动量压轴题 专项训练 -2026届高考物理二轮复习

动量压轴题专项训练 一、解答题 1．（2026·湖北黄冈·二模）足够长的光滑杆水平固定，质量为的滑块套在杆上，滑块下方用不可伸长的轻绳连接一质量为的小球，初始时系统处于静止状态。质量为的滑块以的初速度与滑块发生碰撞，碰撞时间极短，碰后粘在一起，不计空气阻力，重力加速度为。 (1)求滑块与碰撞过程中损失的机械能； (2)求小球能上升的最大高度； (3)若小球从开始运动至第一次达到最大速度经过的时间为，求此过程中滑块的位移大小。 2．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 3．（21-22高一下·辽宁大连·期末）如图所示，质量m=2kg的滑块B静止放置于光滑平台上，B的左端固定一轻质弹簧。平台右侧有一质量M=6kg的小车C，小车与水平面间的摩擦不计。光滑圆弧轨道半径R=1.6m，连线PO与竖直方向夹角为60°，另一与B完全相同的滑块A从P点由静止开始沿圆弧下滑，A滑至平台上并挤压弹簧，待弹簧恢复原长后滑块B以4m/s离开平台滑上小车C且恰好未滑落，滑块B与小车C之间的动摩擦因数μ=0.75，A、B可视为质点，求： (1)滑块A刚到平台上的速度大小； (2)整个过程中弹簧弹性势能的最大值； (3)小车C的长度。 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙壁上，小球A向左压缩弹簧并锁定，弹簧具有弹性势能EP=4mgR，带有四分之一光滑圆弧轨道的滑块B半径为 R，静止放在A的右侧，轨道下端与水平面相切，整个装置位于足够大的光滑水平面上。某时刻解锁，小球被弹出后向右运动， 经水平地面滑上滑块 B。已知 A、B的质量分别为m、M ，重力加速度为 g。 (1)若M=m，求 A 第一次滑出轨道B的最高点后至落回B的最高点前的过程中的位移大小； (2)若小球能二次向右滑上轨道B，求M与m的关系。 5．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 6．（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 7．（2026·陕西·二模）如图所示，质量为3m的小车C静止于光滑水平面上，小车上表面由长为2L的粗糙水平轨道与半径为L的光滑圆弧轨道平滑连接组成。一个质量为m的小物块B静止在小车的左端，用一根不可伸长、长度为2L的轻质细绳悬挂一质量也为m的小球A，现将小球A向左拉到与悬点同一高度处（细绳处于伸直状态）由静止释放，当小球A摆到最低点时与小物块B刚好发生对心弹性碰撞，小物块B与小车C上水平轨道间的动摩擦因数为，不计空气阻力，A和B均视为质点，重力加速度为g。求： (1)A与B碰后瞬间B的速度大小； (2)B在C上能上升的最大高度； (3)判断B能否从小车左端离开小车，若能，求出B离开小车时的速度；若不能，求B最终在小车上的位置距小车左端的距离。 8．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，以速度在光滑水平面上向物块B运动。时，弹簧与B接触；时，A、B速度相等为，弹簧压缩量为。A、B分离后，B滑上足够长的粗糙传送带，一段时间后再次与A碰撞。分离后，B再次滑上传送带，到达的最右侧位置与前一次相同。已知传送带速度大小为v，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，A始终在光滑水平面上运动，每次碰撞均发生在光滑水平面上。求： (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； (2)第一次碰撞过程中，A物体相对地面的位移； (3)全过程中系统产生的总摩擦热。 9．（2026·山东烟台·一模）如图所示，半径为的光滑半圆弧轨道PQ与水平直轨道平滑连接，PQ连线与水平轨道垂直。水平直轨道上M点左侧粗糙，且QM长度，右侧MN光滑且足够长。质量的物块A和质量的物块B之间压缩着一轻质弹簧并锁定（物块与弹簧不拴接），三者静置于MN段中间，A、B可视为质点。紧靠N的右侧水平地面上停放着质量的小车，其上表面EF段粗糙，与MN等高，长度。FG段为半径的四分之一光滑圆弧轨道，小车与地面间的阻力忽略不计。现解除弹簧锁定，A、B由静止被弹出（A、B脱离弹簧后立即撤走弹簧），其中A进入MQP轨道，而B滑上小车。A与QM间的动摩擦因数，B与EF段的动摩擦因数，重力加速度，不计物块经过各连接点时的机械能损失及空气阻力。 (1)若A经过MQ后恰好能到达P点，求： （ⅰ）A通过Q点时，对圆弧轨道的压力大小； （ⅱ）B滑上小车后运动的最高点与表面EF的距离； (2)若B向右滑上小车后能通过F点，并且后续运动过程始终不会从左端滑离小车，求被锁定弹簧的弹性势能的取值范围。 10．（2026·湖北黄石·二模）水平面O点左侧光滑，右侧粗糙。质量为的圆弧槽末端与O点重合处于静止状态，其圆弧表面光滑，半径。质量均为可视为质点的相同滑块，如图所示，滑块1从高处由静止释放恰好能沿切线方向进入圆弧槽，滑块2、滑块3……滑块n自距离O点处从左向右依次排列，间距均为。已知滑块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为，滑块间的碰撞时间极短，且碰后就粘在一起形成组合体。取，求： (1)滑块1离开圆弧槽末端时的速度； (2)滑块1离开圆弧槽末端后，经过多长时间撞上滑块2？（最终答案取一位小数） (3)组合体最多由多少个滑块组成？停下时距离O点多远？【提示：】（最终答案取一位小数，不用写分析过程） 11．（2026·湖北省直辖县级单位·一模）如图所示，光滑水平面上n颗钢球沿着同一直线放置。水平面左端一个质量为M的表面光滑的滑块，滑块下端与水平面相切，质量为m的玻璃球初始位置在滑块顶端距水平面h高处。所有球体半径相同，所有碰撞均视为弹性碰撞，重力加速度为g。释放玻璃球，求： (1)玻璃球从滑块上滑离时的速度大小； (2)若钢球质量为3m，玻璃球与第1颗钢球碰后，钢球的速度大小； (3)若滑块固定，钢球质量为3m，玻璃球与钢球经历n次碰撞后玻璃球的动能。 12．（2026·湖北襄阳·一模）如图所示，一质量的小车由水平部分和圆弧轨道组成，长，圆弧的半径，且与水平部分相切于点，小车静止时左端与固定的光滑曲面轨道相切，一质量为的物块从距离轨道底端高为处由静止滑下，并与静止在小车左端的质量为的物块（两物块均可视为质点）发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知除了小车段粗糙外，其余所有接触面均光滑，重力加速度。 (1)求物块与物块碰撞后的速度； (2)若碰后运动到点用时，求此过程小车位移； (3)要使物块既可以到达点又不会与小车分离，求与小车部分动摩擦因数的取值范围。 13．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）如图所示，质量M =6kg、半径R =15m的四分之一光滑圆弧abc静止在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质量为的小物块B，B的左侧固定一水平轻弹簧，将质量为m =2kg的小物块A从圆弧顶端由静止释放，已知重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，A、B均可视为质点。求： (1)若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端时受到圆弧的支持力FN的大小； (2)若圆弧不固定，小物块A到达圆弧底端时圆弧体的位移大小； (3)若圆弧不固定，在小物块B的右侧有一竖直挡板（图中未画出，挡板和B的间距可调），当小物块B与挡板发生一次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且小物块A与弹簧接触后即与弹簧固定连接，小物块B与挡板发生碰撞后的运动过程中，求当弹簧最短时最小的弹簧弹性势能。 14．（2026·四川成都·二模）如图所示，长为的轻绳一端固定于O点，另一端与质量的小球相连。小球在O点正下方且未与地面接触。质量的凹槽静置在光滑水平面上，其左侧与小球恰好接触。质量的小物块（可视为质点）放置于凹槽内且与右侧挡板接触。初始系统静止，现将小球拉至与O点等高处且使轻绳伸直，由静止释放小球，小球运动至最低点与凹槽发生弹性碰撞。碰后瞬间在O点正下方处固定一细钉，小球恰能在竖直面内绕做圆周运动上升至最高点，且小物块与凹槽发生了两次弹性碰撞后不再发生第三次碰撞（若物块到达某一端时二者恰好共速，视为未发生碰撞）。已知凹槽左右挡板内侧间距，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)O到点的距离； (2)凹槽与物块间动摩擦因数的取值范围。 15．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 16．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，一宽度为、质量为的箱子倒扣在水平地面上，箱子与地面之间存在摩擦阻力。初始时刻箱子静止不动。将一质量为、电荷量为的小物块（可视作质点）紧靠在箱子的左端，小物块的初速度大小为零。物块与地面间不存在摩擦力，空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为。