精品解析： 福建省莆田市仙游县初中第四教研片区 2024-2025学年下学期九年级第一次月考联考数学科试卷

2025年春季郊尾、枫亭、盖尾初中教研小片区 第一次月考九年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 由开发的人工智能横空出世，聊天机器人在上线至2025年2月，其活跃用户访问量达到278000000次，“278000000”用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 3. 某校成立了“智能机器人社团”，该社团在学校展览架的上下两层摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，设上层摆放了x套机器人模型，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 4. 为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　） A. B. C. D. 7. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例，药物释放完毕后，y与x成反比例，整个过程中y关于x的函数图象如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过（ ） A. 4.2小时 B. 4小时 C. 3.8小时 D. 3.5小时 9. 我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断： ①若，则 ②若，则 ③当时，若，则 所有正确推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：________． 12. 写出一个小于2的正无理数是______． 13. 若x，y互为相反数，则方程的解为________． 14. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 15. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 16. 如图，正方形的顶点A在y轴的正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象与正方形在第二象限交于点B，反比例函数的图象与正方形在第一象限交于点D，若点B到x轴的距离为点C到y轴距离的2倍，则k的值为________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. “互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． （1）求每千克花生、茶叶的售价； （2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积． 21. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 22. 【综合与实践】 【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系． 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当时，则一元二次方程必有一根是． （2）当时，则一元二次方程必有一根是． 请判断两个结论的真假，并说明原因． 【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值． 23. 跨学科学习：研究光的折射现象． 素材1：如图1：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 素材2：为什么池水看起来比实际浅． 素材3：如图2，因为池底点A反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折射光看去，就会感觉这一点升高了． 如图3，以水面所在直线为x轴，所在直线为y轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知眼睛C的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为．（1个单位长度表示1米） 任务1：如图3，若，，则的度数是多少？ 任务2：求人眼睛看到池底处的点比实际的点A处高多少．（即的长度） 24. 如图1是某校操场实物图，图2是运动场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的．最内侧半圆形跑道的半径为a米，最外侧半圆形跑道的半径为b为米，每条直道的长度为c米． （1）列式表示最内侧一圈跑道的长度为________米（保留π）． （2）当最内侧一圈跑道的长度为400米，跑道内部矩形设计成足球场，问直道跑道的长度c为多少米时，矩形面积最大？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是，，连接，． （1）求直线的表达式； （2）将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季郊尾、枫亭、盖尾初中教研小片区 第一次月考九年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 由开发的人工智能横空出世，聊天机器人在上线至2025年2月，其活跃用户访问量达到278000000次，“278000000”用科学记数法为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：“278000000”用科学记数法为， 故选：B． 3. 某校成立了“智能机器人社团”，该社团在学校展览架的上下两层摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，设上层摆放了x套机器人模型，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列不等式，根据将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，列出不等式即可． 【详解】解：设上层摆放了x套机器人模型，由题意，得： ； 故选A． 4. 为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，进行列出方程，即可作答． 【详解】解：∵设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场， ∴， 故选：D． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂除法法则进行运算判断即可． 【详解】解：A、2a、3b不是同类项，不能加减运算，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项正确； D、，此选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答的关键． 6. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可． 【详解】设有x人，物品的价格为y元， 根据题意，可列方程：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系． 7. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键． 由结合最佳分解的定义即可知． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 8. 为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例，药物释放完毕后，y与x成反比例，整个过程中y关于x的函数图象如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过（ ） A. 4.2小时 B. 4小时 C. 3.8小时 D. 3.5小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象，反比例函数的实际应用，求出函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入求出时间，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 解得：分小时， ∴小时， ∴从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过3.8小时， 故选：C． 9. 我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，解释的代数恒等式是， 故选：． 10. 已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断： ①若，则 ②若，则 ③当时，若，则 所有正确推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性进行逐一分析即可得到答案. 【详解】解：① 若，则A与D点关于二次函数对称轴对称，则二次函数的对称轴为，又因为，所以B和C点关于二次函数对称轴对称，所以，故①正确； ②∵若，，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故②正确 ③∵时， ∴抛物线的对称轴 ∵， ∴可以得到抛物线与x轴的两个交点的横坐标一个在-1—0之间，另一个在2—3间， ∵-3＜-1，4＞3 ∴与的值同时大于0或同时小于0 ∴ 故③正确； 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算即可； 本题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式． 【详解】 故答案为：． 12. 写出一个小于2的正无理数是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 13. 若x，y互为相反数，则方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握二元一次方程的解的定义以及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 根据题意可建立二元一次方程组求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 15. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【解析】 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的． 【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的； ，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的； ， 2的乘方的个位数字4个一循环， ， 的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的； ，，且 ，故QGYW（强国有我）的理解是正确的； 故答案为：DDDD． 【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键． 16. 如图，正方形的顶点A在y轴的正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象与正方形在第二象限交于点B，反比例函数的图象与正方形在第一象限交于点D，若点B到x轴的距离为点C到y轴距离的2倍，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定及性质等；过作轴交于，过作轴，结合正方形的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；能熟练利用正方形的性质，全等三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作轴交于，过作轴， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中 ， （）， ，， 点C的坐标为， ， 点B到x轴的距离为点C到y轴距离的2倍， ， ，， ，， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式乘法计算法则约分，再计算分式加法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. “互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． （1）求每千克花生、茶叶的售价； （2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元；（2）花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元． 【解析】 【分析】（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解； （2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意可得，，然后求出不等式组的解集，进而根据一次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得： ， 解得：， ∴花生每千克的售价为50-40=10元； 答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元 （2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意得： ， 解得：， ∴， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=30时，w有最大值，最大值为； 答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元． 【点睛】本题主要考查一次函数及一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握一次函数及一元一次不等式组的实际应用是解题的关键． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积． 【答案】（1）；（2）18 【解析】 【分析】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a，即可求出反比例函数解析式； （2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积． 【详解】解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上， ∴． 解得． ∴． ∴反比例函数的表达式是． （2）∵， ∴点A，点B的坐标分别是． ∵点A，点B在一次函数的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式是． 当时，． ∴点C的坐标是． ∴． ∵点D是点C关于原点O的对称点， ∴． 作轴于点E， ∴． 【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标． 21. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴为非负数． （2） 不可以，理由如下： ∵a，b，m，n为整数，n为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴a，b同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 【综合与实践】 【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系． 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当时，则一元二次方程必有一根是． （2）当时，则一元二次方程必有一根是． 请判断两个结论的真假，并说明原因． 【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值． 【答案】 操作判断：（1）结论正确，理由如下： 令代入得，符合题意； （2）结论正确，理由如下： 令代入得：，即，符合题意； 实践探究： 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）将代入，即可判断； （2）将代入，即可判断； 实践探究：由可推出是方程的根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；将代入可推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，即可求解． 【详解】操作判断：（1）略 （2）略 实践探究： ∵ ， 是方程的根． 设方程的另外一个根是，则， ； 又， 是方程的一个根， 设方程的另外一个根为， 则， ， ． 23. 跨学科学习：研究光的折射现象． 素材1：如图1：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 素材2：为什么池水看起来比实际浅． 素材3：如图2，因为池底点A反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折射光看去，就会感觉这一点升高了． 如图3，以水面所在直线为x轴，所在直线为y轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知眼睛C的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为．（1个单位长度表示1米） 任务1：如图3，若，，则的度数是多少？ 任务2：求人眼睛看到池底处的点比实际的点A处高多少．（即的长度） 【答案】任务1：；任务2：米 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形内角和定理，一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据对顶角相等得到，再根据计算求解即可； （2）求出直线解析式，进而求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：任务1：∵ ∴ 任务2：解：设直线的解析式为． 把，代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； 当时，，即． ∵点A的坐标为， ∴． 答：人眼睛看到池底处的点比实际的点A处高米． 24. 如图1是某校操场实物图，图2是运动场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的．最内侧半圆形跑道的半径为a米，最外侧半圆形跑道的半径为b为米，每条直道的长度为c米． （1）列式表示最内侧一圈跑道的长度为________米（保留π）． （2）当最内侧一圈跑道的长度为400米，跑道内部矩形设计成足球场，问直道跑道的长度c为多少米时，矩形面积最大？ 【答案】（1） （2）当时，矩形面积最大 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式和二次函数的性质，读懂题意找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据圆和矩形的周长公式即可得到结论； （2）设矩形面积为S，由题意可知，，则，根据列出二次函数判断即可. 【小问1详解】 解：根据题意得：最内侧一圈跑道的长度为米 故答案为：； 【小问2详解】 设矩形EFGH的面积为S，由题意可知，， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴当时，矩形面积最大. 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是，，连接，． （1）求直线的表达式； （2）将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 【答案】（1） （2）点D不在抛物线的对称轴上，见解析 （3）当时，的最大值为，此时点P坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式； （2）抛物线的表达式为，点B坐标为．可证明．继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上； （3）分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线过点，， ，解得： ∴抛物线的表达式为 设直线的表达式为，则 解得： ∴直线的表达式为. 【小问2详解】 点D不在抛物线的对称轴上，理由是： ∵抛物线的表达式为. ∴点B坐标为. ∵，， ∴. 又∵， ∴. ∴. ∴， ∴. ∴将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上， 延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，如图1. 又∵， ∴. ∴，则点D横坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线. 故点D不在抛物线的对称轴上. 【小问3详解】 设过点B、C的直线表达式为， ∵，， 解得： ∴过点B、C的直线解析式为 如图2，过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，点M坐标为， 过点P作x轴的垂线交于点N，垂足为H，如图2. 设点P坐标为，则点N坐标为， ∴， ∵， ∴. ∴. 若分别以、为底计算和的面积（同高不等底）， 则与的面积比为，即. ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时点P坐标为. 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $