专题9.3 公式法（3大知识点+11大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

专题9.3 公式法 知识点1：用平方差公式因式分解 1.平方差公式逆用：，语言表述为两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 2.公式适用条件：多项式为二项式；两项均能表示成一个数（或整式）的平方形式；两项的符号相反（一正一负）。 3.公式中字母含义：、可以是单项式（数字、字母），也可以是多项式，可将多项式看成一个整体套用公式。 4.分解步骤：先判断是否符合平方差特征，再将两项分别写成平方形式，最后套用公式分解。 知识点2：用完全平方公式因式分解 1.完全平方式：形如的多项式，称为完全平方式，其特征为三项式；有两项为正的平方项（、）；第三项是两平方项底数乘积的倍或倍（）。 2.完全平方公式逆用： 语言表述为两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 3.公式中字母含义：、可以是单项式或多项式，整体思想适用，首项系数为负时先提取“”号再判断。 知识点3：公式法因式分解的综合应用 1.因式分解的一般步骤：一提（提取公因式）→二套（套用平方差/完全平方公式）→三检查（检查是否分解彻底，每一个因式都不能再分解为止）。 2.平方差与完全平方公式的对比（表格呈现）： 公式类型 适用多项式项数 项的特征 分解结果形式 平方差公式 二项式 两项为平方形式，符号相反 两个一次二项式的积： 完全平方公式 三项式 两项正平方项，第三项为 一个完全平方式的平方： 3.常见变形技巧：先展开多项式再合并同类项，转化为可套用公式的形式；通过配方法构造平方差/完全平方式再分解。 【基础必考题型】 【题型1】直接套用平方差公式因式分解 1.核心知识点 平方差公式的逆用；平方形式的识别（数字、单项式的平方）。 2.解题方法技巧 平方形式转化：将多项式的两项分别写成、的形式，如、； 严格验特征：确认两项符号相反，无公因式时直接套用； 简单验证：分解后展开乘积，验证是否与原式一致，避免符号错误。 【例题1】.（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·福建厦门·月考）因式分解：_________． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】解：原式. 【变式题1-2】.（2026·浙江舟山·一模）因式分解：___________． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型2】直接套用完全平方公式因式分解 1.核心知识点 完全平方式的特征；完全平方公式的逆用。 2.解题方法技巧 定平方项底数：找出多项式中的两个平方项，确定、，如中，、； 验中间项：验证第三项是否为或，如，故原式； 符号处理：中间项为负用，为正用，直接套用公式分解。 【例题2】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，主要涉及平方差公式和完全平方公式，据此判断每个多项式是否能表示为公式形式，即可作答． 【详解】解：A、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B、，无法用公式法进行因式分解，故该选项符合题意； C、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； D、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏南京·月考）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】①③⑥ 【分析】根据能用完全平方公式分解因式的多项式特点，即多项式为三项，两个平方项符号相同，中间项为两个平方项的两底数乘积的，逐个判断即可． 【详解】解：①，符合完全平方公式分解因式的条件； ②，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． （3）解： ， ． （4）解： ， ， ， ． 【题型3】已知完全平方式求字母参数值 1.核心知识点 完全平方式的特征；等式两边对应项系数相等。 2.解题方法技巧 定平方项：将多项式的平方项写成、形式，确定、； 列等式：中间项，建立关于参数的方程，如中，； 注意多解：完全平方式的中间项有正负两种情况，参数一般有两个互为相反数的解。 【例题3】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）是完全平方式，则的值是_____． 【答案】17或 【分析】根据完全平方公式，确定一次项系数满足的等量关系，计算求解即可． 【详解】解：是完全平方式，，， 即或， 解得或． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·江苏常州·月考）若，m、n均为常数，则________． 【答案】3 【分析】利用完全平方公式展开左边后，对比系数即可得到和的值，进而求出． 【详解】解：，、为常数， ， 对比多项式对应项系数可得，，， ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若是一个完全平方式，则的值为 ______． 【答案】30或 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：由题意得：， 因为多项式是完全平方式， 所以， 即， 解得：或． 故答案为：30或． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东枣庄·月考）若是一个完全平方式，那么的值为___． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得． 【培优高频题型】 【题型4】提公因式后再套用公式因式分解 1.核心知识点 提公因式法；平方差/完全平方公式的综合应用；因式分解的“一提二套”步骤。 2.解题方法技巧 先提公因式：提取多项式各项的公因式（数字、字母、多项式），提公因式后剩余部分化简； 再套公式：判断提公因式后的多项式是否符合平方差/完全平方特征，套用公式继续分解； 例：，先提，再套平方差公式。 【例题4】.（25-26九年级下·江西南昌·月考）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式，即可得到答案； （2）直接利用平方差公式分解因式即可得到答案； （3）首先提取，再利用完全平方公式分解因式可得答案； （4）利用平方差公式和完全平方公式分解因式可得答案． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型5】整体思想套用公式因式分解 1.