精品解析：福建莆田市仙游县第四教研片区 2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测

2026年春季郊尾、枫亭、盖尾十二校教研片区 月考九年级数学试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列式子中，化简结果为5的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：C． 2. 歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为每小时3185000米．将数据3185000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将大数表示为的形式，其中，值可正可负，当表示的数绝对值小于1时，值为负；当表示的数绝对值大于10时，值为正；熟记科学记数法的表示方法，准确找到是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 下列实数中，比1大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．直接估算无理数大小的方法以及实数比较大小的方法分析得出答案． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列分式方程的关键．由题意可表示原计划每人能分到的糖果，及实际每人分到的糖果，再根据原计划每人能分到的糖果实际每人分到的糖果列出方程即可． 【详解】根据题意得：． 故选：A． 6. 已知一次函数的图象经过点，则该函数图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），求一次函数解析式等知识点，熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 将点代入，即可求出一次函数解析式，然后根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：将点代入得， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴该函数图象不经过第三象限， 故选：C． 7. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据题意得到，，由此根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由题意得，，， A.∵， ∴， 故选项A正确，符合题意； B. ∵， ∴， 故选项B错误，不符合题意； C. ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； D.∵，， ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 8. 下列方程有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，即，此时，该方程有两个不相等实数根，符合题意，选项正确； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误； 选项，即，此时，该方程有两个相等实数根，不符合题意，选项错误； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误． 故选：． 9. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，函数y随x的增大而减小， ∵点，为该函数图象上两点，， ∴， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点关于对称轴的对称点为与点不重合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标分别为， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵对于，都有， ∴点关于对称轴的对称点为与点不重合， ∵， ∴， ∵， ∴或， 解得：或． 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若是方程的两个根，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，写出函数图象在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，直线经过点，则关于x的不等式的解集是 故答案为：． 15. 下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列出代数式，根据图形列出代数式即可，熟练运用知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 能表示图中阴影部分面积，  ，不能表示图中阴影部分面积 能表示图中阴影部分面积，  能表示图中阴影部分面积， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿腰翻折至，与反比例函数的图象交于点C．若，C为的中点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，证明是等边三角形是关键．连接，过点作于点D，设点的坐标为，证明是等边三角形，得到，则点的坐标为，，得到，由与反比例函数的图象交于点C，求得即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点D，设点的坐标为， ∵等腰沿腰翻折至，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵与反比例函数的图象交于点C． ∴， 解得（负值已舍去）， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． 【详解】解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，再移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【详解】解：方程两边乘得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴为非负数． （2） 不可以，理由如下： ∵a，b，m，n为整数，n为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴a，b同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 【答案】（1）A的单价50元，B的单价35元 （2）购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据“购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元”列二元一次方程求解即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买总费用w元，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设A的单价为x元，B的单价为y元． 根据题意得：， 解得， 答：A的单价50元，B的单价35元； 【小问2详解】 解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元． 根据题意得： 解得 ∴ ∵， ∴w随m的增大而增大 当时，w取最小值，最小值为2005元． 答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）若实数m，n满足，且，求的值． 【答案】（1）方程必有两个不相等的实数根，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，继而推导出，则方程必有两个不相等的实数根，即可解答； （2）先求出，进而推导出，得到m和都满足方程，可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：在一元二次方程中， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程必有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由，得 ， ∵， ∴， ∴m和都满足方程， 对于一元二次方程， 有， ∵m和是方程的两个根，且， ∴， ∴． 23. 定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； （2）若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； （3）若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】（1） 解：是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）， （3） 解：∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 【解析】 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． 【小问3详解】 略 24. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． 【小问2详解】 解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． 【小问3详解】 解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 25. 如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求解析式，锐角三角函数比，平移的性质，函数图象的对称性，求交点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． （1）利用对称轴求出，将代入解析式即可求解； （2）过点作轴，交于点，令，利用三角函数比表示出，证明，继而可得，设点，则点，利用完全平方公式整理代数式即可得到最值； （3）根据平移的性质得出，作，根据条件得出，进而根据点的坐标得，根据图象的对称性得出直线的表达式为 ，新抛物线解析式和此直线解析式联立即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵对称轴为， 将代入得 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点，令， ∵，， ∴，， 直线的表达式为：， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 由等角的余角相等可得， ， 设点，则点 ， 而， 则 ， 即的最大值为，此时，点； 【小问3详解】 解： 新抛物线的表达式为 ， 由点的坐标，可得， 作， ， ，则， 由可求点坐标为 由点的坐标易得， 则直线的表达式为：， 根据图象的对称性，直线的表达式为: ， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：(舍去) 或， 即点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季郊尾、枫亭、盖尾十二校教研片区 月考九年级数学试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列式子中，化简结果为5的是（ ） A. B. C. D. 2. 歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为每小时3185000米．将数据3185000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数中，比1大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象经过点，则该函数图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列方程有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：__________． 12. 已知，则的值是___________． 13. 若是方程的两个根，则的值为_______． 14. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 15. 下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿腰翻折至，与反比例函数的图象交于点C．若，C为的中点，则点的坐标为___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 21. 学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）若实数m，n满足，且，求的值． 23. 定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； （2）若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； （3）若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 24. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 25. 如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $