基本不等式处理多变量最值问题课件-2026届高三数学二轮复习

专题一 基本不等式处理多变量最值问题 不等式、平面向量 1 1．已知a＞b＞0，p：x＜，q：x＜，则p是q成立的 (　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件　 D．充要条件 【解析】 　　　　 由a＞b＞0，得＜，则当x＜时，一定有x＜，即q⇒p； 反之不一定成立，如取a＝3，b＝1，x＝1.9，则＝2，＝，显然x＜成立，而x＞，因此p成立，q不一定成立． 综上，p是q成立的必要不充分条件． B 2．已知0＜a＜，则a的最大值为 (　　) A．　 B． C．1　 D． 【解析】 　　　　因为0＜a＜，所以2－a2＞0，从而a＝≤＝1，当且仅当a2＝2－a2，即a＝1时取等号，所以a的最大值为1． C 3．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 (　　) A．0＜a＜2　　 B．＋≤1 C．≤2　 D．a2＋b2≤8 【解析】 　　　　 因为a＞0，b＞0，当a＝3，b＝1时，满足a＋b＝4，而ab＝3，＋＝＋1＝，a2＋b2＝10，所以选项A，B，D错误． 由基本不等式a＋b≥2，得≤＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C正确． C 4．已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为 (　　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 　　　　 因为正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，所以y＝－， 则2x＋y＝2x＋－＝＋≥2＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立， 所以2x＋y的最小值为． A 目标 1 消元法 　　　(1) (2025·开封调研)已知正实数m，n满足mn＝2，则＋＋的最小值为 (　　) A．2　　　 B．3 C．3　　　 D．4 1 【解析】 　　　　 由mn＝2，可得n＝，则＋＋＝＋m＋． 设＋m＝t，则t≥2，原式为t＋≥2＝3，当且仅当t＝时等号成立． C 　 　　(2) (2025·诸暨质检)已知x，y，z均为正数，且＋＝2，x＋2y＋2z＝xyz，则xyz的最小值为______． 【解析】 　　　　 由＋＝2可得x＋2y＝2xy， 则xyz＝x＋2y＋2z＝2xy＋2z≥4，即得xyz≥16，当且仅当x＝4－2，y＝2＋，z＝4或x＝4＋2，y＝2－，z＝4时取等号． 1 16 消元法就是对于不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解． 变式1　已知5m2n2＋n4＝1，则m2＋n2的最小值为 (　　) A．　　　 B． C．　　 D． 【解析】 　　　　 由5m2n2＋n4＝1，可得n≠0，m2＝， 于是m2＋n2＝≥×2＝，当且仅当＝4n2，即n2＝时取等号， 即当n2＝，m2＝时，m2＋n2取得最小值． C 目标 2 换元法 　　　(1) 已知正数a，b，c满足2a＋b＋3c＝8，则＋的最小值为(　　) A．2　　 B． C．3－1　　 D． 2 【解析】 　　　　正数a，b，c满足2a＋b＋3c＝8，即2(a＋c)＋(b＋c)＝8，令a＋c＝m，b＋c＝ n，故2m＋n＝8，m＞0，n＞0． ＋＝＋＝＋＋1＝＋＋1＝＋＋1＝＋＋，＋＝(2m＋n)＝≥ ＝，当且仅当＝，2m＋n＝8，即m＝4－4，n＝16－8时等号成立， 故＋＝＋＋≥＋＝． 【答案】D　　 　　　(2) (2025·常州质检)已知x＞0，y＞0，且x2＋3y2＋4xy＝8，则3x＋5y的最小值为_____． 【解析】 　　　　 由x2＋3y2＋4xy＝8，因式分解可得(x＋3y)(x＋y)＝8． 令a＝x＋y，b＝x＋3y，则a＞0，b＞0，ab＝8． 解方程组 此时3x＋5y＝3×＋5×＝＝＝2a＋b≥2＝8，当且仅当2a＝b，ab＝8，即a＝2，b＝4时等号成立， 此时x＝y＝1，所以3x＋5y的最小值为8． 2 8 使用换元法并利用基本不等式求最值，一般有两种类型： (1) 题目是求两个分式的最值问题．分别将两个分式的分母设为两个参数，将已知多项式转化成这两个新参数之间的关系，再对待求目标式作变量代换，最后利用基本不等式求解． (2) 针对ax2＋by2＋cxy＝d(d≠0)，求关于x，y的多项式的最值问题．通过因式分解消交叉项xy，设新元w，z，转化为wz＝d的简洁形式，再用新元表示原变量，代入目标式结合基本不等式求解． 变式2　(1) 若a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝2，则＋的最小值为________. 【解析】 　　　　 由题意，a＞0，b＞0，c＞0，由a＋b＋c＝2，设a＋b＝m，c＝n(m＞0，n＞0)，则m＋n＝2， 故＋＝＋＝＋＝＋－1＝(m＋n)－1＝3＋＋－1≥2＋2＝2＋2，当且仅当m＝n，m＋n＝2，即m＝a＋b＝4－2，n＝c＝2－2时取等号， 故＋的最小值为2＋2． 2＋2 变式2　(2) 已知实数x，y满足x2＋xy－6y2＝5，则x2＋4xy＋8y2的最小值是_____． 【解析】 　　　　 已知x2＋xy－6y2＝5，根据十字相乘法因式分解可得(x＋3y)(x－2y)＝5． 设a＝x＋3y，b＝x－2y，则ab＝5． 由通过解方程组可得x＝，y＝． 将x＝，y＝代入x2＋4xy＋8y2，得x2＋4xy＋8y2＝2＋4×× ＋8×2＝≥×2×2a×b＝ab＝4，当且仅当2a＝b，ab＝5，即a＝，b＝时等号成立． 4 目标 3 多次使用基本不等式 　　　(1) (2025·承德调研)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋＋＋的最小值为___________． 3 【解析】 　　　　 第一次使用基本不等式：因为x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)＝1＋8＋＋≥9＋2＝9＋4，当且仅当＝时等号成立． 第二次使用基本不等式：＋≥2＝2，当且仅当＝时等号成立． 综合结果：将两部分相加，＋＋＋≥9＋4＋2＝9＋6，所以＋＋＋的最小值为9＋6． 9＋6 　　　(2) 已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝1，则＋＋的最小值是_____． 【解析】 　　　　 由于＋＋＝c＋，故考虑先求出＋的最小值， ＋＝＋＝＋＋＋2＝＋＋2≥2＋2＝6， 则＋＋≥6c＋＝6(c－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当＝，a＋b＝1，且6(c－2)＝，即a＝，b＝，c＝3时取等号． 3 24 连续使用基本不等式求最值，变量独立是基础，等号成立条件是关键，这样才能求出多元变量式子的最值． 变式3　已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为 (　　) A．3　 B．4 C．6　 D．9 【解析】 　　　　 第一次使用基本不等式：＋b≥2＝2a，当且仅当＝b，即a＝b时等号成立． 第二次使用基本不等式：＋c≥2b，当且仅当b＝c时等号成立． 第三次使用基本不等式：＋a≥2c，当且仅当c＝a时等号成立． 综合三个不等式：将上述三个不等式相加得＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 因为a＋b＋c＝3，所以＋＋≥a＋b＋c＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 【答案】A　 　　　设a＞0，b＞0，c＞0，已知a2c＋b2c＝1，则min＝______． 4 【解析】 　　　　由a2c＋b2c＝1，得a2＋b2＝．设max＝M，则M≥，M≥，M≥＝a2＋b2≥2ab． 方法一：M3≥××(a2＋b2)≥2，当且仅当a＝b＝2－时取等号． 方法二：3M＝2＋M≥2·＋2ab＝＋＋2ab≥3＝3，当且仅当a＝b＝c＝2－时取等号，所以min＝． 双重最值问题 新视角 变式4　若a＞0，b＞0，c＞0，则max＝______． 【解析】 　　　　 设t＝min，则t≤，t≤，t≤，t≤a＋b2＋c3，故a≤，b2≤，c3≤， 则t≤a＋b2＋c3≤，解得t≤，当且仅当＝＝＝a＋b2＋c3，即a＝b2＝c3＝时取等号． 1．(多选)下列各式的最小值是4的有 (　 　) A．＋　　 B．x2＋1＋ C．2x＋　 D．2＋ 【解析】 　　　　 当ab＜0时，＋＜0，故A错误． 因为x2＋1＞0，所以x2＋1＋≥4，当且仅当x＝±1时等号成立，故B正确． 因为2x＞0，所以2x＋≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故C正确． 设t＝≥，则2＋＝2≥3＞4，故D错误． BC 2．已知正数m，n满足＋＝2，则m＋3n的最小值为 (　　) A．8　 B．7 C．6　 D．5 【解析】 　　　　 因为＋＝2，所以m＋3n＝(m＋3n)＝≥5＋＝8，当且仅当m＝n＝2时取等号． A 3．已知x∈(0，＋∞)，则y＝x＋＋的最小值为 (　　) A．　 B．2 C．2　 D． 【解析】 　　　　由x∈(0，＋∞)，得2x＋1＞1．又y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立． A 4．已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，若3t2－t≤＋恒成立，则实数t的取值范围是 (　　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 　　　　 已知a＞0，b＞0，则＞0，＞0． 因为a＋2b＝2，所以＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，a＋2b＝2，即a＝b＝时等号成立，故＋的最小值为4． 因为3t2－t≤＋恒成立，所以3t2－t≤4，即(3t－4)(t＋1) ≤0，解得－1≤t≤，即t∈． D 5．已知正数a，b满足(a－1)(b－2)＝2，则ab的最小值为 (　　) A．4　 B．6 C．2　 D．8 【解析】 　　　　 因为正数a，b满足(a－1)(b－2)＝2，所以a＝＋1＝＞0，从而b－2＞0， 所以ab＝＝＝＝(b－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当b－2＝，即b＝4时等号成立，所以ab的最小值为8． D 6．若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为 (　　) A．2　 B．2 C．2　 D．4 【解析】 　　　　 因为a＞0，b＞0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝＝b，即a＝b＝时等号成立，所以＋＋b的最小值为2． B 7．设实数x，y满足x2－3xy－4y2＝1，则x2＋4y2的最小值为 (　　) A．　 B． C．　 D．1 【解析】 　　　　 因为x2－3xy－4y2＝1，所以(x－4y)(x＋y)＝1． 令所以 因为mn＝1，所以x2＋4y2＝2＋42＝＋ ＝＝≥＝，当且仅当m＝2n，mn＝1，即时等号成立，所以x2＋4y2的最小值为． 【答案】C 8．已知正数a，b，c满足＋＝1，＋＝1，则c的最大值为 (　　) A．　 B． C．2　 D． 【解析】 　　　　 由题意可得＝1－，a＋b＝(a＋b)＝＋＋2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则∈，进而＝1－∈，即得c∈． B 9．已知a＞－1，b＜2，＋＝，则a－b的最小值为_____． 【解析】 　　　　设a＋1＝x＞0，2－b＝y＞0，则＋＝，a－b＝x＋y－3＝3(x＋y)－3＝ 3－3≥9，当且仅当即x＝y＝6，亦即a＝5，b＝－4时取等号． 9 10．设实数x，y满足x＞，y＞1，则＋的最小值是_____． 【解析】 　　　　 因为x＞，y＞1，所以2x－1＞0，y－1＞0，从而＋4(y－1)≥8x，＋4(2x－1)≥4y，则＋≥8，当且仅当x＝1，y＝2时等号成立，故min＝8． 8 11．若x，y，z均为正实数，且x2＋y2＋z2＝1，则的最小值为__________． 【解析】 　　　　因为x2＋y2＝1－z2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，所以≥． 令t＝z＋1，则t＞0，所以＝＝≥3＋2，当且仅当z＝－1时取等号． 故≥≥3＋2，当且仅当x＝y＝，z＝－1时取等号． 3＋2 12．记min{a，b}为a，b中的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为_______． 【解析】 　　　　 因为x＞0，y＞0，所以t2≤ (2x＋y)＝ ≤ ＝＝2，当且仅当x＝y且2x＋y＝，即x＝y＝时等号成立，从而t≤，所以t的最大值为． $