核心知识点 整体思想；平方差/完全平方公式的逆用；多项式作为公式中的、。 2.解题方法技巧 定整体：将多项式中的某部分看成一个整体，记作或，如中，把看成，看成； 套公式：将整体代入平方差/完全平方公式，先分解整体； 再化简：分解后展开括号，合并同类项，检查是否能继续分解。 【例题5】.（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： (1)材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． (2)请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【答案】(1) (2)①，②25 【分析】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得，，则根据即可求解． 【详解】（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 故答案为：； （2）①把“”看成一个整体，令． ； ②∵，， ∴， 则 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【答案】(1) (2) (3)，小， 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用换元法把原式变形分解，由即可得解． 【详解】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行分解因式，我们把这种分解因式的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行分解因式的过程． 解：设，则 原式（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了分解因式的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学分解因式的结果不彻底，请你帮助小涵同学将过程补充完整； (3)请你用换元法对多项式进行分解因式． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． ()根据完全平方公式进行分解因式； ()最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； ()根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； （2）解： 设， 则：原式 把代入， ． （3）解：设， 原式 把代入， ． 【题型6】公式法因式分解后求值 1.核心知识点 公式法因式分解；代数式求值；整体代入思想。 2.解题方法技巧 先分解再求值：将待求值的代数式用公式法分解，转化为含已知条件的形式； 整体代入：把已知的字母取值或代数式的值整体代入分解后的式子，避免直接计算复杂值； 例：，代入、直接计算。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知，，则的值是_________． 【答案】8 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入求值即可. 【详解】解：对所求多项式因式分解，得 ， ， 将，代入得， 原式. 【变式题6-1】.（25-26九年级下·四川南充·月考）已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)19 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值． （1）将原式变形为，再代入求值即可； （2）将原式变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解： 当时， 原式． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知a，b均为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，非负性，移项，将等式化为，非负性，求出的值，再利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【题型7】公式法因式分解判断三角形的形状 1.核心知识点 公式法因式分解；三角形的形状判定（等腰、等边、直角）；三角形三边的非负性。 2.解题方法技巧 移项整理：将已知的三边关系式移项，使等式右边为0，左边合并同类项； 因式分解：用提公因式+公式法分解左边的多项式，转化为几个整式的积的形式； 分析因式：根据三角形三边均为正数，判断因式的符号，确定三边的数量关系（如则为等腰三角形）。 【例题7】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质，求出，，最后代入求值即可； （2）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质得出，然后根据三角形三边关系得出，最后根据c为最长边，且c为偶数，得出答案即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 【题型8】公式法与提公因式法结合的简便计算 1.核心知识点 提公因式法；平方差、完全平方公式；因式分解的简便运算应用 2.解题方法技巧 提公因式：提取式子中相同的底数幂或公因数，简化原式； 套公式：对提取后剩余部分，用平方差/完全平方公式分解； 巧约分：连乘式用平方差分解后，交叉约分简化计算； 找规律：对含字母指数的式子，提公因式后归纳通用规律。 【例题8】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)__________；__________；__________． (2)①；    ②． 【答案】(1)6；18；54 (2)①② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，因式分解，通过观察，分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解决问题的关键． （1）直接计算每个表达式的值，遵循有理数运算顺序：先乘方后乘除，最后加减； （2）①通过提取公因式进行因式分解，化简表达式；②通过提取公因式进行因式分解，化简表达式． 【详解】（1）解： ； ； ． （2）解：① ； ② ． 【压轴素养题型】 【题型9】公式法因式分解解决整除/倍数问题 1.核心知识点 平方差公式因式分解；数的整除特征；相邻整数的奇偶性。 2.解题方法技巧 因式分解变形：将待判断的多项式用公式法分解，转化为几个整式的积的形式； 分析因数特征：结合已知条件（如整数、正整数），分析分解后的整式是否含指定的因数（如8、11）； 奇偶性判断：相邻两个整数必有一个是2的倍数，利用此特征判断积是否为某数的倍数，如，与一奇一偶，故能被8整除。 【例题9】.（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式，将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵n是任意整数， ∴都能被8整除， ∴多项式都能被8整除． 故选：C． 【变式题9-1】.（2024·河北石家庄·一模）嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析： 嘉淇的分析： ∵为整数，5为整数， ∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除． (1)用嘉淇的方法证明4374能被3整除； (2)设是一个四位数，a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． （1）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论； （2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论． 【详解】（1）解： ∵为整数，6为整数， ∴能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除； （2）证明： ， ∵能被3整除， ∴若“”能被3整除，则能被3整除． 【变式题9-2】.（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 【答案】(1)能，证明见解析 (2)见解析，能 (3)见解析 【分析】本题考查有理数运算，因式分解的应用： （1）根据去尾相加法，进行判断和证明即可； （2）一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除，利用此种方法判断9163能够被7整数即可； （3）去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 【详解】（1）解：4165去掉个位5得416，并加上5的5倍得到441，去掉441的个位1，加上1的5倍，得到，故4165可以被7整除； 证明：一个数，若，则：， ∴， 即：可以被7整数； （2）解：方法为：一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除； 9163去掉个位3，得到916，再减去3的2倍得到910，去掉910的个位0，减去0的2倍，得到，故9163能被7整除； （3）解：去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是“智慧小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务． 两连续偶数和与这两数差的平方差 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“智慧小组”开展了以下探究活动． 问题： 两连续偶数和与这两数差的平方差是否一定能被16整除？ 初步探究： 进行特例探究，选择两个具体的偶数进行验证．如选4和6，为表达方便，设它们的和为，它们的差为．则，，发现，96能够被16整除． 继续取几组连续偶数进行验证，发现的值都能被16整除． 深入探究： 探究结论的一般性．设两连续偶数分别为和，进行如下验证： ， 任务： (1)请你按“智慧小组”的思路完成以上结论的验证； (2)进一步探究：两连续奇数和与这两数差的平方差是否一定能被一个非1的正整数整除？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式分解因式是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可求出，据此可证明结论； （2）设两个连续的奇数为（k为整数），则，可证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：，， ∴ ， ∵a为整数， ∴是整数， ∴能被16整除，即能被16整除； （2）解：设两个连续的奇数为（k为整数）， ∴， ∴ ， ∵k为整数， ∴为整数， ∴能被4整除， ∴能被4整除， ∴两连续奇数和与这两数差的平方差一定能被正整数4整除． 【题型10】配方法构造公式因式分解 1.核心知识点 配方法；平方差/完全平方公式；代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 添项配平方：在多项式中添加一项构造完全平方式，同时减去该项保证恒等变形； 套平方差公式：将构造后的式子写成“完全平方式平方项”的形式，套用平方差公式分解； 例：。 【例题10】.（25-26八年级上·云南昆明·期中）阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ① ②； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键． （1）①仿照题干作答即可； ②仿照题干作答即可； （2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ， 所以多项式的最小值为． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山西大同·期末）配方法是一种重要的数学思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法． 例如：把代数式进行配方． 解： 从而利用平方差公式可以将多项式因式分解为． 问题解决： (1)已知M是含字母x的单项式，要使多项式是完全平方式，则M为______． (2)利用上述方法分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式，平方差公式分解因式. （1）由完全平方式的结构特征可得答案. （2）把原式化为，再进一步利用平方差公式分解因式即可. 【详解】（1）解：∵多项式是完全平方式，M是含字母x的单项式， ∴， 故答案为：. （2）解： . 【变式题10-2】.（25-26八年级上·山东德州·月考）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)代数式的最小值是________； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了通过完全平方公式进行配方求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可； （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是， 故答案为：； （2）解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·山东德州·月考）先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，求整式的值，构成三角形的条件；掌握完全平方公式，构成三角形的条件是解题的关键． （1）根据已知同理可求，求出、的值，代入计算，即可求解； （2）同理求出，，由构成三角形的条件得，即可求解； 【详解】（1）解： ， ， ， ，， ，， ； （2）解： ， ， ， ， ，， ，， ， ， a、b、c是的三边长且各边不相等， c是中最长的边， ． 【题型11】公式法因式分解的新定义/阅读理解题 1.核心知识点 公式法因式分解；新定义的理解；代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 精读新定义：理解题目给出的新规则、新方法（如“等差因式”“十字相乘法”），提取核心要点； 结合公式法：将新定义与平方差/完全平方公式结合，按新规则进行因式分解； 分步求解：按题目要求分步操作，先变形再分解，最后验证结果是否符合新定义。 【例题11】.（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 【变式题11-1】.（24-25八年级下·福建厦门·期末）在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． (1)求证：完全三角形是直角三角形； (2)在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是完全三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，因式分解的应用，利用完全平方公式计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理求解即可； （2）先由勾股定理得到，而，则，代入得到，整理并因式分解得到或（舍），再由勾股定理即可求求解． 【详解】（1）证明：由题意得，设， ∴， ∴， ∴完全三角形是直角三角形； （2）是完全三角形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 设 ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴是完全三角形， 【变式题11-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查整体思想在因式分解中的应用及完全平方公式的运用，核心是通过换元将复杂多项式转化为熟悉的完全平方式进行分解． （1）观察式子结构，可将看作一个整体，式子符合完全平方差公式的形式，直接套用公式分解后还原即可； （2）先将设为整体，把原式转化为关于该整体的二次式，展开后用完全平方公式分解，再对还原后的多项式继续利用完全平方公式分解，得到最终的因式分解结果． 【详解】（1）解：令，则原式， 将还原，得原式； （2）解：令，则原式， 将还原，得原式， ， 原式． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为 和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数 可表示为：，若 能被 3 整除，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． （2）证明：设两个连续偶数为 和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3）解：四位数 可表示为： 其中 是 3 的倍数； 若 能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此 能被 3 整除． 易错点 因式分解不彻底，仅提公因式或仅套公式，未继续分解到每一个因式都不能再分解（如分解为后，未继续分解）； 套用平方差公式时，忽略“两项符号相反”的特征，将、错误分解； 求解完全平方式的参数时，遗漏中间项的负号，只得到一个解（如只算，忽略）； 首项系数为负时，未先提取“ ”号就直接套用完全平方公式，导致符号错误； 5.整体思想套用公式时，分解后未展开化简，或合并同类项时出现符号、系数错误； 6.配方法构造公式时，添项后未减去该项，破坏代数式的恒等变形，导致分解结果错误； 7.解决整除问题时，未分析分解后因式的奇偶性、倍数特征，直接判断整除性。 重点 1.掌握平方差、完全平方公式的逆用形式，能准确识别符合公式特征的多项式，直接套用公式因式分解； 2.牢记因式分解的“一提二套三检查”步骤，能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，保证分解彻底； 3.掌握完全平方式的特征，能根据完全平方式求字母参数的值，注意参数的多解情况； 4.学会用整体思想将多项式看成一个整体，套用平方差、完全平方公式进行因式分解； 5.掌握公式法因式分解的应用，能通过分解因式进行代数式求值、面积计算，解决简单的实际问题； 6.理解完全平方式的非负性，能通过配凑完全平方式解决非负性问题，求出字母参数的值。 难点 1.综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，能准确判断何时提公因式、何时套公式，保证分解彻底； 2.运用整体思想将复杂多项式（如多项式作为底数的平方形式）套用公式分解，分解后能正确化简； 3.掌握配方法的技巧，能通过添项、减项构造完全平方式，再套用平方差公式进行因式分解； 4.能将公式法因式分解与数的整除、三角形形状判定、非负性等知识结合，解决综合性问题； 5.能理解新定义、阅读理解题中的规则，结合公式法因式分解解决创新型问题； 6.能通过特例探究规律，用字母表示一般规律，并利用公式法因式分解验证规律的正确性。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用提公因式法，乘法公式，多项式乘法等知识，逐项进行判断． 【详解】解：对选项A： A错误； 对选项B： B错误； 对选项C： C错误； 对选项D：，由平方差公式可得，等式成立 D正确． 2．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】C 【分析】先由已知条件得出，再把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解： ， ， ． 3．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0， ∴，， 解得：，， 根据三角形三边关系，得：， 即， ∵是正整数 ∴ ∴的周长为：． 二、填空题 4．分解因式：___________． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】解：． 5．已知，则________． 【答案】 【分析】先根据平方差公式因式分解，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 6．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 【答案】 【分析】先用配方法对变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入，求出a，再由勾股定理的判定定理得出为直角三角形，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ 解得， ∵， ∴， 解得或（舍去） ∵， ∴， ∴是以1和为直角边的直角三角形， ∴的面积为：． 三、解答题 7．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 原式 ； （2）解：令， 则原式 ． 9．解决下列问题： (1)大家知道都是勾股数组．有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗？请说明你的理由． (2)你还能发现勾股数组具有哪些规律？ (3)小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，如，再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)规律见解析 (3)他发现的规律正确，满足这个规律的数组都是勾股数组 【分析】由勾股定理，结合勾股数组、数的整除性、整式运算及因式分解验证规律、找寻规律即可． 【详解】（1）解：这种观点正确， 理由如下： 设勾股数组为， 若为奇数，则，，为正整数， ，为正整数， 即任何整数的平方除以的余数只可能是或， 不可能等于， 故两直角边不可能同时为奇数，因此，中至少有一个是偶数， 综上所述，勾股数组中一定有一个是偶数； （2）解：①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数，如，都乘以得到也是勾股数； ②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，如，最大的两个数是连续整数，最小数的平方是奇数； ③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是的倍数，如，最大的两个数是连续的奇数，另一数的平方，是的倍数； （3）解：他发现的规律正确， 理由如下： 如：勾股数，其中，满足该形式； 勾股数，约去公因数后为，其中，满足该形式； …， ∴小明发现的规律正确； ， ∴满足这个规律的数组都满足勾股定理，必为勾股数组． 10．若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)28 【分析】（1）设，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （2）设，，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （3）根据阴影部分的面积，设，，得，，把化为，代入有关的值计算即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴； （3）解：∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 公式法 知识点1：用平方差公式因式分解 1.平方差公式逆用：，语言表述为两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 2.公式适用条件：多项式为二项式；两项均能表示成一个数（或整式）的平方形式；两项的符号相反（一正一负）。 3.公式中字母含义：、可以是单项式（数字、字母），也可以是多项式，可将多项式看成一个整体套用公式。 4.分解步骤：先判断是否符合平方差特征，再将两项分别写成平方形式，最后套用公式分解。 知识点2：用完全平方公式因式分解 1.完全平方式：形如的多项式，称为完全平方式，其特征为三项式；有两项为正的平方项（、）；第三项是两平方项底数乘积的倍或倍（）。 2.完全平方公式逆用： 语言表述为两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 3.公式中字母含义：、可以是单项式或多项式，整体思想适用，首项系数为负时先提取“”号再判断。 知识点3：公式法因式分解的综合应用 1.因式分解的一般步骤：一提（提取公因式）→二套（套用平方差/完全平方公式）→三检查（检查是否分解彻底，每一个因式都不能再分解为止）。 2.平方差与完全平方公式的对比（表格呈现）： 公式类型 适用多项式项数 项的特征 分解结果形式 平方差公式 二项式 两项为平方形式，符号相反 两个一次二项式的积： 完全平方公式 三项式 两项正平方项，第三项为 一个完全平方式的平方： 3.常见变形技巧：先展开多项式再合并同类项，转化为可套用公式的形式；通过配方法构造平方差/完全平方式再分解。 【基础必考题型】 【题型1】直接套用平方差公式因式分解 1.核心知识点 平方差公式的逆用；平方形式的识别（数字、单项式的平方）。 2.解题方法技巧 平方形式转化：将多项式的两项分别写成、的形式，如、； 严格验特征：确认两项符号相反，无公因式时直接套用； 简单验证：分解后展开乘积，验证是否与原式一致，避免符号错误。 【例题1】.（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·福建厦门·月考）因式分解：_________． 【变式题1-2】.（2026·浙江舟山·一模）因式分解：___________． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【题型2】直接套用完全平方公式因式分解 1.核心知识点 完全平方式的特征；完全平方公式的逆用。 2.解题方法技巧 定平方项底数：找出多项式中的两个平方项，确定、，如中，、； 验中间项：验证第三项是否为或，如，故原式； 符号处理：中间项为负用，为正用，直接套用公式分解。 【例题2】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏南京·月考）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【题型3】已知完全平方式求字母参数值 1.核心知识点 完全平方式的特征；等式两边对应项系数相等。 2.解题方法技巧 定平方项：将多项式的平方项写成、形式，确定、； 列等式：中间项，建立关于参数的方程，如中，； 注意多解：完全平方式的中间项有正负两种情况，参数一般有两个互为相反数的解。 【例题3】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）是完全平方式，则的值是_____． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·江苏常州·月考）若，m、n均为常数，则________． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若是一个完全平方式，则的值为 ______． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东枣庄·月考）若是一个完全平方式，那么的值为___． 【培优高频题型】 【题型4】提公因式后再套用公式因式分解 1.核心知识点 提公因式法；平方差/完全平方公式的综合应用；因式分解的“一提二套”步骤。 2.解题方法技巧 先提公因式：提取多项式各项的公因式（数字、字母、多项式），提公因式后剩余部分化简； 再套公式：判断提公因式后的多项式是否符合平方差/完全平方特征，套用公式继续分解； 例：，先提，再套平方差公式。 【例题4】.（25-26九年级下·江西南昌·月考）因式分解：__________． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式； (1) (2) 【变式题4-3】.（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5】整体思想套用公式因式分解 1.核心知识点 整体思想；平方差/完全平方公式的逆用；多项式作为公式中的、。 2.解题方法技巧 定整体：将多项式中的某部分看成一个整体，记作或，如中，把看成，看成； 套公式：将整体代入平方差/完全平方公式，先分解整体； 再化简：分解后展开括号，合并同类项，检查是否能继续分解。 【例题5】.（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： (1)材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． (2)请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行分解因式，我们把这种分解因式的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行分解因式的过程． 解：设，则 原式（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了分解因式的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学分解因式的结果不彻底，请你帮助小涵同学将过程补充完整； (3)请你用换元法对多项式进行分解因式． 【题型6】公式法因式分解后求值 1.核心知识点 公式法因式分解；代数式求值；整体代入思想。 2.解题方法技巧 先分解再求值：将待求值的代数式用公式法分解，转化为含已知条件的形式； 整体代入：把已知的字母取值或代数式的值整体代入分解后的式子，避免直接计算复杂值； 例：，代入、直接计算。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知，，则的值是_________． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·四川南充·月考）已知，，则的值为______． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知a，b均为实数，且，求的值． 【题型7】公式法因式分解判断三角形的形状 1.核心知识点 公式法因式分解；三角形的形状判定（等腰、等边、直角）；三角形三边的非负性。 2.解题方法技巧 移项整理：将已知的三边关系式移项，使等式右边为0，左边合并同类项； 因式分解：用提公因式+公式法分解左边的多项式，转化为几个整式的积的形式； 分析因式：根据三角形三边均为正数，判断因式的符号，确定三边的数量关系（如则为等腰三角形）。 【例题7】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【变式题7-3】.（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【题型8】公式法与提公因式法结合的简便计算 1.核心知识点 提公因式法；平方差、完全平方公式；因式分解的简便运算应用 2.解题方法技巧 提公因式：提取式子中相同的底数幂或公因数，简化原式； 套公式：对提取后剩余部分，用平方差/完全平方公式分解； 巧约分：连乘式用平方差分解后，交叉约分简化计算； 找规律：对含字母指数的式子，提公因式后归纳通用规律。 【例题8】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）计算的结果是______． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)__________；__________；__________． (2)①；    ②． 【压轴素养题型】 【题型9】公式法因式分解解决整除/倍数问题 1.核心知识点 平方差公式因式分解；数的整除特征；相邻整数的奇偶性。 2.解题方法技巧 因式分解变形：将待判断的多项式用公式法分解，转化为几个整式的积的形式； 分析因数特征：结合已知条件（如整数、正整数），分析分解后的整式是否含指定的因数（如8、11）； 奇偶性判断：相邻两个整数必有一个是2的倍数，利用此特征判断积是否为某数的倍数，如，与一奇一偶，故能被8整除。 【例题9】.（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 【变式题9-1】.（2024·河北石家庄·一模）嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析： 嘉淇的分析： ∵为整数，5为整数， ∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除． (1)用嘉淇的方法证明4374能被3整除； (2)设是一个四位数，a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”． 【变式题9-2】.（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 【变式题9-3】.（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是“智慧小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务． 两连续偶数和与这两数差的平方差 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“智慧小组”开展了以下探究活动． 问题： 两连续偶数和与这两数差的平方差是否一定能被16整除？ 初步探究： 进行特例探究，选择两个具体的偶数进行验证．如选4和6，为表达方便，设它们的和为，它们的差为．则，，发现，96能够被16整除． 继续取几组连续偶数进行验证，发现的值都能被16整除． 深入探究： 探究结论的一般性．设两连续偶数分别为和，进行如下验证： ， 任务： (1)请你按“智慧小组”的思路完成以上结论的验证； (2)进一步探究：两连续奇数和与这两数差的平方差是否一定能被一个非1的正整数整除？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 【题型10】配方法构造公式因式分解 1.核心知识点 配方法；平方差/完全平方公式；代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 添项配平方：在多项式中添加一项构造完全平方式，同时减去该项保证恒等变形； 套平方差公式：将构造后的式子写成“完全平方式平方项”的形式，套用平方差公式分解； 例：。 【例题10】.（25-26八年级上·云南昆明·期中）阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ① ②； (2)求多项式的最小值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山西大同·期末）配方法是一种重要的数学思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法． 例如：把代数式进行配方． 解： 从而利用平方差公式可以将多项式因式分解为． 问题解决： (1)已知M是含字母x的单项式，要使多项式是完全平方式，则M为______． (2)利用上述方法分解因式：． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·山东德州·月考）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)代数式的最小值是________； (2)求代数式的最小值． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·山东德州·月考）先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 【题型11】公式法因式分解的新定义/阅读理解题 1.核心知识点 公式法因式分解；新定义的理解；代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 精读新定义：理解题目给出的新规则、新方法（如“等差因式”“十字相乘法”），提取核心要点； 结合公式法：将新定义与平方差/完全平方公式结合，按新规则进行因式分解； 分步求解：按题目要求分步操作，先变形再分解，最后验证结果是否符合新定义。 【例题11】.（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【变式题11-1】.（24-25八年级下·福建厦门·期末）在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． (1)求证：完全三角形是直角三角形； (2)在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 易错点 因式分解不彻底，仅提公因式或仅套公式，未继续分解到每一个因式都不能再分解（如分解为后，未继续分解）； 套用平方差公式时，忽略“两项符号相反”的特征，将、错误分解； 求解完全平方式的参数时，遗漏中间项的负号，只得到一个解（如只算，忽略）； 首项系数为负时，未先提取“ ”号就直接套用完全平方公式，导致符号错误； 5.整体思想套用公式时，分解后未展开化简，或合并同类项时出现符号、系数错误； 6.配方法构造公式时，添项后未减去该项，破坏代数式的恒等变形，导致分解结果错误； 7.解决整除问题时，未分析分解后因式的奇偶性、倍数特征，直接判断整除性。 重点 1.掌握平方差、完全平方公式的逆用形式，能准确识别符合公式特征的多项式，直接套用公式因式分解； 2.牢记因式分解的“一提二套三检查”步骤，能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，保证分解彻底； 3.掌握完全平方式的特征，能根据完全平方式求字母参数的值，注意参数的多解情况； 4.学会用整体思想将多项式看成一个整体，套用平方差、完全平方公式进行因式分解； 5.掌握公式法因式分解的应用，能通过分解因式进行代数式求值、面积计算，解决简单的实际问题； 6.理解完全平方式的非负性，能通过配凑完全平方式解决非负性问题，求出字母参数的值。 难点 1.综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，能准确判断何时提公因式、何时套公式，保证分解彻底； 2.运用整体思想将复杂多项式（如多项式作为底数的平方形式）套用公式分解，分解后能正确化简； 3.掌握配方法的技巧，能通过添项、减项构造完全平方式，再套用平方差公式进行因式分解； 4.能将公式法因式分解与数的整除、三角形形状判定、非负性等知识结合，解决综合性问题； 5.能理解新定义、阅读理解题中的规则，结合公式法因式分解解决创新型问题； 6.能通过特例探究规律，用字母表示一般规律，并利用公式法因式分解验证规律的正确性。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 3．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题 4．分解因式：___________． 5．已知，则________． 6．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 三、解答题 7．因式分解 (1)； (2)． 8．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 9．解决下列问题： (1)大家知道都是勾股数组．有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗？请说明你的理由． (2)你还能发现勾股数组具有哪些规律？ (3)小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，如，再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 10．若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $