第八章 课时分层评价29 与球有关的“切”“接”问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价29　与球有关的“切”“接”问题 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设正方体的棱长为a，则其体对角线长为a，设球的半径为r，则4πr2＝4π，r＝1，所以a＝2r＝2，a＝＝.故选B. 2.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A.6π B.12π C.8π D.16π 答案：D 解析：由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为，圆锥的高为1.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O 2＋r2＝(R－1)2＋()2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π.故选D. 3.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A.π B. C. D. 答案：B 解析：如图所示，依题意，球的半径r＝1.因为圆柱的高2h＝1，所以圆柱的底面半径r1＝＝＝.故圆柱的体积V＝π·2h＝π××1＝.故选B. 4.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B.4π C. D.16π 答案：C 解析：设三棱柱外接球的球心为O，半径为r，如图所示，三棱柱的底面△ABC的中心为D，则OA＝r，因为三棱柱的高为2，所以OD＝1，又在正△ABC中，AB＝3，可得AD＝，所以在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，有r2＝12＋，所以r＝2，则这个三棱柱的外接球的体积为V＝×r3＝.故选C. 5.已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为(　　) A.3π B.4π C.6π D.9π 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，可得圆柱的侧面积为2π＝2πrh，所以rh＝1，圆柱的外接球的半径为，外接球的表面积为4π()2＝π≥2π＝4π，当且仅当r＝，h＝时，外接球的表面积取得最小值4π.故选B. 6.在正三棱锥P-ABC中，AB＝2，正三棱锥P-ABC的体积是4，则正三棱锥P-ABC外接球的表面积是(　　) A.5π B.15π C.25π D.35π 答案：C 解析：因为正三棱锥P-ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝3.过P作PN⊥平面ABC，则N为△ABC的中心，如图所示，连接AN并延长交BC于M，则M为BC的中点，可求得AN＝2，易知正三棱锥P-ABC外接球的球心O在PN上，因为正三棱锥P-ABC的体积是4，所以×S△ABC×PN＝4，所以PN＝4，设外接球的半径为r，由题意得r2＝＋22，解得r＝，所以外接球的表面积S＝4πr2＝4π×＝25π，故选C. 7.三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA-BCD＝，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　. 答案：4π 解析：因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.如图所示，设外接球的半径为R.因为VA-BCD＝××BC×CD×AB＝×2×CD×2＝，所以CD＝2，所以该长方体为正方体，所以AD＝2，所以R＝，外接球体积为V＝πR3＝4π. 8.已知三棱锥S-ABC底面是边长为的正三角形，SA⊥平面ABC，且SA＝2，则该三棱锥的外接球的体积为　　　　. 答案： 解析：如图，将三棱锥S-ABC补成三棱柱ABC-A1B1C1，点S与A1重合，则正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球就是三棱锥S-ABC的外接球，令球心为O，半径为R，记△ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2，其半径为r，由正弦定理＝2r，可得r＝＝1，而O为O1O2的中点，则R＝＝＝＝2，所以该三棱锥的外接球的体积为V＝πR3＝. 9.球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为　　　　. 答案：或 解析：(1)当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.该圆锥的体积为×π××＝πr3，球的体积为πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.(2)同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为. 10.(13分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为，求正方形ABCD的边长. 解：由题意，折叠后的四面体AEFG如图所示. 设正方形边长为a，四面体AEFG外接球的半径为r， 则AG＝a，EG＝FG＝， 易知在折叠后的四面体AEFG中，GA，GE，GF两两垂直， 所以四面体AEFG的外接球半径 r＝ ＝a. 由4πr2＝，解得r＝， 所以a＝r＝×＝， 即正方形ABCD的边长为. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 答案：C 解析：如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2＋b2＋c2＝6，所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，即R＝＝，故外接球的表面积为4πR2＝6π.故选C. 12.(多选)正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积可能为(　　) A. B. C.2 D. 答案：AB 解析：因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为.因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略).①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝.故选AB. 13.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是　　　　. 答案： 解析：设球的半径为R，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝π＝. 14.(15分)一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积. 解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， 所以R＝9，SE＝2R＝18. 因为SD＝16，所以ED＝2. 连接AE，又SE是圆O的直径， 所以SA⊥AE， 所以SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12. 因为AB⊥SD，D为AB中点， 所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4， 所以S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. (2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， 因为△SAB的周长为2×＝32， 所以r×32＝×8×16，解得r＝4. 故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π. 15.(5分)已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为　　　　. 答案： 解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则2r＝2，解得r＝1.设所求的小正方体的棱长为a，当小正方体的体积最大时，有3a2＝，所以a＝＝，所以小正方体体积的最大值为a3＝＝. 16.(17分)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝，AB＝2，A1B1＝1，求： (1)四棱台的表面积； (2)四棱台外接球的体积. 解：(1)在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H， 易得CH＝，C1H＝， 则四棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝1＋4＋4××＝5＋3. (2)如图所示，将该四棱台补成四棱锥S-ABCD，连接AC，BD交于点O， A1C1，B1D1交于点O1，连接SO， 由题意及棱台的结构特征可知，O1在线段SO上. 因为AB＝2，A1B1＝1， 所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2， 所以SA＝2AA1＝2，AO＝， 故SO＝，OO1＝， 即该四棱台的高为. 由于四棱台的上、下底面都是正方形， 则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1，在四边形B1BOO1中，OO1＝，B1O1＝， 则OB1＝＝OB， 即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等， 同理点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为， 所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r＝， 故该四棱台外接球的体积V＝πr3＝π. 学生用书⬇第93页 学科网（北京）股份有限公司 $