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班立定跳远的成绩 【答案】D 【解析】 【分析】由全面调查适合范围小、易操作、无破坏性的调查；抽样调查适合范围大或具有破坏性的调查判断． 【详解】解：A、调查某地水稻的生长情况，调查范围比较大，适合抽样调查； B、调查某品牌无人机的抗风能力，调查具有破坏性，适合抽样调查； C、调查某市垃圾分类的情况，调查范围比较大，适合抽样调查； D、调查全班立定跳远的成绩，调查范围小、易操作、无破坏性，适合全面调查． 5. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角可知，根据三角形内角和定理可以求出，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 在中，， ， ， . 6. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数上点的特征，根据反比例函数求出点的坐标是解题的关键． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴； ∵点在函数上， ∴； ∵点在函数上， ∴； ∴， 故选：B． 7. 按如图所示的规律拼图案，第①个图中有 5 个★，第②个图中有 9 个★，第③个图中有个★…… 按照这一规律，第⑨个图中★的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律的探索，发现规律是关键．先根据前面几个图形中★的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解∶图①中有5个★，， 图②中有9个★，， 图③中有13个★，， 第n个图形中有， 以此类推，第⑨个图中★的个数是 (个)， 故选∶C． 【点睛】 8. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． 设平均每次降价的百分率为，则，由此进行求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则， 解得或（舍去） 平均每次降价的百分率为． 故选B． 9. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，，可证，由角度和边长关系可证四边形为正方形，设，再求得，，，根据可证，即可求出，得，由即可得出结果． 【详解】解：过点作，，如下图所示： 则有， ∵， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， 设， ∴， ∴， 解得，，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式，一元二次方程的解，整式，根据题中所给规定，对每种情况进行分析，再进行判断即可．解题的关键是掌握相关知识的运算和推理． 【详解】解：， 这个单项式不满足条件， 满足条件的整式的单项式为这三种， 故①不正确； ， ， 则可得， 解得， ， ， 方程一定有实数解，故②正确； 当时，只有这一种情况， 当时，此时中有一个数是，其余三个是，则有4种情况， 满足条件的整式共有5个； 故③正确， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 用科学记数法表示：____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 在一个不透明的布袋中装有个紫色小球和个蓝色小球，这些球除颜色外无其他差别，若从中任意摸出一个球（不放回），再摸一次，则两次都摸出紫球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过画树状图得到所有等可能的结果数，再找出两次都摸出紫球的结果数，利用概率公式求解即可. 【详解】解：记两个紫色小球分别为紫，紫，蓝色小球为蓝，画树状图得， 共有种等可能的结果，其中两次都摸出紫球的结果有种， 根据概率公式，可得两次都摸出紫球的概率为. 13. 已知，其中为正整数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合已知条件即可求出正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，为正整数， ∴． 14. 若，为实数，且同时满足，，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过消元得到绝对值方程，分情况去掉绝对值符号求得，的值，再代入计算即可． 【详解】解：由，得，代入， 得， 即， 当时，，不成立； 当时，，则， 解得 ， 代入 ，得， 故． 15. 以为直径的与相切于点，弦于点连接并延长交于点F、交于点，连接．若．则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由垂径定理可求；由与相切于点，可得，则，，如图，连接，，由圆周角定理可得，则，，证明四边形是平行四边形，则，，，证明，则，，，如图，过作的延长线于，设，则，证明，则，即，可求，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵为直径，， ∴， 由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 如图，过作的延长线于， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 16. 一个四位自然数满足各数位上的数字均不为，且，则称这个四位数为“平衡数”．例如：四位数，∵，∴是“平衡数”．最大的“平衡数”是______；若是一个“平衡数”，设，且能被整除，则满足条件的的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据新定义“平衡数”，仿照示例，可得到最大的“平衡数”是，先表示出，代入到中，得到能被整除， 结合题意，得到符合条件的最小“平衡数”， 正确理解新定义，并加以应用是解题的关键． 【详解】解：∵根据“平衡数”的定义，各数位上的数字均不为，且， ∴要取得最大的平衡数，则千位取值尽量大， 又∵，的值最大为， ∴的值最大为， ∴当时，不符合题意， 当时， 则可取，不符合题意， 当时，，则，， ∴最大的“平衡数”为； ∵是一个“平衡数”， ∴ ， ∴ ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵各数位上的数字均不为， ∴要使最小, 先设，则能被整除， ∴最小取， ∴， ∴当时，， ∴满足条件的最小的值为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， 所有整数解为，0，1． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 【答案】（1） 解：如图所示： （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据题干证明思路，结合直角三角形的性质等相关知识解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ，， ． 垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 【答案】（1）83.5，87，10 （2） 该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是81.5，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好； （3）306 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用题意及扇形统计图即可求出七年级各组人数，再利用中位数定义和D组数据即可求出和的值，再利用众数定义即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， 在B组中的数据有7（人）， 在C组中的数据有（人）， 则在D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，84， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计2次， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在D组中的数据共2个， ∴， ∴， 故答案为：83.5，87，10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是306人． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 代入上式，得． 21. 列方程解下列问题： 某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元． （1）求每个笔袋和笔记本的售价； （2）促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少．每个笔袋比每个笔记本售价少9元，求促销期间每个笔记本的售价． 【答案】（1）每个笔袋的售价为16元，每个笔记本的售价为31元 （2）促销期间笔记本售价为27元． 【解析】 【分析】（1）设每个笔袋的售价为x元，每个笔记本的售价为y元，根据购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元建立方程组求解即可； （2）设小明购买m个笔记本，则购买个笔袋，根据每个笔袋比每个笔记本售价少9元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每个笔袋的售价为x元，每个笔记本的售价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每个笔袋的售价为16元，每个笔记本的售价为31元； 【小问2详解】 解：设小明购买m个笔记本，则购买个笔袋， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：促销期间每个笔记本的售价为27元． 22. 如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 解： 函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）或 【解析】 【分析】连接，证明，，求解关于x的函数表达式；根据菱形和三角形面积公式得出，，即可求解关于x的函数表达式； 描点连线即可作图函数图象，再分析增减性即可写出一条性质； 先求出，再判断时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积， 当时， ， ∴ ， ， ， ， ， 当时，， 当时， ， ∴ ， ， ，， ， ， ， 当时，， ∴； 的面积， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 当时，或． 23. 如图，周末小明和小亮准备去公园做义务安全员，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的正北方向，景点位于景点的南偏东方向且距离处米处，景点位于景点的正西方向，景点位于景点的东北方向，景点位于景点的正西方米处．（参考数据：） （1）求景点到景点的距离；（结果保留到小数点后一位） （2）小明从景点出发，沿正西方向巡视，小亮从景点出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达处时，小亮刚好到达边上的处，此时，处到景点的距离与处到景点的距离相等，求的长度． 【答案】（1）约为米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据三角形内角和定理求出，利用的正弦函数求出米，利用的正弦函数求出的长即可； （2）根据速度相同得出米，可得米，利用勾股定理求出的值，进而求出的长度即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 由题意可知，，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：景点到景点的距离约为米． 【小问2详解】 解：如图所示：由题意可知，米，， ∵两人速度相同， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）． ∴的长度为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； （3）在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时， （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可得抛物线的表达式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次函数的性质即可得的最大值为，； （3）先求出直线解析式，根据点是的角平分线与的交点得出，根据抛物线解析式可求出对称轴为直线，，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于，作，交轴于，连接，可得四边形是平行四边形，，即可得出、、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为，利用两点间距离公式求出的长即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴此时，． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是的角平分线与的交点，且在第三象限， ∴点到轴和轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等， 设， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且， ∴， 如图，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于，作，交轴于，连接， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为， 由（2）可知，， ∴， ∴的最小值为． 25. 如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． （1）如图1，若，且，求的长； （2）如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若平分，平分，于点F，的面积为，，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）若，则，如图1，过点作于，则，，得出，根据，解直角三角形求出，根据，求出即可． （2）如图，连接，延长至，使，连接，根据，得出，结合，得出证明是等边三角形，得出，，，证明，得出，即可得，证出，，即可证明，即可证出； （3）过点作于点于点，连接，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时，最大，过点作于点，利用，可得，点轨迹为到直线距离为3的定直线，即，且距离为3，过点作直线的对称点，连接，当依次共线时，取最小值，此时，证明，证明共线，求出，利用即可求解． 【小问1详解】 解：若，则， 如图，过点作于，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点于点，连接， ∵平分平分， ， ， ∵的面积为，， ， 则当最小时，最大， 即当最小时，最大， 过点作于点， 则， 即， 解得：， 点轨迹为到直线距离为3的定直线，即，且距离为3，如图， 过点作直线的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当三点共线时，取最小值，即当三点共线时，最小值为， 当三点共线时，如图， ， ， 又， ， ， 平分平分， 平分， ， 又， ∴共线， 即是与l的距离， ， ， ， ， 得， 解得：， 即的最大值为． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次根式，角平分线的性质，勾股定理，将军饮马问题，熟练掌握这些性质和定理，并会利用中点构造全等，利用动点找轨迹，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季初三年级阶段性质量检测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某地水稻的生长情况 B. 调查某品牌无人机的抗风能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班立定跳远的成绩 5. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律拼图案，第①个图中有 5 个★，第②个图中有 9 个★，第③个图中有个★…… 按照这一规律，第⑨个图中★的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 用科学记数法表示：____________． 12. 在一个不透明的布袋中装有个紫色小球和个蓝色小球，这些球除颜色外无其他差别，若从中任意摸出一个球（不放回），再摸一次，则两次都摸出紫球的概率为________． 13. 已知，其中为正整数，则的值为______． 14. 若，为实数，且同时满足，，则为________． 15. 以为直径的与相切于点，弦于点连接并延长交于点F、交于点，连接．若．则___________，___________． 16. 一个四位自然数满足各数位上的数字均不为，且，则称这个四位数为“平衡数”．例如：四位数，∵，∴是“平衡数”．最大的“平衡数”是______；若是一个“平衡数”，设，且能被整除，则满足条件的的最小值是______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 列方程解下列问题： 某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元． （1）求每个笔袋和笔记本的售价； （2）促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少．每个笔袋比每个笔记本售价少9元，求促销期间每个笔记本的售价． 22. 如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，周末小明和小亮准备去公园做义务安全员，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的正北方向，景点位于景点的南偏东方向且距离处米处，景点位于景点的正西方向，景点位于景点的东北方向，景点位于景点的正西方米处．（参考数据：） （1）求景点到景点的距离；（结果保留到小数点后一位） （2）小明从景点出发，沿正西方向巡视，小亮从景点出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达处时，小亮刚好到达边上的处，此时，处到景点的距离与处到景点的距离相等，求的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； （3）在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 25. 如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． （1）如图1，若，且，求的长； （2）如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若平分，平分，于点F，的面积为，，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $