8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是 （ ） A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，m∥β，则m⊥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1 （ ） A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直 4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在 （ ） A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部(不包括边界) 5．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是 （ ） A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 二、多项选择题 6．已知平面α⊥平面β，则下列命题为真命题的是 （ ） A．α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线 B．在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线 C．α内的任意一条直线必垂直于β D．过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α 7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是 （ ） A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC 三、填空题 8．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________． 9．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 四、解答题 10．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证： （1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. 11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为棱AD的中点． （1）求证：BG⊥平面PAD. （2）若E为棱BC的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 能力提升练 12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC(0<k<1)，则 （ ） A．当k＝时，平面BPC⊥平面PCD B．当k＝时，平面APD⊥平面PCD C．对任意k∈(0，1)，直线PA与底面ABCD都不垂直 D．存在k∈(0，1)，使直线PD与直线AC垂直 13．等边三角形ABC(如图1所示)的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ(如图2所示)，在图2中，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，则在折起的过程中，当x＝________时，d2取得最小值，最小值为________． 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面ABP⊥平面ABCD，E，F分别为BC，AP的中点，且AD＝AP＝PB＝AB＝2. （1）求证：BP⊥DF； （2）求三棱锥P－DEF的体积； （3）求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值． 8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质定理同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：①当l∥β时，∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，∵l⊥α，则l∥β或l⊂β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β”的必要条件．故选A. 答案：A 2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是 （ ） A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，m∥β，则m⊥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 解析：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α与γ相交，故A不正确；若α⊥β，m∥β，则m与α相交或m∥α或m⊂α，故B不正确；若m∥α，n∥α，则m与n可以平行、相交或异面，故C不正确；垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．故选D. 答案：D 3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1 （ ） A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直 解析：如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.易得BD与CC1是异面直线．故选C. 答案：C 4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在 （ ） A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部(不包括边界) 解析：连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上．故选A. 答案：A 5．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是 （ ） A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点． 答案：D 二、多项选择题 6．已知平面α⊥平面β，则下列命题为真命题的是 （ ） A．α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线 B．在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线 C．α内的任意一条直线必垂直于β D．过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α 解析：A中，设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；B中，如果β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；C中，α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；D中，垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题． 答案：AB 7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是 （ ） A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC 解析：∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误．故选ABC. 答案：ABC 三、填空题 8．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________． 解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝. 答案： 9．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 解析：如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°. 答案：45° 四、解答题 10．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证： （1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. 证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. （2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B， AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC， 所以AD⊥AC. 11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为棱AD的中点． （1）求证：BG⊥平面PAD. （2）若E为棱BC的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 解：（1）证明：在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD. （2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 如图，取PC的中点F，连接DE，EF，DF，PG. 在△PBC中，FE∥PB，FE⊄平面PGB，PB⊂平面PGB，所以FE∥平面PGB. 在菱形ABCD中，DG∥BE且DG＝BE，所以四边形BEDG为平行四边形，则DE∥BG，又DE⊄平面PGB，BG⊂平面PGB，所以DE∥平面PGB，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB. 因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD. 因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD. 能力提升练 12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC(0<k<1)，则 （ ） A．当k＝时，平面BPC⊥平面PCD B．当k＝时，平面APD⊥平面PCD C．对任意k∈(0，1)，直线PA与底面ABCD都不垂直 D．存在k∈(0，1)，使直线PD与直线AC垂直 解析：当k＝时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN(图略).由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB， ∴BC⊥AM.又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC.又DN⊂平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD.故选A. 答案：A 13．等边三角形ABC(如图1所示)的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ(如图2所示)，在图2中，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，则在折起的过程中，当x＝________时，d2取得最小值，最小值为________． 解析：在题图1中取BC的中点D，连接AD，交PQ于点R，连接RB，如图3所示，在图2中对应如图4所示． ∵平面APQ⊥平面PBCQ，且AR⊥PQ，AR⊂平面APQ，平面APQ∩平面PBCQ＝PQ，∴AR⊥平面PBCQ.∵RB⊂平面PBCQ，∴AR⊥RB.而AR2＝x2，在Rt△BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝()2＋(－x)2，在Rt△ARB中，d2＝BR2＋AR2＝2x2－ax＋a2＝2(x－)2＋(0<x<)， ∴当x＝时，d2取得最小值，最小值为. 答案：　 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面ABP⊥平面ABCD，E，F分别为BC，AP的中点，且AD＝AP＝PB＝AB＝2. （1）求证：BP⊥DF； （2）求三棱锥P－DEF的体积； （3）求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DA⊥AB. 又∵平面ABP⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面ABP＝AB，DA⊂平面ABCD， ∴DA⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，∴DA⊥BP. ∵AP＝BP＝2，AB＝2，∴AP2＋BP2＝AB2， ∴BP⊥AP. ∵DA∩AP＝A，DA，AP⊂平面DAP， ∴BP⊥平面DAP. ∵DF⊂平面DAP，∴BP⊥DF. （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥AB，AD∥BC. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离． 由（1）得DA⊥平面ABP，BP⊥平面DAP， 则S△PDF＝PF·AD＝×1×2＝1， ∴VP－DEF＝VE－PDF＝S△PDF·BP＝×1×2＝，故三棱锥P－DEF的体积为. （3） 如图，过点F作FM⊥AB于点M，连接ME，BF， ∵平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP＝AB，FM⊂平面ABP， ∴FM⊥平面ABCD，∴∠FEM为直线EF与平面ABCD所成的角． 由已知可得FM＝，BF＝， 由AD⊥平面ABP，AD∥BC，可知BC⊥平面ABP， 又BF⊂平面ABP， ∴BC⊥BF，∴BE⊥BF，∴EF＝， ∴在Rt△FME中，sin ∠FEM＝＝＝，故直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $