江苏省扬州中学2025-2026学年高一下学期5月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期5月自主学习评估 高一数学 2026.05 一、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)， 1.cos70°sin40°-sin70°cos40°=( A.、V3 1 B.- 2 2 c D.5 2.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图， B 其中∠O'B'A'=90°，A'B'=1,则AB=( A.1 B.2 C.2 D.6 3.己知m,n是两条直线，，B,y是三个平面，则正确的是( A若a∥B,mca,ncB,则m∥n B.若a⊥B,B⊥y,则a∥Y C.若C⊥y,B∥a,则B⊥y D.若m∥n,m∥，则n∥a 4设a,6为单位向量，ā在6上的投影向量为万，则3ā-=(） A.1 B.5 c.√7 D.2√2 5.已知a= 1-cos66 -an19,c=2cos234-1,则下列选项正确的是() 1+tan19 ,b= 2 A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.a>c>b 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，若 2S=b(acosB+bcosA),=( A.Z π 2π B. D. 6 2 3 7.在正方体ABCD-AB,C,D,中，E,F分别是AB,AD的中点，则过点B作与异面 直线B,C与EF所成的角都是60°的直线条数() A.有无数条 B.有两条 C.有三条 D.有一条 8.设点P是单位圆的内接正六边形AA…A。的边上任一点，则PA+PA,+…+PA。 +2 的取值范围是( ) B [2 c.[10,12] D [劉 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分). 2 9已知a,B为锐角，cos(a+B)=5 tan c tan B=号，则(） 2 A.cosa cos B=- B.cos(a-B)=1 C.tana+tan 2v6 3 D.cosasin 5 10.已知等边三角形ABC的边长为2，BD=1BC,CE=CA(0<入<1)，AD交BE于 点M,则下列说法正确的是() A.若=J ，则aD=}AC+2B 3 B.若Mi+M砺+MC=0,则元= C若A=名，则ADBE=-7 D.若2=二，则M为AD的中点 3 9 3 11.如图，正方体ABCD-A,BCD1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC上的动 点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是( ) A.直线AP与直线CD,所成角的正切值为 D B B.当CQ= 时，截面S的形状为等腰梯形 C.当CQ=3时，S与CD交于点R,则CR= 4 4 B D.当}<CQ<1时，直线PQ与平面ACCA的夹角正弦值的取值范围是( V10 10 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量AB=(1,2),BC=（(3,m),AD=(-1,2m),若A,C,D三点共线，则 m= 13.己知二面角a-1-B的大小为60°，二面角内一点P到平面aB的距离分别为3和5， 则P到1的距离为 2 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为AB的中点，E为AC边上一点， CE=2AE.设∠ADE=a,且acos(B-a)=ccosa,则∠AED= 1+1 一的最小值为 tan A tan B 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知点O(0,0),向量0A=(2,3),0B=(4,-3),0C=(1,). (1)若OC⊥AB,求2的值： (2)若点P在线段AB的延长线上，且-引PE,求点P的坐标. 6已知ae0》 sin(a+B)=5sin(a-B). tana (1)求 tanB 2)若明有求m(2a-倒的值 17.已知函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<π) （)已知f)为偶函数，设g(x)=f()+fx 6 若存在x∈[0，]，使不等式 g(x)+m<2成立，求实数m的取值范围： (2)已知函数f(x)的图象过点 π1 3’2 )=cos2x+2asinx 2若对任意的 ∈[-受受1，总存在6∈0，孕1使()<f)+2成立，求实数a的取值范图. 3 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形，BC/IAD, 平面PAB⊥平面PBC,且AB=BC=1,PA=AD=2: (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l,求证：BC//I; (2)求证：AB⊥BC; (3)求二面角C-PD-A的余弦值， 19.在△ABC中，CD=2DA,设∠A,∠DBC分别为a,BB=Aa. )若B-受 (i)求(2AD+BD)BD的值： (i)求2的最小值： (2)若元=2，BD=2BC,求cosB的值. 江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期5月自主学习评估 高一数学参考答案 2026.05 1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C7.C8.B 9.BCD 10.AB 11.ABD 12.-2 学6 14，4 9 2’3 15.(1)AB=0丽-0A=(2,-6),因为0C⊥AB,所以0CAB=2-62=0,得元= (2)设P(x以因为点P在线段AB的延长线上且AF-P丽，所以AP=BP, x=8 所以 -2 ,解得： y=-15' 所以点P的坐标为(8，-15) P-3=20+3) 16.(1)因为sin(a+B)=5sin(a-B), 所以sina cos B+cosa sin B=5 sina cos阝-5 cosa sin B,化简得 3月=2,因为a,B∈0写 所以cosa≠0，sina≠0，所以 3sinE_2sing,即3tamB=2ana,故 tana 3 Cos B cosa tanB 2 直ms-A0引如8s0e0.且8号pm-1. 所以sinB=1 tana 3 三因 为ap2,所以tana=2 1 2 cos -2.sin'a cos"a=1 sina= v5.cosa= 5, 所以sin2a=2 sin a cosa=2× 5×万5cos2a=1-2sin'a-2 124 动2a-外-m2ao月-w2a-含子石2 17.(1)因为f)=sin(2x+p0<p<m)为偶函数，所以0=，f()=cos2x, 所以g国-/+fr+8-w2x+eos2+写到}-os2r+5o2x-5m2r 2 -25m2-5o+e.2+[ 所uof2a引-9ug=5个2a+引引 又因为存在x0引 使不等式g(x)+m<2成立，即m<2-g(x)成立， 图为2-ge[2+ 所以m<2+√3，即实数m的取值范围为(0,2+V3)】 (2)因为函数x)的图象过点 》且0<9<,所以m(子+得- 所以f)=sm2x+}月 [g 所以f)=m2,+{,又 Gx)-zcos2x+2asin+-sinx+2asinx +1 当 时，sinx∈[-l,1],令t=sinx∈[-1,1]，则h(x)即为p()=-+2at+1, 因为p(t)的开口向下，对称轴为t=a, 3 3 当a≥1，p0=o0=2a,由2a<1+2,解得a<2,所以1≤a< 当-1<a<1时，p()mx=p(a)=a2+1,由a2+1<1+2,解得-√2<a<√2，所以 1<a<:当a≤1时，o0=o-)=-2a,由-2a<1+2,解得a>所 a5-1:综上，弓<a,即实数口的取位施阳为 3 33 2 2’2 2 I8.(1)由BC/AD,BC丈平面PAD,ADc平面PAD,得BC/平面PAD, 又BCc平面PBC,且平面PBC与平面PAD相交于直线l,所以BC//I. (2)在平面PAB内作AH⊥PB于H,平面PAB⊥平面PBC,平面PAB⌒平面 PBC=PB,∴.PH⊥平面PBC,BCC平面PBC,则PH⊥BC又PA⊥平面ABCD, BCc平面ABCD,则PA⊥BC,又PA∩AH=A且都在平面PAB内，故BC⊥平面 PAB,又ABC平面PAB,则BC⊥AB. (3)若O是AD的中点，连接CO,由(2)知，CO/1AB,CO⊥AD H 由PA⊥平面ABCD,COC平面ABCD,则CO⊥PA, 而PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,于是CO⊥平面PAD, B 又PDC平面PAD,则PD⊥CO,过O作OE⊥PD于E,连接CE, 显然CO∩OE=O,CO,OEc平面COE,因此PD⊥平面COE, 而CEc平面COE,则PD⊥CE,即∠OEC是二面角C-PD-A的平面角， 由PA=AD=2,PA⊥AD,得PD=2√2，Sin∠ADP=45°，则 OE=0Dsin∠ADP=2,CE=6 所以二面角 2 cos∠OEC=OE-5 CE 3 C-PD-A的余弦值是 3 19(DD因为∠D8C-号c0-2D. 所以(2AD+BD)BD=(DC+BDBD=BC.BD=0. (i)方法：由(2AD+BD)BD=0得(3AD-AB)(AD-AB)=0, 即0=3AD2+AB2-4AD.AB=3AD2+AB2-4AD·ABC0SA, 所以co3A=34D+4B,≥25D:4B-5,当且仅当V5AD=AB时等号成立， 4AD,AB，≥ 4AD·AB2 即cos≥怎，因为4e(0列，所以0<As名即0<a君 3 π 所以九=卫=2≥3'所以元的最小值为3. aa 方法=：设∠BDC=8,4D=x,则CD=2x,因为∠CBD=受，放0 0,2 BD AD 所以BD=2 xcos0,在△ABD中，由正弦定理得 sinA sin∠ABD 2xcos0 即 sina sin(8-a,所以2cos6sin(0-a)=sina, 所以2 cos Osin0cosa-2cos2sina=sina,因为cos20 cosa≠0， 所以2tan0-2tana-tang=tana(an'0+l）,所以tana 2tan0 cos20 tan20+3' 因为tan8>0,所以tana 2tano 2tano 3 当且仅当tan0=√5时等号成 tan20+32√3tan03 立，因为4e0,刘，所以0<A后即0<a≤管所以天=日-之≥3所以天的最 aa 小值为3： (2)设AD=x,AB=y,BC=m,则CD=2x,BD=2m,在△ABD,.△DBC中， BD AB CD BC 由正弦定理得 sinA sin∠BDA'sin∠DBC sin∠BDC' 2m y 2x m 即 sinA sin∠BDA'sin2Asin∠BDC 因为sin∠BDA=sin∠BDC,所以cosA=y, 2m2，① 在△1BD,△ABC中，由余弦定理得cosA=+y-4 2xy ,② Cos4=x+y2-m2 ,③ 6xy 由②③得6x2+11m2=2y2,由①②得x2y2=m2(x2+y2-4m2), 故2x+mx2-m=0,即x=2, m,所以y=√7m, 2 所以c0s4=是-4，所以os∠D8C=60s2A=20s2A-1=2× V14 -1= 3 2m24 4