8.6.3第1课时 平面与平面垂直的判定定理 课时达标-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3.1平面与平面垂直的判定定理 一．选择题 1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个半平面α,β所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则该二面角的平面角的大小为(　　) A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　) A.60° B.30° C.45° D.15° 3.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　) A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 4.(多选题)如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形, AC=BC,O为AB的中点.下列说法正确的是(　　) A.平面PAB⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面POC C.平面POC⊥平面ABC D.平面PCA⊥平面PCB 5.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),PA垂直于圆O所在的平面,点M为PB的中点,下列结论正确的是(　　) A.PA∥平面MOB B.平面MOC⊥平面PAB C.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC 6.(多选题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,E是BD的中点,将△ABD沿对角线BD折起,设折起后点A的位置为A',并且A'E⊥平面BCD.下列说法正确的是(　　) A.A'D⊥BC B.三棱锥A'-BCD的体积为 C.CD⊥平面A'BD D.平面A'BC⊥平面A'DC 二．填空题 7.如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折起,形成一个二面角,此时∠B'AC=60°,则这个二面角大小是　　　　　 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为　　　　　.  9.如图,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG⊂α,∠GAE=45°,若AG与β所成的角为30°,则二面角α-EF-β的大小为　　　　　.  三．解答题 10.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=. (1)证明:平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的平面角的大小. 11.图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折叠使得BE与BF重合,连接DG,如图②所示. 图① 图② (1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图②中的四边形ACGD的面积. 12.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD. 13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°, AD=2PA=2AB=2BC=2. (1)求证:平面PCD⊥平面PAC. (2)在线段PC上是否存在点E,使得平面AED⊥平面PCD?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定定理 一．选择题 1.C 2.C 由题意,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°. 3.A 因为BC⊥AB,BC⊥PA,PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB, 同理AD⊥平面PAB, 又BC⊂平面PBC,AD⊂平面PAD, 所以平面PBC⊥平面PAB,平面PAD⊥平面PAB. 故选A. 4.ABC 因为PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,所以PO⊥AB,CO⊥AB. 又PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC. 又AB⊂平面PAB,AB⊂平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正确. 因为△ABC为等腰直角三角形,O为AB的中点,所以AO=CO. 又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,所以∠POA=∠POC=90°,即PO⊥CO. 又PO⊥AB,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABC,又PO⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.故A正确.D不正确.故选ABC. 5.D PA⊂平面MOB,故A错误;当点C在圆周上运动时,平面MOC与平面PAB不一定垂直,故B错误;因为AB为圆O的直径,所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以OC与平面PAC不垂直,故C错误;又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确. 6.CD 在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,则∠DBC=∠ADB=45°. 又∠BCD=45°, 故△BCD为等腰直角三角形,BD⊥CD. 如图,因为A'E⊥平面BCD,CD⊂平面BCD, 所以A'E⊥CD,又A'E∩BD=E,所以CD⊥平面A'BD,故C正确. 由A'E⊥平面BCD,得A'E⊥BC. 如果A'D⊥BC,则可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾.故A错误. 三棱锥A'-BCD的体积为V=.故B错误. 在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2, 所以A'C=. 在三角形A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'. 又BA'⊥DA',且CA'∩DA'=A',所以BA'⊥平面A'DC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确. 二．填空题 7. 90° 如图,连接B'C,则△AB'C为等边三角形. 由题意可知,∠B'DC为所求二面角的平面角. 设AD=a,则B'C=AC=a,B'D=DC=a, 所以B'C2=B'D2+DC2, 所以∠B'DC=90° 8. 如图所示,连接AC,交BD于点O,连接A1O. 因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥BD. 因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD. 又AA1∩AC=A,所以BD⊥平面A1AO. 因为AO⊂平面A1AO,A1O⊂平面A1AO, 所以BD⊥AO,BD⊥A1O, 所以∠A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角. 在△A1OA中,设AA1=a,则AO=a, 所以二面角A1-BD-A的正切值为. 9.45° 如图,作GH⊥β于点H,作HB⊥EF于点B,连接AH,GB,则GB⊥EF, 故∠GAH为AG与β所成的角, ∠GAH=30°,∠GBH为二面角α-EF-β的平面角. 设AG=a,则GB=a,GH=a, 故sin∠GBH=. 由题意知∠GBH为锐角,所以∠GBH=45°,故二面角α -EF-β的大小为45°. 三．解答题 10. (1)证明连接BD(图略),因为四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点,所以BE⊥CD. 又AB∥CD,所以BE⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE. 又PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB. 又BE⊂平面PBE, 所以平面PBE⊥平面PAB. (2)解由(1)知,BE⊥平面PAB, 所以BE⊥PB. 又AB⊥BE, 所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角. 在Rt△PAB中,tan∠PBA=, 所以∠PBA=60°. 故二面角A-BE-P的平面角的大小是60°. 11. (1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE, 所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE∩BC=B, 所以AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解如图,取CG的中点M,连接EM,DM. 因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE, 所以DE⊥平面BCGE, 故DE⊥CG,DE⊥EM. 由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,得EM⊥CG, 又DE∩EM=E,所以CG⊥平面DEM. 因此DM⊥CG. 在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2. 所以四边形ACGD的面积为4. 12. 证明:如图,取PD的中点E,连接AE,NE,MN. ∵E,N分别是PD,PC的中点, ∴EN∥CD,EN=CD. 又ABCD,AM=AB, ∴ENAM, ∴四边形AMNE是平行四边形, ∴MN∥AE. ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CD. 又CD⊥AD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE. ∵PA=AD,E是PD的中点, ∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD. 又MN∥AE,∴MN⊥平面PCD. 又MN⊂平面MND, ∴平面MND⊥平面PCD. 13. (1)证明因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥CD. 由题意可知,AB=BC=1,又∠ABC=90°, 所以∠BAC=45°,AC=. 又∠BAD=90°,所以∠CAD=45°. 在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2, 所以AC2+CD2=AD2, 所以AC⊥CD. 又PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC. 又CD⊂平面PCD, 所以平面PCD⊥平面PAC. (2)解存在.如图,过点A作AE⊥PC于点E,连接ED. 由(1)知,CD⊥平面PAC,则CD⊥AE. 又PC∩CD=C,则AE⊥平面PCD. 又AE⊂平面AED, 故平面AED⊥平面PCD. 在Rt△PAC中,因为PA=1,AC=, 所以PC=,AE=. 又AE⊥PC,所以PE=,EC=, 所以. 故线段PC上存在点E,使得平面AED⊥平面PCD,此时. 学科网（北京）股份有限公司 $