第9章 因式分解 单元复习（4大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学因式分解单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点、常考考点与高频易错点，结合知识点总结框架图呈现因式分解的概念、提公因式法、公式法等知识脉络，明确各方法的内在联系与应用条件。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的直接提公因式到提升的分组分解法再到培优的配方法与几何综合，如提公因式后用平方差公式分解的综合题型，培养运算能力与推理意识。错题警示与解题技巧指导帮助学生规避易错点，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准教学。

第9章 因式分解 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.因式分解的概念 1.判别整式变形是否为因式分解； 2.区分因式分解与整式乘法的互逆关系； 3.判断因式分解结果是否规范、彻底 1.混淆因式分解与整式乘法，变形方向判断错误； 2.结果未写成整式乘积形式，保留加减运算； 3.忽略“分解到不能再分解”的基本要求 2.提公因式法 1.确定多项式各项的公因式； 2.直接用提公因式法分解因式； 3.含负号、多项式整体公因式的提取 1.公因式提取不彻底，剩余因式仍有公因式； 2.首项为负时未提负号，符号出错； 3.提公因式后出现漏项，项数与原式不一致 3.公式法（平方差公式） 1.识别平方差结构的多项式； 2.直接运用分解； 3.先提公因式再用平方差公式分解 1.多项式不满足“两项、平方、异号”仍强行套用； 2.分解后未继续分解可再分解的因式； 2.数字系数未化为平方形式就套用公式 4.公式法（完全平方公式） 1.识别完全平方式结构特征； 2.运用分解因式； 3.提公因式后再用完全平方公式分解 1.忽略完全平方式“首末平方同号、中间2倍乘积”特征； 2.漏写中间项的2倍关系，公式结构错误； 3.符号判断错误，混淆与 【易错题型】 【题型1】因式分解概念与结果规范易错题 1.易错点总结 -变形方向混淆：将整式乘法当作因式分解； -结果形式错误：未写成整式乘积形式，仍含加减； -分解不彻底：如未继续分解； -提公因式出错：符号错误、漏项、公因式提取不全。 2.纠错技巧 -判定标准：左边多项式，右边整式积，分解要彻底； -提公因式三看：看系数、看字母、看符号； -最终检查：是否为乘积、是否可再分、项数符号是否正确。 【例题1】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A．，等式右边不是整式积的形式，故此项不合题意． B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． C．，符合因式分解的定义，故此项符合题意． D．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D、，选项正确． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 【基础题型】 【题型2】直接提公因式法分解因式 1.考点总结 -核心：提取各项公因式，化为公因式×另一个因式； -考查：单项式公因式、多项式公因式的提取。 2.解题技巧 -公因式确定：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂； -多项式作为公因式时，直接整体提取； -首项系数为负，连同负号一并提出。 【例题2】.（2026·江西上饶·三模）因式分解：______． 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，再提取公因式进行因式分解，即可求解 【详解】解： 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解：______． 【答案】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式得到最终结果． 【详解】解： ． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·福建福州·月考）因式分解，该过程用到的运算律是（    ） A．加法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】提取公因式是乘法分配律的逆用，据此判断即可． 【详解】解：∵因式分解 采用提取公因式法， ∴该变形是乘法分配律的逆应用， ∴该过程用到的运算律是分配律． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，掌握先提取公因式化简代数式，再代入数值计算，简化运算过程是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后化简代数式，再代入数值计算 （2）先将变形为，使两项出现公因式，提取公因式后化简，再代入数值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，，时， 原式 ． 【题型3】公式法综合分解因式 1.考点总结 -核心：平方差公式、完全平方公式； -关键：准确识别两项平方差、三项完全平方式结构。 2.解题技巧 -两项看平方异号，用平方差；三项看首末平方、中间2倍积，用完全平方； -有公因式先提公因式，再套公式； -分解必须彻底，无再分解因式为止。 【例题3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式直接提公因式即可； （2）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （3）原式提取公因式3后，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （4）原式提取公因式后，再运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山东济南·月考）把下列各式因式分解： (1) (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】（）先提取公因式，再用平方差公式分解剩余部分； （）直接将式子看成两个平方项的差，套用平方差公式分解； （）先提取公因式，再用完全平方公式分解括号内的二次三项式； （）用十字相乘法，将常数项分解为两个数，使其和等于一次项系数，进而分解因式； （）先变形为，再提取公因式并整理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】提公因式+公式法综合分解 1.考点总结 -方法顺序：一提、二套、三查； -考查：先提公因式，再用平方差或完全平方分解。 2.解题技巧 -固定步骤：先提公因式，再用公式法； -每一步都检查是否可继续分解； -最终结果每个因式都为最简整式。 【例题4】.（2026·江西新余·一模）分解因式 ___________ 【答案】 【详解】解： 【变式题4-1】.（2026·宁夏银川·一模）分解因式：____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将原式变形为含有公因式的代数式，再提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用平方差公式因式分解，再提取公因式即可； （4）利用平方差公式因式分解，再分别对各个因式合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 【提升题型】 【题型5】分组分解法分解因式 1.考点总结 -适用对象：四项及四项以上多项式； -思路：分组后可提公因式或套用公式。 2.解题技巧 -常用分组：二二分组、一三分组； -分组目标：组内可分解、组间可继续分解； -分组后仍按“一提二套”完成分解。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】人教版数学教材八年级上册第136页有这样一道习题： 阅读下面的分解因式的过程： …… 【归纳反思】上述分解因式的过程表明：对一些项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将其合理分组，使组内可用提公因式法或公式法进行分解，再对整体进行因式分解． 【类比应用】利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)证明：如果是的三条边的长，那么． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法及三角形三边关系的应用，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可利用公式或提公因式的形式，再结合三角形三边关系判断符号． （1）对多项式 分组，前两项用平方差公式，后两项提公因式，再整体提公因式； （2）对多项式 分组，将 组成完全平方，再用平方差公式，最后根据三角形三边关系判断每个因式的符号，从而证明不等式． 【详解】（1）解： （2）证明： ∵ a，b，c 是 的三条边的长， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算． （1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可； （2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；； （2）解： 由三角形三边关系得，， ，， ，， ， ． 【题型6】因式分解进行简便计算 1.考点总结 -利用因式分解简化大数运算、分数运算； -核心：提公因式、套公式实现凑整、约分。 2.解题技巧 -观察结构：有公因数先提，有公式结构先套公式； -目标：凑出整十、整百、相同因数简化计算； -避免直接硬算，提高速度与准确率。 【例题6】.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【变式题6-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【题型7】利用因式分解判断整除性 1.考点总结 -将代数式因式分解，判断是否含指定因数； -常考：被2、3、4、6、24等整数整除。 2.解题技巧 -对式子彻底分解； -看结果是否包含对应整除因子； -整数范围内，乘积含该因数即可判定整除。 【例题7】.（24-25八年级上·山东威海·期中）对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式得出，即可作出判断． 【详解】解： ， 为任意整数， ，既能被2整除又能被4整除， 又∵、是连续整数， ∴、必有一个是偶数， ∴能被8整除，即能被8整除， 故选：C． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·安徽淮南·月考）若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍； (2)设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【答案】(1)19 (2)能，见解析 (3)余数为5，见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用． （1）结合题干，利用平方差公式求解； （2）设偶数为，比大7的数为，比大7的数与的平方差表示为，利用平方差公式变形为，即可求解； （3）变形为，可得余数为5． 【详解】（1）解：， 的结果是3的19倍， 故答案为：19； （2）解：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与2n的平方差能被7整除； （3）解：余数为5，理由如下： 设这个数为n，比n大5的数为， ∴， ∵， ∴被10整除的余数是5， ∴比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5． 【变式题7-3】.（24-25九年级下·湖北武汉·月考）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【答案】(1)是的一个因式 (2) 【分析】本题考查了整式的除法． (1)根据当时，的值为，可得是M的一个因式； (2)根据能整除，可知是的一个因式，所以当时，可得：，解方程求出的值． 【详解】（1）解：当时，的值为， 多项式中含有因式， 是M的一个因式； （2）解：能整除， 是的一个因式， 时， 可得：， ． 【题型8】因式分解判定三角形形状 1.考点总结 -结合三边关系，用因式分解判断等腰、等边三角形； -依据：非负数和为0、平方差符号判断。 2.解题技巧 -对已知等式因式分解； -转化为、或平方和关系； -结合三角形定义判定形状。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·周测）已知，，是的三边长，且满足，则的形状为____________． 【答案】等边三角形 【分析】将给定等式进行因式分解，转化为两个完全平方的和，根据非负数的性质得出边的关系． 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：由 ， 可化为 ， ∵ ，， ∴ 且 ， 即 且 ， ∴ ， ∴ 为等边三角形； 故答案为：等边三角形． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用和等边三角形的判定，正确变形、熟知非负数的性质是解题的关键；先将原式变形为，再根据非负数的性质得出且，进而可得结论． 【详解】解：该三角形是等边三角形，理由见解析： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴且， ∴， ∴该三角形是等边三角形． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）已知，，是的三边，且． (1)试判断的形状． (2)若，求第三边的取值范围． 【答案】(1)是等腰三角形 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）对题目中式子进行变形因式分解，得到三角形边之间的数量关系，进而判断三角形行形状； （2）根据三角形三边关系列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：, ， ， ， ，，是的三边， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）可得，， 当时，三角形的三边为， 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边得，， 解得． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)如果是的三条边的长，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了因式分解的应用，等边三角形的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据阅读题干的分解因式的过程即可求解； （）先根据阅读题干的分解因式的过程对变形为，然后通过等边三角形定义即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴且， ∴， 即是等边三角形． 【培优题型】 【题型9】配方法因式分解 1.考点总结 -对复杂二次三项式，添项配成完全平方，再用平方差分解； -适用于无法直接套用公式的题型。 2.解题技巧 -配方思路：首末配平方，中间凑2倍； -配方后用继续分解； -仅用于常规方法无法分解的题目。 【例题9】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________________． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值5 (3)当时，多项式有最小值2020 【分析】本题考查了配方法的应用（因式分解、多项式最值求解），解题的关键是通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的组合，利用完全平方式的非负性分析问题． （1）对多项式凑完全平方式，再用平方差公式因式分解； （2）将a、b的项分别配方，结合完全平方式非负性求最值； （3）先整理a的项并配方，再结合b的项配方，利用完全平方式非负性求最值． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ，， 当，时，多项式有最小值．最小值为5． （3））解： ， 当且，即，时，多项式有最小值．最小值为2020． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：_____． (2)多项式：的最小值是_____． (3)已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，多项式取得最小值，最小值是． 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式即可得到结论； （2）仿照题干作答即可； （3）将看作整体，仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ， 当时，多项式取得最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解： ， ， 当时，多项式取得最小值，最小值是． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)当，时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据例题方法，根据完全平方公式与平方差公式，因式分解，即可求解． （3）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （4）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式 ∴， ∴ 故答案为：． （2） （3） ∵， ∴， ∴， 当时，y的最大值为； （4） ， 当，时，原式取最小值． ∴当，时，多项式有最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建龙岩·月考）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1)；7 (2)4 (3)2 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）根据平方的非负性，求出结果即可； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵时，， ∴时，的最小值为7． （2）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 【题型10】因式分解与几何面积综合 1.考点总结 -结合图形面积、周长，用因式分解求边长、最值； -数形结合，代数变形与几何图形互化。 2.解题技巧 -将面积/周长转化为代数式； -因式分解后求边长、定值、最值； -利用完全平方求最小/最大值。 【例题10】.（24-25八年级上·云南楚雄·期末）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． （1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式的几何背景是边长为，的长方形扔面积，解答； （3）根据阴影面积＝总面积－两个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； 故答案为：； （2）解：根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是， 故答案为：； （3）解：图形的总面积为：， 两个三角形两种分别为：， ，阴影面积＝总面积－两个三角形的面积， （负数舍去） ， ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图： (1)将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． (2)若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ． 故答案为：； （2）解：∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ，， ，， ， ， ，， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1)图2的面积为或， (2)56 (3)画图见解析， 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）图2 图形的面积为正方形的面积表示为，图2 图形的面积为3个小正方形的面积加上三个小长方形的面积，据此即可得到因式分解的形式； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由1个边长为的小正方形和4个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：图2面积为：；图2的面积为：， ∴； 故答案为：； （2）解：，，， ． ； （3）解：如图所示 ∴ 【变式题10-3】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键， （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得，从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为：，由于每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由图2可得：矩形的面积为：， ∴， 故答案为：． （2）解：由图得，所有裁剪线长之和为：， 每块小长方形的面积为7，， 四个正方形的面积之和为22， ， ∴， ∴， 或（舍去）， ． （3）解：由图3中左图得，几何体体积为：， 由图3中右图得，几何体体积为， ． 故答案为：． 同步练习 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.因式分解的概念 1.判别整式变形是否为因式分解； 2.区分因式分解与整式乘法的互逆关系； 3.判断因式分解结果是否规范、彻底 1.混淆因式分解与整式乘法，变形方向判断错误； 2.结果未写成整式乘积形式，保留加减运算； 3.忽略“分解到不能再分解”的基本要求 2.提公因式法 1.确定多项式各项的公因式； 2.直接用提公因式法分解因式； 3.含负号、多项式整体公因式的提取 1.公因式提取不彻底，剩余因式仍有公因式； 2.首项为负时未提负号，符号出错； 3.提公因式后出现漏项，项数与原式不一致 3.公式法（平方差公式） 1.识别平方差结构的多项式； 2.直接运用分解； 3.先提公因式再用平方差公式分解 1.多项式不满足“两项、平方、异号”仍强行套用； 2.分解后未继续分解可再分解的因式； 2.数字系数未化为平方形式就套用公式 4.公式法（完全平方公式） 1.识别完全平方式结构特征； 2.运用分解因式； 3.提公因式后再用完全平方公式分解 1.忽略完全平方式“首末平方同号、中间2倍乘积”特征； 2.漏写中间项的2倍关系，公式结构错误； 3.符号判断错误，混淆与 【易错题型】 【题型1】因式分解概念与结果规范易错题 1.易错点总结 -变形方向混淆：将整式乘法当作因式分解； -结果形式错误：未写成整式乘积形式，仍含加减； -分解不彻底：如未继续分解； -提公因式出错：符号错误、漏项、公因式提取不全。 2.纠错技巧 -判定标准：左边多项式，右边整式积，分解要彻底； -提公因式三看：看系数、看字母、看符号； -最终检查：是否为乘积、是否可再分、项数符号是否正确。 【例题1】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【基础题型】 【题型2】直接提公因式法分解因式 1.考点总结 -核心：提取各项公因式，化为公因式×另一个因式； -考查：单项式公因式、多项式公因式的提取。 2.解题技巧 -公因式确定：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂； -多项式作为公因式时，直接整体提取； -首项系数为负，连同负号一并提出。 【例题2】.（2026·江西上饶·三模）因式分解：______． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解：______． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·福建福州·月考）因式分解，该过程用到的运算律是（    ） A．加法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 【题型3】公式法综合分解因式 1.考点总结 -核心：平方差公式、完全平方公式； -关键：准确识别两项平方差、三项完全平方式结构。 2.解题技巧 -两项看平方异号，用平方差；三项看首末平方、中间2倍积，用完全平方； -有公因式先提公因式，再套公式； -分解必须彻底，无再分解因式为止。 【例题3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山东济南·月考）把下列各式因式分解： (1) (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1) (2) 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【题型4】提公因式+公式法综合分解 1.考点总结 -方法顺序：一提、二套、三查； -考查：先提公因式，再用平方差或完全平方分解。 2.解题技巧 -固定步骤：先提公因式，再用公式法； -每一步都检查是否可继续分解； -最终结果每个因式都为最简整式。 【例题4】.（2026·江西新余·一模）分解因式 ___________ 【变式题4-1】.（2026·宁夏银川·一模）分解因式：____________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东枣庄·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【提升题型】 【题型5】分组分解法分解因式 1.考点总结 -适用对象：四项及四项以上多项式； -思路：分组后可提公因式或套用公式。 2.解题技巧 -常用分组：二二分组、一三分组； -分组目标：组内可分解、组间可继续分解； -分组后仍按“一提二套”完成分解。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式：________． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】人教版数学教材八年级上册第136页有这样一道习题： 阅读下面的分解因式的过程： …… 【归纳反思】上述分解因式的过程表明：对一些项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将其合理分组，使组内可用提公因式法或公式法进行分解，再对整体进行因式分解． 【类比应用】利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)证明：如果是的三条边的长，那么． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【题型6】因式分解进行简便计算 1.考点总结 -利用因式分解简化大数运算、分数运算； -核心：提公因式、套公式实现凑整、约分。 2.解题技巧 -观察结构：有公因数先提，有公式结构先套公式； -目标：凑出整十、整百、相同因数简化计算； -避免直接硬算，提高速度与准确率。 【例题6】.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【变式题6-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【变式题6-3】.（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【题型7】利用因式分解判断整除性 1.考点总结 -将代数式因式分解，判断是否含指定因数； -常考：被2、3、4、6、24等整数整除。 2.解题技巧 -对式子彻底分解； -看结果是否包含对应整除因子； -整数范围内，乘积含该因数即可判定整除。 【例题7】.（24-25八年级上·山东威海·期中）对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【变式题7-1】.（24-25七年级下·安徽淮南·月考）若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍； (2)设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【变式题7-3】.（24-25九年级下·湖北武汉·月考）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【题型8】因式分解判定三角形形状 1.考点总结 -结合三边关系，用因式分解判断等腰、等边三角形； -依据：非负数和为0、平方差符号判断。 2.解题技巧 -对已知等式因式分解； -转化为、或平方和关系； -结合三角形定义判定形状。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·周测）已知，，是的三边长，且满足，则的形状为____________． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）已知，，是的三边，且． (1)试判断的形状． (2)若，求第三边的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)如果是的三条边的长，且，请判断的形状，并说明理由． 【培优题型】 【题型9】配方法因式分解 1.考点总结 -对复杂二次三项式，添项配成完全平方，再用平方差分解； -适用于无法直接套用公式的题型。 2.解题技巧 -配方思路：首末配平方，中间凑2倍； -配方后用继续分解； -仅用于常规方法无法分解的题目。 【例题9】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________________． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：_____． (2)多项式：的最小值是_____． (3)已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建龙岩·月考）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 【题型10】因式分解与几何面积综合 1.考点总结 -结合图形面积、周长，用因式分解求边长、最值； -数形结合，代数变形与几何图形互化。 2.解题技巧 -将面积/周长转化为代数式； -因式分解后求边长、定值、最值； -利用完全平方求最小/最大值。 【例题10】.（24-25八年级上·云南楚雄·期末）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图： (1)将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． (2)若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为多少． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 同步练习 学科网（北京）股份有限公司 $