三角形中的最值问题探究 课件-2026届高三数学二轮复习

专题二 三角形中的最值问题探究 三角函数与解三角形 1 1．(2025·宁德期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＋b2＝c2，则tan A的最大值为 (　　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 　　　　方法一：由2a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，由余弦定理得cos A＝． C 方法二：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝2a2＋b2，所以a＝－2bcos C，即sin A＝－2sin Bcos C，又sin A＝sin(B＋C)，代入可得sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝－2sin Bcos C，化简得tan C＝－3tan B，故tan A＝－tan(B＋C)＝－． 因为cos C＝－＜C＜π，所以0＜B＜ ． 【答案】玉　　 2．(2025·湛江期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝b(C＋sin C)，且a＋c＝4，则b的最小值是 (　　) A．　 B．2 C．2　 D．2 【解析】 　　　　由a＝b(C＋sin C)及正弦定理得sin Bcos C＋sin Bsin C． 因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以Bsin C＝Bsin C＝ sin Bsin C． 因为sin C＞0，所以tan B＝． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3＝4，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以b≥2，即b的最小值为2． 【答案】B　　 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，＋cos A＝2， 则的值为_____，cos B的取值范围为__________． 【解析】 　　　　由 ＝2． 而cos B＝ 时取等号，又B∈(0，π)，所以cos B＜1，故cos B的取值范围为． 2 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h．若h＝a，则的最大值为_____． 【解析】 　　　　若h＝a，则S△ABC＝． 根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2＝a2＋2bccos A，所以， 当A＋取得最大值4． 4 目标 1 与正切相关 　　　(1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，＋＋＝1，则△ABC面积的最大值为 (　　) A．1＋　 B．1＋ C．2　 D．2 1 【解析】 　　　　由，所以sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝sin Asin B，即sin(A＋B)＝－cos(A＋B)． 在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，则有sin C＝cos C，又C∈(0，π)，所以C＝． 由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2abab，当且仅当a＝b时取等号， 而c＝2，所以ab≤． 【答案】A　　 　　　(2)在斜三角形ABC中，若sin A＝cos B，则3tan B＋tan C的最小值为 (　　) A．　 B． C．　 D．4 【解析】 　　　　因为sin A＝cos B＞0，所以B为锐角，sin 2A＝cos 2B，则1－cos 2A＝1－ sin 2B，即cos 2A＝sin 2B，所以，所以tan Atan B＝±1． 当tan Atan B＝1时，cos Acos B－sin A·sin B＝0，即cos(A＋B)＝0，所以A＋B＝，不合题意； 1 当tan Atan B＝－1时，tan(A＋B)＝，所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ＝－时等号成立． 【答案】B　 三角恒等变换经常遇到“弦化切”的转换，并通过“弦化切”构造正切函数之间的方程，或和、或积、或倒数和等关系实现问题减元，进而利用基本不等式或函数单调性求最值是常用策略． 变式1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a不是最大边． 若a2－b2＝2bcsin A，则tan A－9tan B的最小值是_______． 【解析】 　　　　由余弦定理得a2－b2＝c2－2bccos A，则c2－2bccos A＝2bcsin A，即c－2bcos A＝2bsin A， 由正弦定理得sin C－2cos Asin B＝2sin Asin B，则sin Acos B－cos Asin B＝2sin A· sin B，所以tan A－tan B＝2tan Atan B，则． 方法一：tan A－9tan B＝tan A－－5≥－2，当且仅当tan A＝1时取等号． 方法二：tan A－9tan B＝≥ －2，当且仅当tan A＝1时取等号． 【答案】－2　 目标 2 与边的平方相关 　　　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知a＝4，2S＝a2－(b－c)2，则△ABC周长的最大值为__________． 2 【解析】 　　　　因为2S＝a2－(b－c)2，而S＝bcsin A＝a2－(b－c)2，整理得a2＝b2＋c2－bc(2－sin A)． 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得2－sin A＝2cos A． 又因为sin 2A＋cos 2A＝1，A∈(0，π)，所以sin A＝． 又因为a＝4，所以由a2＝b2＋c2－bc(2－sin A)，可得16＝b2＋c2－时等号成立， 所以△ABC的周长a＋b＋c≤4＋4． 【答案】4＋4　 　　　(2)(2025·长沙期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且外接圆半径为R＝5，则的最大值为______． 【解析】 　　　　方法一(正弦定理＋余弦定理＋基本不等式＋三角最值)：设a2＋b2＋2c2＝t，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2abcos C，所以2a2＋2b2－2c2＝4abcos C，所以3(a2＋b2)＝t＋4abcos C． 因为a2＋b2≥2ab，所以t＋4abcos C≥6ab，即ab≤，当且仅当a＝b时取等号． 2 因为外接圆半径为R＝5，所以c＝2Rsin C＝10sin C． 因为C∈(0，π)，所以＞0， 所以． 令sin(C＋φ)，则3|k|≤ ． 方法二(正弦定理＋中线长定理＋基本不等式＋面积法)：如图， 取AB的中点D，连接CD，设CD＝m． 由S＝ 角线的平方和等于四条边的平方和)，得原式＝＝≤＝ ＝sin θ≤，当且仅当 θ＝且c2＝m2，即a＝b且c2＝m2时取等号，所以的最大值为． 方法三(正弦定理＋加权形式的外森比克不等式)：由S＝absin C＝，得＝． 由加权形式的外森比克不等式，得a2＋b2＋2c2≥4S＝4S，所以原式＝≤＝，当且仅当Cot A∶Cot B∶Cot C＝1∶1∶2时取等号，所以的最大值为． 【答案】　 余弦定理与边的平方相关，边的齐次分式可化为正弦函数比值，即在有边的平方的三角函数最值问题中，常利用余弦定理、正弦定理并结合基本不等式求解．此外，借助面积公式将问题转化为三角函数最值也是常用的策略，在特定的情况下还可使用一些二级结论进行求解(如外森比克不等式)． 变式2　(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的三边长，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为_______． 【解析】 　　　　方法一(余弦定理＋基本不等式＋三角最值)：由a2＋b2＋2c2＝8，得a2＋b2＋2(a2＋b2－2ab·cos C)＝8，即3(a2＋b2)＝8＋4abcos C， 又a2＋b2≥2ab，所以8＋4abcos C≥6ab，所以ab≤， 所以S△ABC＝． 令sin(C＋φ)＝3t，所以|3t|≤2． 方法二(三斜求积＋整体代换＋基本不等式)：由a2＋b2＋2c2=8，得a2＋b2=8－2c2， 所以S△ABC=absin C=ab= ≤== ≤××2=，当且仅当a2=b2且c2=4－c2，即c2=，a2=b2=时取等号． 方法三(中线长定理＋基本不等式)：由2(a2＋b2)＝c2＋(2m)2(平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和)，得a2＋b2＝ ． 方法四：(加权形式的外森比克不等式)a2＋b2＋2c2＝8≥4 ． 【答案】　 变式2　(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bcos C＋c＝a，c＝1，则a2＋b2的取值范围为__________． 【解析】 　　　　因为bcos C＋c＝a，所以由正弦定理得2sin Bcos C＋sin C＝2sin A＝2sin(B＋C)＝2sin B·cos C＋2cos Bsin C，整理得2cos Bsin C＝sin C，因为B，C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos B＝． 因为△ABC为锐角三角形，所以． 又因为B＝， 同理b＝＋1， 因为C∈)， 所以a2＋b2＝)上单调递增，则1＜a2＋b2＜7，所以a2＋b2的取值范围为(1，7)． 【答案】(1，7)　 目标 3 与轨迹相关 　　　(1)满足AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值是_______． 3 【解析】 　　　　方法一：设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝， 由余弦定理得cos B＝， 由三角形三边关系得＋2， 故当x＝2． 方法二：以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)(y≠0)，则(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，化简得x2＋y2－6x＋1＝0(y≠0)，即(x－3)2＋y2＝8(y≠0)，圆周上的点到x轴的距离的最大值为2． 【答案】2　 　　　(2)(2025·芜湖二模)(多选)在△ABC中，已知CA＋CB＝10，AB＝8，则此三角形的面积可能为 (　 　) A．e2　 B．10 C．12　 D．15 【解析】 　　　　方法一：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．因为CA＋CB＝10，AB＝8，即a＋b＝10，c＝8，所以cos C＝－1． 3 因为0＜C＜π，所以sin C＝， 故△ABC的面积S＝． 因为ab≤＝12，则此三角形面积的最大值为12． 因为10＞12，15＞12，e2＜12，所以A，C正确． 方法二：以AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则点C在椭圆＝1(y≠0)上，可知当点C为椭圆的上、下顶点时，△ABC的面积最大，为×8×3＝12，所以S△ABC∈(0，12]． 【答案】 AC 当三角形的边角关系满足圆锥曲线定义时，可建立平面直角坐标系，确定三角形顶点轨迹，结合圆锥曲线的方程与性质解决三角形中的某些最值问题． 变式3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若BC＝a＝6，sin B＝sin C，则当△ABC的面积最大时，AC的长为_______． 【解析】 　　　　因为sin B＝c，即c＝2b． 因为BC＝6，不妨令B(－3，0)，C(3，0)，设点A的坐标为A(x，y)(y≠0)，则点A的轨迹方程满足，整理可得(x－5)2＋y2＝16(y≠0)，即点A的轨迹是以(5，0)为圆心，4为半径的圆(与x轴的两交点除外)， 当点A的坐标A(5，4)或A(5，－4)时，△ABC的面积最大，其最大值为S＝． 2 A组　基础必会——过关训练 1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 csin A＝acos C． (1)求角C的大小； 【解答】 　　　　由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C．因为0＜sin A≤1，所以sin C＝cos C，即tan C＝1．又C∈(0，π)，所以C＝． 1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 csin A＝acos C． (2)若c＝2，求△ABC面积的最大值． 【解答】 　　　　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以4＝a2＋b2－时等号成立． S△ABC＝＋1. 2．(2025·黄山一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C． (1)求角A的大小； 【解答】 　　　　由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－ ． 2．(2025·黄山一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C． (2)若a＝1，求b－c的取值范围． 【解答】 　　　　因为a＝1，A＝ ． 因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以sin ， 则2sin )． 3．(2025·武汉一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝ccos B． (1)求角B的大小； 【解答】 　　　　bsin Ccos B．因为B，C∈(0，π)，所以sin C＞0，从而sin B＝B＞0，则有tan B＝． 3．(2025·武汉一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝ccos B． (2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求a的取值范围． 【解答】 　　　　因为△ABC为锐角三角形，所以． 由正弦定理得　∈(2，8)，即a的取值范围是(2，8)． B组　融会贯通——提能训练 4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝，若△ABC最长边的长为，则最短边的长为 (　　) A．1　 B． C．2　 D．3 【解析】 　　　　由A，B∈(0，π)，且0＜tan A＜tan B，可得0＜A＜B＜，所以a＜b． 根据tan(A＋B)＝＝1，可得tan C＝－tan(A＋B)＝－1，结合C∈(0，π)，可知C＝，且a为最短边． 由tan A＝， 由正弦定理得a＝＝2． 【答案】C　　 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan C＝，则的取值范围是 (　　) A．(－3，－2)　 B．(－3，－1) C．(－3，0)　 D．(－3，1) 【解析】 　　　　由tan C＝，所以sin Ccos A＝cos C－sin Acos C，即sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝cos C． 因为A＋C＝π－B，可得sin B＝cos C，所以B＝＋C． 当B＝，可得tan C＝0，不符合题意，舍去； 当B＝的取值范围为(－3，－1)． 【答案】B　 6．(多选)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且(tan A－1)(tan B－1)＝4，则 (　　　) A．C＝　 B．a的取值范围为 C．的最大值为2　 D．sin 2A－cos 2B的取值范围为 【解析】 　　　　 对于A，(tan A－1)(tan B－1)＝4，即3tan Atan B－(tan A＋tan B) ＝3，整理可得＝－，即tan(A＋B)＝－，在△ABC中，tan(A＋B)＝ －tan C，故tan C＝，又△ABC为锐角三角形，所以C＝，故A正确； 对于B，由A可知C＝，可得sin B＝sin(A＋C)＝sin ，由正弦定理＝　，b＝2，得＝，则a＝＝，又A∈，所以sin A≠0，则a＝，由△ABC为锐角三角形可得所以＜A＜，从而tan A∈，则∈(0，3)，所以a∈(1，4)，故B错误； 对于C，由余弦定理cos C＝ ，即a＝b时取得等号，故C正确； 对于D，sin A＝sin(B＋C)＝sin ＝sin B＋B，所以sin2A＝sin2B＋2B＋sin 2B，从而sin2A－cos2B＝sin2B－2B＋sin 2B＝－2B＋sin 2B＝ ，由B可知B∈，所以2B－∈，从而sin ∈ ，所以∈，即sin 2A－cos 2B的取值范围为，故D正确． 【答案】ACD　 7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，则＝_____；若c＝2，则当tan(A－B)取得最大值时，△ABC的面积为______． 【解析】 　　　　 在△ABC中，由acos B－bcos A＝c及正弦定理，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)，因此sin Acos B＝3cos Asin B，所以＝3，且tan A＝3tan B＞0，则tan(A－B)＝＝≤＝ ，当且仅当tan B＝时取等号． 因此当tan B＝，即B＝30°，A＝60°时，tan(A－B)取得最大值，此时C＝90°． 由c＝2，得a＝． 【答案】3　 8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足＝，则△ABC周长的最大值为_______． 【解析】 　　　　 根据正弦定理及外接圆半径R＝1，可得c＝2Rsin C＝2sin C，b＝2Rsin B＝2sin B． 因为tan A＝，tan C＝，所以＝＝，所以sin Acos C＝2sin Bcos A－sin C·cos A，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B＝2sin B· cos A． 因为sin B≠0，所以cos A＝．又A为三角形内角，所以A＝． 又cos A＝＝，且a＝2sin A＝，所以bc＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－3，故 3bc＝(b＋c)2－3≤3×2，所以b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时取等号，故△ABC周长的最大值为3． 【答案】3　 9．在△ABC中，点D在边BC上，AD＝，tan ∠CAB＝，∠DAB＝45°，则△ABC面积的最小值是_______． 【解析】 　　　　 因为tan ∠CAB＝，sin 2∠CAB＋cos 2∠CAB＝1，所以sin∠CAB＝． 因为∠DAB＝45°，所以tan ∠CAD＝tan(∠CAB－∠DAB)＝＝ ＝． 又sin 2∠CAD＋cos 2∠CAD＝1，所以sin∠CAD＝． 由S△ABC＝S△CAD＋S△BAD＝b·sin∠CAD＋c··sin∠DAB　＝bcsin∠CAB，整理得7b＋13c＝12bc，所以7b＋13c＝12bc≥2，解得bc≥，当且仅当c＝，b＝时等号成立，所以S△ABC＝bcsin∠CAB＝bc≥×＝，故△ABC面积的最小值为． 【答案】　 10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan Atan B＝(2tan A－tan B)tan C．若b＝2，则当角B取最大值时，△ABC的面积是_______． 【解析】 　　　　由题知tan Btan C＋tan Atan B＝2tan Atan C，所以． 由sin(C＋A)＝sin B，得sin 2B＝2sin Asin Ccos B．由正弦定理及余弦定理得b2＝2ac·＝a2＋c2－b2，所以a2＋c2＝2b2． 又cos B＝ ，△ABC为等边三角形． 由b＝2，得a＝c＝2，所以△ABC的面积为． 【答案】 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝ ，则角A的大小是______；若BC＝2，则的最大值是___________． 【解析】 　　　　 因为tan A＋tan B＝，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝ ＝，再由正弦定理得tan A＋tan B＝． 又tan A＋tan B＝＋＝＝＝，所以＝． 在△ABC中，sin C＞0，cos B≠0，所以sin A＝cos A，从而tan A＝1．又A∈(0，π)，所以A＝． 由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2cbcos A＝c2＋b2－cb＝4，即c2＋b2＝4＋cb，所以4＋bc≥2bc，即bc≤， 所以＝cbcos A≤×＝2＋2，当且仅当b＝c时等号成立． 【答案】 1．(2025·徐州2月调研)若满足条件C＝，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，则a的取值范围是 (　　) A．(1，)　 B．(，) C．(，2)　 D．(1，2) 【解析】 　　　　根据正弦定理可知． 【答案】C 因为满足条件的△ABC有两个，所以A有两个值，即函数y＝sin x，x∈，a＞0的图象有两个交点． 如图，由图可知，2)． 2．已知锐角三角形ABC的面积为2，A＝，则边AB的取值范围是 (　　) A．(1，2)　 B．(，2) C．(2，4)　 D．(2，4) 【解析】 　　　　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．由题意，在锐角三角形ABC中，A＝． 同理可得． 由题意可得△ABC的面积S＝，则bc＝8． 由正弦定理可得b＝，可得c2∈(4，16)，所以AB＝c∈(2，4)． 【答案】C 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2＝12，A＝，则△ABC面积的最大值为 (　　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 　　　　由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，又a2＋b2＋c2＝12且A＝ ＋6． 又由a2＋b2＋c2＝12，可得b2＋c2＋＝6． 因为b2＋c2≥2bc，所以2bc＋ ． 【答案】B 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高为h，且h＝，则＋＋的最大值是 (　　) A．2　 B．2 C．4　 D．6 【解析】 　　　　 由余弦定理可得b2＋c2＝a2＋2bccos A，则＋＋＝ ＝ ＝＋2cos A，而S△ABC＝bcsin A＝ah＝a2，故a2＝bcsin A，所以＋＋＝＋2cos A＝2sin A＋2cos A＝4sin ≤4，当且仅当A＝时取等号． C 5．(2025·萍乡二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，＋＝3，则△ABC面积的最大值为 (　　) A．3　 B． C．　 D．2 【解析】 　　　　 对＋＝3进行化简，通分可得 ＝ ＝＝＝3，即5－4cos A＝3sin A．又sin 2A＋cos 2A＝1，解得sin A＝，cos A＝． 已知a＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤10，当且仅当b＝c时取等号，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤×10＝3． 【答案】A 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos C＝2ccos A，则的最大值为 (　　) A．　 B． C．　 D．3 【解析】 　　　　 由余弦定理可知cos C＝，cos A＝， 由acos C＝2ccos A可得a·＝2c·，化简可得a2＋b2－c2＝2b2＋2c2－2a2，所以3a2＝b2＋3c2，即a2＝，所以＝＝≤＝，当且仅当＝，即b＝c时等号成立，所以的最大值为． 【答案】C 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，则△ABC面积的最大值是______． 【解析】 　　　　以线段AC的中点O为坐标原点，以边AC所在直线为x轴，以线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3，0)，C(3，0)．设B(x，y)． 由a＝2c得，化简并整理得(x＋5)2＋y2＝16，即△ABC的顶点B在圆(x＋5)2＋y2＝16(y≠0)上运动． 易知△ABC的面积S＝×6×|yC|＝3|yC|≤12，当x＝－5，y＝±4时取等号，所以△ABC面积的最大值为12． 12 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3－cos A)sin B＝sin A(1＋cos B)，a＋c＝6，则△ABC面积的最大值为_______． 【解析】 　　　　由题知3sin B＝sin A＋sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin A＋sin(B＋A)＝sin A＋sin C，由正弦定理得3b＝a＋c，由于a＋c＝6，所以b＝2． 以线段AC的中点O为坐标原点，以边AC所在直线为x轴，以线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．因为a＋c＝6，由椭圆定义可知点B在以A(－1，0)，C(1，0)为焦点的椭圆 ． 2 9．记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C＝－，则角B的取值范围是______． 【解析】 　　　　因为2cos C＝ c2． 在锐角三角形ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝＝＝． 因为即2a2＞c2，所以＜，从而cos B＝＜×＝，所以B∈． 【答案】 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状为______________． 【解析】 　　　　 方法一：由a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)＝2absin C，得a2＋b2＝2absin ，由于2ab≤a2＋b2＝2absin ≤2ab，故只能a＝b且C＝，所以△ABC的形状为等边三角形． 方法二：(外森比克不等式)2absin C＝a2＋b2＋c2≥4S＝4×absin C，只能取等号，当且仅当a＝b＝c时取等号，所以△ABC的形状为等边三角形． 等边三角形 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若AC边上的高为b，则的最大值为_______． 【解析】 　　　　由三角形面积公式得S△ABC＝b2，即b2＝3acsin B． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，所以3acsin B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，整理可得sin(B＋φ)＋2≤＋2，其中φ为锐角，且tan φ＝． 因为0＜B＜π，所以φ＜B＋φ＜π＋φ，故当B＋φ＝，即B＝－φ时，取最大值＋2，此时tan B＝tan ＝＝＝＝，故的最大值为2＋． 【答案】2＋ 12．(2025·德州下学期开学考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2＝2a2－2b2，则A－B的最大值为______． 【解析】 　　　　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，两式相减得2(a2－b2)＝2c(acos B－bcos A)． 因为c2＝2a2－2b2，所以c＝2(acos B－bcos A)，由正弦定理得sin C＝2(sin A·cos B－sin Bcos A)，即sin(A＋B)＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，则sin Acos B＝3cos Asin B． 因为在△ABC中，cos A，cos B不同时为0，sin A＞0，sin B＞0，所以cos A≠0，cos B≠0，从而tan A＝3tan B． 又c2＝2a2－2b2＞0，所以a＞b，则A＞B，故0＜B＜，则tan B＞0，所以tan(A－B)＝＝＝≤＝，当且仅当＝3tan B，即tan B＝时等号成立． 又0＜A－B＜π，所以A－B≤，即A－B的最大值为． 【答案】 $