箱子与地面间的摩擦力大小是物块受到电场力大小的倍，。物块与箱子之间的碰撞均为弹性碰撞，求： (1)物块与箱子发生第一次碰撞前的速度大小以及碰撞后物块、箱子的速度大小； (2)若物块与箱子的质量相等，第二次碰撞后箱子的速度大小； (3)若物块与箱子的质量相等，箱子通过的总位移大小。 17．（2026·江西南昌·一模）如图所示，倾角为的斜面足够长，斜面上静止着2025个完全相同的物块，物块质量均为，相邻物块间的距离均为，在物块上方处有一个光滑小球，小球质量，将其从左到右依次编号，光滑小球与斜面间的摩擦忽略不计，物块与斜面间的动摩擦因数为。现将小球由静止释放，题中所有物体之间的碰撞均可视为弹性正碰（已知重力加速度为，不计空气阻力，碰撞时间忽略不计，小球及物块大小忽略不计）。求： (1)1号小球与2号物块第一次碰撞后，两者的速度大小； (2)1号小球与2号物块在第一次碰撞中对2号物块所做的功及小球以后每次与2号物块碰撞前瞬间的速度表达式大小； (3)若1号小球与2号物块最后一次碰撞后，小球与2号物块距离最远时，对小球施加一方向平行斜面向上，大小的恒力，求最终小球和2026号物块间的距离及与第号物块间的距离表达式。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 动量压轴题专项训练 一、解答题 1．（2026·湖北黄冈·二模）足够长的光滑杆水平固定，质量为的滑块套在杆上，滑块下方用不可伸长的轻绳连接一质量为的小球，初始时系统处于静止状态。质量为的滑块以的初速度与滑块发生碰撞，碰撞时间极短，碰后粘在一起，不计空气阻力，重力加速度为。 (1)求滑块与碰撞过程中损失的机械能； (2)求小球能上升的最大高度； (3)若小球从开始运动至第一次达到最大速度经过的时间为，求此过程中滑块的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.55 【知识点】机械能守恒定律在绳连接系统中的应用、完全非弹性碰撞、滑块斜（曲）面模型、人船模型及其变式 【详解】（1）滑块与滑块发生碰撞，碰后粘在一起，由动量守恒定律可得 由能量守恒可知碰撞损失的机械能 解得 （2）小球上升到最大高度时，三者共速，由水平方向动量守恒可得 滑块与滑块碰撞后系统机械能守恒，有 解得 （3）小球从开始运动至速度第一次达到最大时，小球恰好位于滑块的正下方，故小球与滑块水平方向位移相同，即 由系统水平方向动量守恒可得 对方程两边同时乘以时间，有 之间，根据位移等速度在时间上的累积，可得 解得 2．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)，方向水平向右 【难度】0.66 【知识点】滑块斜（曲）面模型 【详解】（1）设子弹射入木块后与木块的共同速度为，对子弹和木块组成的系统，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得子弹射入木块后的共同速度 根据能量守恒，可得此过程系统所产生的内能 解得产生的内能 （2）设木块（含子弹）在圆弧轨道上升到最大高度时，两者的速度大小为，木块沿圆弧轨道上升的最大高度为h，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得木块沿圆弧轨道上升的最大高度 因，所以木块未从圆弧轨道最高点飞出 （3）设木块（含子弹）在圆弧轨道上时，圆弧轨道一直做加速运动，木块（含子弹）在圆弧轨道底端与轨道分离时，圆弧轨道的速度最大，设此时木块（含子弹）的速度为，圆弧轨道的速度为，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得圆弧轨道的最大速度 方向水平向右。 3．（21-22高一下·辽宁大连·期末）如图所示，质量m=2kg的滑块B静止放置于光滑平台上，B的左端固定一轻质弹簧。平台右侧有一质量M=6kg的小车C，小车与水平面间的摩擦不计。光滑圆弧轨道半径R=1.6m，连线PO与竖直方向夹角为60°，另一与B完全相同的滑块A从P点由静止开始沿圆弧下滑，A滑至平台上并挤压弹簧，待弹簧恢复原长后滑块B以4m/s离开平台滑上小车C且恰好未滑落，滑块B与小车C之间的动摩擦因数μ=0.75，A、B可视为质点，求： (1)滑块A刚到平台上的速度大小； (2)整个过程中弹簧弹性势能的最大值； (3)小车C的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】机械能守恒定律在曲线运动中的应用、板块/子弹打木块模型、滑块弹簧模型 【详解】（1）滑块A自P点滑至平台过程中，由机械能守恒定律可得 解得滑块A刚到平台上的速度大小 （2）当A、B速度大小相等时弹簧弹性势能最大，规定向右为正方向，对A、B，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 （3）B恰好未从小车C上滑落，即B到小车C右端时二者速度相同，由动量守恒可得 由功能关系可得 代入数据解得 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙壁上，小球A向左压缩弹簧并锁定，弹簧具有弹性势能EP=4mgR，带有四分之一光滑圆弧轨道的滑块B半径为 R，静止放在A的右侧，轨道下端与水平面相切，整个装置位于足够大的光滑水平面上。某时刻解锁，小球被弹出后向右运动， 经水平地面滑上滑块 B。已知 A、B的质量分别为m、M ，重力加速度为 g。 (1)若M=m，求 A 第一次滑出轨道B的最高点后至落回B的最高点前的过程中的位移大小； (2)若小球能二次向右滑上轨道B，求M与m的关系。 【答案】(1)4R (2)M＞3m 【难度】0.65 【知识点】滑块斜（曲）面模型 【详解】（1）弹性势能转化为小球A的动能得 得 当A到B的最高点时，规定初速度方向为正，水平方向动量守恒，有mv0=2mvx 得 AB整体机械能守恒，有 得 A离开B后竖直方向 水平方向 （2）规定初速度方向为正，A从B上落回地面动量守恒 机械能守恒 解得 A球与弹簧碰撞后 A要能第二次滑上B必须，故。 5．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 【答案】(1)3m/s (2)； 【难度】0.5 【知识点】已知运动求受力、爆炸问题、弹性碰撞：动碰动 【详解】（1）对A、B组成的系统，动量守恒 由能量关系可得 解得 （2）爆炸后，物块A向左匀减速，物块B匀速，长木板向左匀加速；设A与木板共速后，B再与木板碰撞，规定方向向左为正方向；A、长木板动量守恒 对A受力分析根据牛顿第二定律 匀变速运动中速度时间关系 可得， 物块B的位移 长木板位移 ，假设成立 A和木板共速后以匀速运动， 爆炸后瞬间到B第一次与挡板相碰所经历的时间 第一次B与木板发生弹性碰撞，以右为正向 根据动量守恒 机械能守恒 解得 6．（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 【答案】(1)4m/s (2)0.9J (3)0.2m (4)3N 【难度】0.65 【知识点】动能定理的初步应用、弹性碰撞：动碰静 【详解】（1）滑块从P点到B点由动能定理 解得到达B点的速度 （2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功 （3）物块在传送带上加速运动的加速度为 加速到共速时用时间 在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度 （4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知， 联立解得 （另一组，因不合实际舍掉） 对滑块在最高点时由牛顿第二定律 解得F=3N 7．（2026·陕西·二模）如图所示，质量为3m的小车C静止于光滑水平面上，小车上表面由长为2L的粗糙水平轨道与半径为L的光滑圆弧轨道平滑连接组成。一个质量为m的小物块B静止在小车的左端，用一根不可伸长、长度为2L的轻质细绳悬挂一质量也为m的小球A，现将小球A向左拉到与悬点同一高度处（细绳处于伸直状态）由静止释放，当小球A摆到最低点时与小物块B刚好发生对心弹性碰撞，小物块B与小车C上水平轨道间的动摩擦因数为，不计空气阻力，A和B均视为质点，重力加速度为g。求： (1)A与B碰后瞬间B的速度大小； (2)B在C上能上升的最大高度； (3)判断B能否从小车左端离开小车，若能，求出B离开小车时的速度；若不能，求B最终在小车上的位置距小车左端的距离。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【难度】0.4 【知识点】机械能守恒定律在曲线运动中的应用、弹性碰撞：动碰静、滑块斜（曲）面模型 【详解】（1）A由静止释放至摆到最低点的过程，由动能定理得 解得 A、B碰撞过程中由动量守恒和机械能守恒可得， 解得， （2）设B在C上能上升的最大高度为，此时B、C具有相同的速度，根据系统水平方向动量守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得 （3）设B不能从小车左端离开小车，则最终B、C具有相同的速度，由 解得 根据能量守恒可得 解得B在小车上表面粗糙水平轨道上通过的总路程为 假设成立；B最终在小车上的位置距小车左端的距离为 8．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，以速度在光滑水平面上向物块B运动。时，弹簧与B接触；时，A、B速度相等为，弹簧压缩量为。A、B分离后，B滑上足够长的粗糙传送带，一段时间后再次与A碰撞。分离后，B再次滑上传送带，到达的最右侧位置与前一次相同。已知传送带速度大小为v，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，A始终在光滑水平面上运动，每次碰撞均发生在光滑水平面上。求： (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； (2)第一次碰撞过程中，A物体相对地面的位移； (3)全过程中系统产生的总摩擦热。 【答案】(1) (2)，水平向右 (3) 【难度】0.4 【知识点】滑块弹簧模型、两物体多次碰撞问题、能量守恒定律在传送带模型中的应用 【详解】（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时A、B速度相等，根据动量守恒定律 解得 根据能量守恒定律 解得 （2）方法一：压缩过程中，A、B动量守恒，有 对方程两边同时乘以微小时间，有 根据位移等于速度在时间上的累积，可得 将 代入可得 恢复原长的过程中具有对称性，时间仍为，形变量相等 该过程因物块B的速度更大，故 可得 总位移 方法二：全过程，由于对称性可知，总时间为 弹簧恢复原长，AB位移相等 可得 （3）取方向为正方向，设物块A、B第一次分离后速度分别为 由动量守恒定律 由机械能守恒 解得， 同理A、B第二次分离后速度分别为，因B物块到达最右侧的点相同，故 再次利用动量和能量关系得同理，第三次分离后速度分别为，，之后物块B不再滑上传送带。 传送带上，物块B向右减速到0的时间 所以 设B减速与加速过程中相对地面的位移大小为 物块B与传送带之间的相对位移 解得： 所以全过程中系统产生的总摩擦热为 解得 9．（2026·山东烟台·一模）如图所示，半径为的光滑半圆弧轨道PQ与水平直轨道平滑连接，PQ连线与水平轨道垂直。水平直轨道上M点左侧粗糙，且QM长度，右侧MN光滑且足够长。质量的物块A和质量的物块B之间压缩着一轻质弹簧并锁定（物块与弹簧不拴接），三者静置于MN段中间，A、B可视为质点。紧靠N的右侧水平地面上停放着质量的小车，其上表面EF段粗糙，与MN等高，长度。FG段为半径的四分之一光滑圆弧轨道，小车与地面间的阻力忽略不计。现解除弹簧锁定，A、B由静止被弹出（A、B脱离弹簧后立即撤走弹簧），其中A进入MQP轨道，而B滑上小车。A与QM间的动摩擦因数，B与EF段的动摩擦因数，重力加速度，不计物块经过各连接点时的机械能损失及空气阻力。 (1)若A经过MQ后恰好能到达P点，求： （ⅰ）A通过Q点时，对圆弧轨道的压力大小； （ⅱ）B滑上小车后运动的最高点与表面EF的距离； (2)若B向右滑上小车后能通过F点，并且后续运动过程始终不会从左端滑离小车，求被锁定弹簧的弹性势能的取值范围。 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【难度】0.4 【知识点】滑块弹簧模型 【详解】（1）（ⅰ）由题意知，A经过圆弧轨道后恰好能到达P点，则在P点由重力提供向心力，有 解得 设A在Q时速度，则从Q到P，根据机械能守恒，有 解得 在Q点，设A受到支持力，由牛顿第二定律，得 解得 根据牛顿第三定律可知，A通过Q点时对圆弧轨道的压力。 （ⅱ）设A、B与弹簧分离后速度分别为、，则对A从M到Q过程，由动能定理，有 解得 规定向右为正方向，A、B与弹簧组成的系统动量守恒，则有 解得 B滑上小车后运动到小车的最高点时，设二者水平方向共速为，对B与小车组成的系统，由水平方向动量守恒，得 解得 系统能量守恒，得 解得 所以B滑上小车后能从G点冲出，设到达的最高点到G点的距离为h，由 解得 则B到达的最高点与水平表面EF的距离为 （2）当B滑上小车刚滑到F点与车共速时，弹性势能最小，设A、B与弹簧分离后速度分别为、，由动量守恒，有 设共速为，则由动量守恒，得 根据能量守恒，有 由能量守恒，弹性势能为 联立以上解得弹性势能最小值为 当B滑上小车圆弧轨道再次返回E点与车共速时，弹性势能最大，设A、B与弹簧分离后速度分别为、，由动量守恒，有 设共速为，则由动量守恒，得 根据能量守恒，有 由能量守恒，弹性势能为 联立以上解得弹性势能最大值为 所以被锁定弹簧的弹性势能的取值范围为 10．（2026·湖北黄石·二模）水平面O点左侧光滑，右侧粗糙。质量为的圆弧槽末端与O点重合处于静止状态，其圆弧表面光滑，半径。质量均为可视为质点的相同滑块，如图所示，滑块1从高处由静止释放恰好能沿切线方向进入圆弧槽，滑块2、滑块3……滑块n自距离O点处从左向右依次排列，间距均为。已知滑块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为，滑块间的碰撞时间极短，且碰后就粘在一起形成组合体。取，求： (1)滑块1离开圆弧槽末端时的速度； (2)滑块1离开圆弧槽末端后，经过多长时间撞上滑块2？（最终答案取一位小数） (3)组合体最多由多少个滑块组成？停下时距离O点多远？【提示：】（最终答案取一位小数，不用写分析过程） 【答案】(1)3m/s (2)0.2s (3)3块，1.2m 【难度】0.3 【知识点】多物体多次碰撞问题、人船模型及其变式、已知受力求运动 【详解】（1）滑块1和圆弧槽组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。设滑块1离开圆弧时速度为，圆弧槽速度为，初始总动量为0，因此 系统机械能守恒 代入解得， 滑块1离开圆弧槽末端时的速度为 （2）滑块 1与圆弧槽的水平位移关系为 且 圆弧槽运动的距离 则匀速时间 滑块1在粗糙水平面的加速度 位移满足 代入解得 （3）碰撞过程动量守恒，且任意质量组合体在粗糙面的加速度均为 归纳得第个滑块的速度满足 能碰撞第个滑块的条件为且 整理得且 代入得满足，不满足，故最多3个滑块。 碰撞完成后组合体在处，剩余位移，总距离为 11．（2026·湖北省直辖县级单位·一模）如图所示，光滑水平面上n颗钢球沿着同一直线放置。水平面左端一个质量为M的表面光滑的滑块，滑块下端与水平面相切，质量为m的玻璃球初始位置在滑块顶端距水平面h高处。所有球体半径相同，所有碰撞均视为弹性碰撞，重力加速度为g。释放玻璃球，求： (1)玻璃球从滑块上滑离时的速度大小； (2)若钢球质量为3m，玻璃球与第1颗钢球碰后，钢球的速度大小； (3)若滑块固定，钢球质量为3m，玻璃球与钢球经历n次碰撞后玻璃球的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.41 【知识点】滑块斜（曲）面模型、单次碰撞的多过程问题 【详解】（1）玻璃球从滑块上滑离过程，根据水平动量守恒和能量守恒有， 解得玻璃球从滑块上滑离时的速度大小 （2）设玻璃球碰后速度为，钢球1碰后速度为，碰撞过程动量守恒 机械能守恒 可得， （3）若滑块固定，则玻璃球到达底端过程 因为钢球与钢球质量相等，发生弹性碰撞，碰后速度交换，所以钢球1与钢球2碰后停在钢球2原本的位置，之后与玻璃球发生第2次弹性正碰。结合（2）分析可知，玻璃球反向冲上滑块再次滑回，速度大小不变，与钢球发生第二次碰撞，碰撞过程中动量守恒 机械能守恒 可得， 由此可知，玻璃球与钢球的第n次弹性正碰后的速度大小为 玻璃球与钢球经历n次碰撞后的动能为 可得 12．（2026·湖北襄阳·一模）如图所示，一质量的小车由水平部分和圆弧轨道组成，长，圆弧的半径，且与水平部分相切于点，小车静止时左端与固定的光滑曲面轨道相切，一质量为的物块从距离轨道底端高为处由静止滑下，并与静止在小车左端的质量为的物块（两物块均可视为质点）发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知除了小车段粗糙外，其余所有接触面均光滑，重力加速度。 (1)求物块与物块碰撞后的速度； (2)若碰后运动到点用时，求此过程小车位移； (3)要使物块既可以到达点又不会与小车分离，求与小车部分动摩擦因数的取值范围。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) 【难度】0.38 【知识点】应用动能定理解决多段过程问题、弹性碰撞：动碰静、人船模型及其变式 【详解】（1）物块沿滑下，设末速度，由机械能守恒定律得 解得 物块碰撞，取向右为正，碰后速度分别为，由动量守恒得 由机械能守恒得 解得， 故碰撞后瞬间物块的速度为，方向水平向右。 （2）碰后物块从运动到过程，系统水平方向动量守恒，则 等式两边同时乘，然后求和可得 又因为 解得 （3）考虑极限情况： 若物块刚好向右到达点时就与小车共速，由动量守恒定律有 解得   由能量守恒定律得 解得 若物块刚好回到点时与小车共速，由能量守恒定律得 解得 若当物块在圆弧上上升高度为时，二者刚好共速，由能量守恒定律得 解得 因为，所以不会从圆弧轨道上滑出，则的取值范围为 13．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）如图所示，质量M =6kg、半径R =15m的四分之一光滑圆弧abc静止在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质量为的小物块B，B的左侧固定一水平轻弹簧，将质量为m =2kg的小物块A从圆弧顶端由静止释放，已知重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，A、B均可视为质点。求： (1)若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端时受到圆弧的支持力FN的大小； (2)若圆弧不固定，小物块A到达圆弧底端时圆弧体的位移大小； (3)若圆弧不固定，在小物块B的右侧有一竖直挡板（图中未画出，挡板和B的间距可调），当小物块B与挡板发生一次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且小物块A与弹簧接触后即与弹簧固定连接，小物块B与挡板发生碰撞后的运动过程中，求当弹簧最短时最小的弹簧弹性势能。 【答案】(1)60N (2)3.75m (3)45J 【难度】0.45 【知识点】牛顿第二定律的初步应用、机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用、滑块弹簧模型、人船模型及其变式 【详解】（1）若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端的过程中，根据动能定理有                                               在圆弧底端时由牛顿第二定律                                              解得 （2）若圆弧不固定，小物块A与圆弧组成的系统水平方向动量守恒，则有                                                 根据几何关系可知                                解得 （3）若圆弧不固定，小物块A与圆弧组成的系统水平方向动量守恒，则有                                                  根据能量守恒定律有                                         解得 设物块B碰撞挡板后的速度为0，则碰后AB的总动量最大，弹簧最短时的弹性势能最小，根据动量守恒定律与能量守恒定律有，                           解得 14．（2026·四川成都·二模）如图所示，长为的轻绳一端固定于O点，另一端与质量的小球相连。小球在O点正下方且未与地面接触。质量的凹槽静置在光滑水平面上，其左侧与小球恰好接触。质量的小物块（可视为质点）放置于凹槽内且与右侧挡板接触。初始系统静止，现将小球拉至与O点等高处且使轻绳伸直，由静止释放小球，小球运动至最低点与凹槽发生弹性碰撞。碰后瞬间在O点正下方处固定一细钉，小球恰能在竖直面内绕做圆周运动上升至最高点，且小物块与凹槽发生了两次弹性碰撞后不再发生第三次碰撞（若物块到达某一端时二者恰好共速，视为未发生碰撞）。已知凹槽左右挡板内侧间距，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)O到点的距离； (2)凹槽与物块间动摩擦因数的取值范围。 【答案】(1)4.5m (2) 【难度】0.4 【知识点】绳/单层轨道模型、应用动能定理解决多段过程问题、弹性碰撞：动碰静、完全非弹性碰撞、能量守恒定律在板块模型中的应用 【详解】（1）小球从水平位置摆至竖直位置过程，由动能定理有 代入数据解得小球运动至最低点时的速度为 设小球与凹槽碰撞后速度为，凹槽的速度为，则由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 联立解得， 即小球与凹槽碰撞后以5m/s的速度反弹，之后小球绕恰好做完整的圆周运动，到达最高点时重力提供向心力，则有 小球与凹槽碰撞后从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理有 代入数据，联立解得小球绕恰好做完整的圆周运动的半径为 所以O到点的距离为 （2）凹槽与物块组成的系统动量守恒，则有 解得 设物块在凹槽上相对滑动的路程为s，由于凹槽与物块发生两次弹性碰撞后不再发生第三次碰撞，说明相对滑动的总路程满足 其中，所以有 由能量守恒定律有 当时，解得 当时，解得 故凹槽与物块间动摩擦因数的取值范围为 15．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【难度】0.4 【知识点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用、完全非弹性碰撞、滑块弹簧模型 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 16．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，一宽度为、质量为的箱子倒扣在水平地面上，箱子与地面之间存在摩擦阻力。初始时刻箱子静止不动。将一质量为、电荷量为的小物块（可视作质点）紧靠在箱子的左端，小物块的初速度大小为零。物块与地面间不存在摩擦力，空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为。箱子与地面间的摩擦力大小是物块受到电场力大小的倍，。物块与箱子之间的碰撞均为弹性碰撞，求： (1)物块与箱子发生第一次碰撞前的速度大小以及碰撞后物块、箱子的速度大小； (2)若物块与箱子的质量相等，第二次碰撞后箱子的速度大小； (3)若物块与箱子的质量相等，箱子通过的总位移大小。 【答案】(1)，， (2) (3) 【难度】0.28 【知识点】两物体多次碰撞问题、带电粒子在匀强电场中做直线运动 【详解】（1）根据动能定理可得 解得物块与箱子第一次碰撞前的速度大小为 由于碰撞是弹性碰撞，因此满足动量守恒定律和能量守恒定律，则有， 其中为第一次碰撞后箱子的速度，联立解得， （2）若，则每次物块与箱子发生碰撞后，速度发生交换。物块撞击箱子后做初速度为零、加速度为的匀加速直线运动。箱子受到地面的摩擦力，箱子以物块碰撞前的速度向前做匀减速直线运动，加速度大小为 第一次碰撞后箱子停止运动的时间和位移分别为， 在这段时间内物块在电场加速作用下运动的距离为 这表明箱子在停止运动时，物块与箱子还没有发生第二次碰撞，物块还在继续向前运动，当物块运动的距离后，与静止的箱子发生碰撞，此时物块的速度大小为 此时物块与箱子碰撞又发生速度交换，因此第二次碰撞后，箱子的速度大小 （3）箱子从第二次碰撞到停止运动通过的位移为 由此可得物块第三次与箱子碰撞前的速度大小为 如此可得第三次碰撞后，箱子通过的距离为 由此可知第次碰撞后箱子通过的距离为 是一个公比为的等比数列，因此箱子总的通过的位移为 17．（2026·江西南昌·一模）如图所示，倾角为的斜面足够长，斜面上静止着2025个完全相同的物块，物块质量均为，相邻物块间的距离均为，在物块上方处有一个光滑小球，小球质量，将其从左到右依次编号，光滑小球与斜面间的摩擦忽略不计，物块与斜面间的动摩擦因数为。现将小球由静止释放，题中所有物体之间的碰撞均可视为弹性正碰（已知重力加速度为，不计空气阻力，碰撞时间忽略不计，小球及物块大小忽略不计）。求： (1)1号小球与2号物块第一次碰撞后，两者的速度大小； (2)1号小球与2号物块在第一次碰撞中对2号物块所做的功及小球以后每次与2号物块碰撞前瞬间的速度表达式大小； (3)若1号小球与2号物块最后一次碰撞后，小球与2号物块距离最远时，对小球施加一方向平行斜面向上，大小的恒力，求最终小球和2026号物块间的距离及与第号物块间的距离表达式。 【答案】(1)， (2)， (3)， 【难度】0.22 【知识点】多物体多次碰撞问题 【详解】（1）1号小球与斜面间光滑，小球在斜面上运动时所受合外力为， 根据动能定理有 可得1号小球与2号物块碰撞前速度 碰撞后根据动量守恒及能量守恒可得 整理得 小球1的速度为 物块2的速度为 （2）在此过程中，小球1对物块2做功 小球1对物块2冲量 因物块 即 第一次碰撞后物块2所受合外力为0，做匀速直线运动沿斜面下滑，碰撞物块3，又因物块质量均相等，故发生速度交换，物块2停止，物块3以碰撞物块4，再次速度交换，以此类推，直至物块2025与2026碰撞，物块2026以匀速直线运动离开； 第一次碰撞后小球1沿斜面下滑距离，根据动能定理有 可得 再次与物块2发生碰撞，由此可知，每次碰撞后，小球1均下滑距离，速度由恢复至 再次与物块2发生碰撞，并周期性重复； 小球1对物块2做功 小球以后每次与2号物块碰撞前瞬间的速度表达式始终为 （3）至最后一次碰撞后，物块2开始以匀速直线向前运动，小球在下滑力作用下由开始匀加速直线运动，至两物体距离最远时（即两物体速度相等，均为时），对小球施加一方向平行斜面向上，大小的恒力，则此后小球所受合外力也为0，小球亦开始匀速运动，至此，所有物体共速，物体间距离不再变化。 系统从首碰后（开始计时）至共速，小球1运动的位移为，小球1运动的时间为，根据动能定理有 可得 根据动量定理有 可得 设物块2速度交换传递至物块2026的时间（即从开始计时至2026开始匀速运动的时间）为，则有 小球1与物块2026之间的初始距离为 小球1与物块2026之间的最终距离为 小球1与物块2碰后，运动距离并再次相碰的时间间隔为，则有 可得 从开始计时至2025开始匀速运动的时间为 从开始计时至2024开始匀速运动的时间为 …… 即每个物块相较后一个物块晚时间开始匀速运动， 此时后一个物块已匀速运动的距离为，即间距为 故小球1和物块2025间距 故小球1和物块2024间距 …… 故小球1和物块间距 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $