湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期6月质量检测数学试卷

**基本信息** 襄阳四中高二6月数学质检卷以导数、概率统计、排列组合为核心，通过猜拳游戏（第8题）、细胞分裂（第19题）等真实情境，考查数学思维与应用意识，层次分明且贴近高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数极值（3）、正态分布（4）|基础概念与图像分析结合| |多选题|3/18|二项式定理（9）、函数零点（10）|多维度辨析与逻辑推理| |填空题|3/15|切线倾斜角（12）、条件概率（14）|抽象问题具体化| |解答题|5/77|概率统计对比（16）、细胞分裂期望（19）|实际问题建模与综合应用|

襄阳四中2024级高二年级6月质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知下列四个命题，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（    ）种 A．24 B．64 C．16 D．81 3．已知的图象如图所示，其中是的导函数，则下列关于函数说法 正确的是（    ） A．有2个极大值点，3个极小值点 B．因为有四个根，故函数有四个极值点 C．仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点 D．没有极值 4．袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则， ，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 5．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有（    ）种不同的着色方法 A．120 B．180 C．221 D．300 6．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方 盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．A和B进行了10次猜拳游戏，A出了3次石头， 6次剪刀和1次布， B出了2次石头， 4次剪刀和4次布，已知2人从未出现平局,则A赢了（   ）次． A．7 B．5 C．3 D．1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．的展开式中的系数是30 C．在的展开式中，含的项的系数是220 D．的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大 10．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．函数在区间单调递增 B．函数在上有两个零点 C．若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为 D．关于的不等式在上恰有两个整数解，则实数的取值范围为 11．下列表述正确的是（   ） A．在集合中，被除余的元素共有100个 B．由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成1420个比5000000大且没有重复数字的正整数 C．在孟德尔豌豆试验中，子二代基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因型为的概率为 D．正整数2160的所有正因数的和是7440. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知曲线上一点，则在点P处的切线的倾斜角为________． 13．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 14．现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．给定函数. (1)讨论函数的单调性，并求出的极值； (2)讨论方程解的个数. 16．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和期望（分布列用公式法表示）； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 17．已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 18．已知函数的图象在点处的切线方程为. （I）用表示出； （II）若在上恒成立，求的取值范围； （III）证明： 19.一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. (1)若， （i）求随机变量的分布列和期望（分布列用表格表示）; （ii）求事件 “” 的概率; (2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 参考答案 一、单选题： ADCCB BCA 7．【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则，因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根，即直线与图像有两个交点，，.得在单调递增，在单调递减，，，时，时，据此可得大致图像如下，由图像得． 8.解析：A出了3次石头，6次剪刀和1次布，B出了2次石头，4次剪刀和4次布。由于没有出现平局，所以A的6次剪刀，对应B的2次石头和4次布，所以这6局中，A赢了4次。另外A的3次石头和1次布对应B的4次剪刀，所以这4局中，A赢了3次。所以A一共赢7次。所以选A 二、多选题： AD AD ACD 9．【详解】对于A，由于，所以或，解得或，故A错误； 对于B, 的展开式通项为， 令，即，所以的系数为，故B正确； 对于C，的展开式中，含的项的系数是 ，故C正确； 对于D，的展开式中，第4项和第5项的二项式系数为，由组合数的性质可知最大且，故D错误.故选：AD 10．【详解】对于A：当时，， 恒成立，在单调递增；当时，， 恒成立，当且仅当时取等号， 所以在单调递增，综上，在区间单调递增，A正确； 对于B：由可得，即在上只有一个零点，B错误； 对于C：因式分解得，即或， 因为当时，，恒成立，单调递增， 又时，，时，，所以时，且单调递减； 当时，，若，，单调递增， 若，，单调递减，又，时，， 所以时，先增后减，当时取得极大值， 综上，的图象如图所示，显然与函数有3个交点，则若方程有6个不相等的实数根， 则与函数有3个交点，所以或，C错误； 对于D：时，，不等式即，化简得， 令，则整数解为，时，，时，，时，，要使不等式恰好有两个整数解，即满足，不满足，则， 解得，即实数的取值范围是，D正确. 11．【详解】对于A，因为集合中，被除余的元素有，，，…，， 这些元素构成以为首项，以为公差的等差数列，设共有个数，则，解得，故这些元素共有个.A正确 对于B，若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数，故B错误. 对于C：记事件：子三代中基因型为，因父本中含时子三代为的概率为0，故父本基因选择如下：记事件：选择的是、，记事件：选择的是、，记事件：选择的是、， 则，，， 在子二代中任取2株豌豆杂交，分以下三种情况讨论： 若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；， 若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；， 若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为． 综上， .因此，子三代中基因型为的概率是．故C正确 对于D，由题意，，则2160的正因数， 因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；所以2160有个不同的正因数，.式子的展开式就是40个正因数之和．所以，正因数之和为.即2160所有正因数的和是.所以D正确。 三、填空题： 12．45° 13. 14. 14．【详解】设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，， ，，所以， 所以 .令，解得.所以第1个袋子：1红4白；第2个袋子：2红3白；第3个袋子：3红2白；第4个袋子：4红1白； 第5个袋子：5红.设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. . .所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 四、解答题： 15．【详解】（1）函数的定义域为.. 令，解得 ， ，的变化情况如表所示. -3 - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当时，有极小值，无极大值-------6分 （2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 令，解得.当时，；当时，. 又由（1）可知，在时有唯一极小值，也是最小值. 所以，的图象经过特殊点，， . 且当时，有； 当时，有.如图，作出函数的图象 由图象可得， 当时，与的图象没有交点，所以方程的解为0个； 当或时，与的图象只有一个交点，所以方程的解为1个； 当时，与的图象有两个交点，所以方程的解为2个.--13分 16．【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为：，，1，2，…，20． .---4分 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为： ，，1，2，…，20．.---8分 （2） 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据参考数据 k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 计算得 有放回摸球：． 不放回摸球：．.---12分 ∵ 0.7988>0.7469，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.1的概率更大 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数.因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．---15分 17．【详解】（1）的定义域为，， 函数是减函数，故在上恒成立，即在上恒成立， 令，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，且，故，解得，故的取值范围是；---------7分 （2）若有两个零点，则，得． ，令，则，故， 则，， 令，则，令，则，在上单调递增，，，则在上单调递增， ，即，故.---15分 18.【详解】（I），，； 又，；---3分 （II）由（I）得：； 令，则在上恒成立； ， 令，解得：，； （1）当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； （2）当，即时， 若，则，则在上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述：的取值范围为；------8分 （III)先证左边：由（II）知：当时，在上恒成立， 那么当时，在上恒成立； 令依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， .左边得证。----13分 再证右边：方法一 令，，所以所以， 所以，所以 所以 即，所以右边得证。-----17分 方法二：利用飘带不等式同样给分，(先证明） 对左边赋值得到：，下同方法一 -------17分 19、【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 --3分 的数学期望为--------4分 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而，-----7分 因此， 所以事件 “” 的概率为. ---------9分 （2）在的条件下，的可能取值为， 因此 ，--------13分 （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，-----16分 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为.----17分 襄阳四中2024级高二年级6月质量检测数学试卷 第3页（共4页） 襄阳四中2024级高二年级6月质量检测数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $