精品解析：山东青岛胶州市洋河中学2025-2026学年第二学期八年级第一次学情睚测数学试题（4月）

八年级下册数学第一次月考 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的整数解有无数个 C. 不等式的整数解是0 D. 是不等式的一个解 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则下列直角三角形与全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点D，若，则下列说法错误的是（ ） A cm B. cm C. D. 8. 一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是平分线，于，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围_____________． 12. 不等式组无解，则m取值范围_________． 13. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为________. 14. 如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则________． 15. 如图，在中，已知， ，．若，则的度数为__________． 16. 如图，在中，，AD是的平分线，若点P是AD上一动点，且作于点N，则的最小值是______． 三、解答题（共计52分） 17 解不等式： （1）； （2）． 18. 解不等式组： （1），并把解集表示在数轴上． （2）． 19. 在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 20. 为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 21. 如图，平分，于E，于F，且． （1）证明：； （2）若，，求的长度； 22. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； （3）若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学第一次月考 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的整数解有无数个 C. 不等式的整数解是0 D. 是不等式的一个解 【答案】C 【解析】 【分析】先求出各不等式解集，再结合不等式的解、整数解的概念判断各选项正误，找出错误说法即可． 【详解】解：A、，解得，故本选项正确，不符合题意； B、的整数解包括2、1、0和所有负整数，有无数个，故本选项正确，不符合题意； C、，解得：，则该不等式的整数解是所有不大于0的整数，故本选项错误，符合题意； D、将代入，得，不等式成立，则是不等式的一个解，故本选项正确，不符合题意； 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接利用不等式的性质分别判断得出即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 4. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是A． 6. 如图，在中，，则下列直角三角形与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据直角三角形性质， 推出，再结合全等三角形判定定理分析，即可解题． 【详解】解：在中，， ， A选项中，可根据“”推出该直角三角形与全等，符合题意； B选项中，仅有一边一角对应相等，则推不出该直角三角形与全等，不符合题意； C选项中，为直角边长，中为斜边长，推不出该直角三角形与全等，不符合题意； D选项中，直角边不对应相等，推不出该直角三角形与全等，不符合题意； 故选：A． 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点D，若，则下列说法错误的是（ ） A. cm B. cm C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，化为最简二次根式，根据以上知识逐一分析各选项即可 【详解】， 又， ， 设由勾股定理可知： ， 即， 选项正确，选项错误，符合题意， 故选择：B 8. 一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 9. 如图，是的平分线，于，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作交的延长线于点F，根据角的平分线的性质定理，三角形的面积公式解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵是的平分线，于，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 10. 如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，故结论①正确； ∴，， ∴，故结论②正确； ∴的周长等于，故结论③错误； ∵与的数量关系不确定，无法判定与相等， ∴，不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，将两个函数表达式联立成方程组，解此方程组即可求出点的坐标，再根据函数图象和点的坐标即可得到结果．求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， 根据图象可知，当时，， ∴当时的取值范围是． 故答案为：． 12. 不等式组无解，则m的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 由②式知： ∵不等式组无解 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查象限点的坐标特征．掌握相关结论是解题关键． 14. 如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式得出与即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出是解题的关键． 15. 如图，在中，已知， ，．若，则的度数为__________． 【答案】70° 【解析】 【分析】（1）证△BED≌△CDF； （2）利用AB=AC得到∠B与∠C （3）利用整体法求得∠EDF 【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵BD=CF，BE=CD ∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED ∵∠A=40° ∴∠B=∠C=70° ∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110° ∴∠EDB+∠FDC=110° ∴∠EDF=70° 【点睛】求角度，常见的方法有： （1）方程思想； （2）整体思想； （3）转化思想 本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度 16. 如图，在中，，AD是的平分线，若点P是AD上一动点，且作于点N，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点N关于AD对称点E， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴PN=PE， ∴PN+PC=PE+PC≥EC，且当CE⊥AB时，PN+PC最短， 在直角△ACE中， ∴ 又 ∴ ∴由勾股定理得：， 即PN+PC的最小值是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了轴对称和角的平分线的性质，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是关键． 三、解答题（共计52分） 17 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）通过移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1即可． 【小问1详解】 解： 解得：， ∴不等式的解集为：； 【小问2详解】 解： 解得：， ∴不等式的解集为：． 18. 解不等式组： （1），并把解集表示在数轴上． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解不等式①和②，再求公共解，然后把解集在数轴上表示即可； （2）分别解不等式①和②，再求公共解即可． 【小问1详解】 解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集是． 【小问2详解】 解：， 由①得， 解得， 由②得， ， 解得， 所以不等式组的解集是． 19. 在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴． 20. 为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 21. 如图，平分，于E，于F，且． （1）证明：； （2）若，，求的长度； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平分，，得到，，结合即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，根据，即可得到，即可得到，结合，即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵是角平分线，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，，； 【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线得到三角形全等的条件． 22. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； （3）若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】（1）不是，是 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” 【小问2详解】 解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 【小问3详解】 解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $