专题02 公式法重难点题型专训（4个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题02 公式法重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用 拓展训练二 因式分解的新定义运算 拓展训练三 因式分解的规律计算 拓展训练四 因式分解的综合应用 知识点一： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏常州·月考）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．对等式左边进行分组分解，前两项用平方差公式进行因式分解，然后两组提取公因式 ，从而求出 ． 【详解】解： ， 与右边 比较，可得： ． 故答案为：． 知识点二： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）对多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是关键．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先对代数式进行化简，然后再根据十字相乘法可进行因式分解 【详解】解：原式 ； 故答案为： ． 知识点三： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江苏扬州·周测）利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【答案】D 【分析】使用平方差公式对 进行因式分解，找出其因子． 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵ 又 ∵ ∴ ∴ 能够被 64 整除． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）请你写一个既要用提公因式法，又要用公式法进行因式分解的多项式，你写的多项式是______，分解的结果是______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．先提取公因式，再使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：多项式可以是， 故答案为：，（答案不唯一）． 知识点四： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西河池·开学考试）将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）（1）分式的分子、分母的最大公因数是_______，各相同字母的最低次幂的积是_______，所以公因式是_______，约分后为_______； （2）分式的分子分解因式为_______，分母分解因式为_______，所以公因式为_______，约分后为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． （1）找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可； （2）先用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）分式的分子、分母的最大公因数是，相同字母的最低次幂是，所以公因式是，约分后为； 故答案为：，，，； （2）分式的分子分解因式为，分母分解因式为，所以公因式为，约分后为． 故答案为：，，，． 【经典例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（25-26八年级下·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【经典例题二 平方差公式分解因式】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用平方差公式进行因式分解．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，检查各选项是否可表示为两个平方的差． 【详解】解：平方差公式为． 选项A、，为两数平方和，无法用平方差公式分解； 选项B、，为两数平方差，可以用平方差公式分解因式； 选项C、，为平方和的相反数，无法用平方差公式分解； 选项D、，不是两数平方差，无法用平方差公式分解． 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）已知，，则计算的结果为_________． 【答案】6 【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 1．（25-26八年级上·广东东莞·期末）小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，因式分解的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方差公式的应用条件，需为平方项，且为不大于5的正整数，故可能为2或4，对应两种分解结果． 【详解】解：因为是不大于5的正整数，且能利用平方差公式分解因式， 所以必须为平方项， 即为偶数， 因为他只知道该指数为不大于5的正整数， 所以可能值为2或4， 当时，， 当时，． 选项D包含这两种结果， 故选：D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是________． 【答案】20 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 根据智慧优数的定义，枚举满足条件的平方差，从小到大排列并去重，找到第5个数，即可解题． 【详解】解：、为正整数且． 则当，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； …．将所得数从小到大排列并去重，得序列：，，，，，…， 故第5个智慧优数为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①；②；③． (1)请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________；⑤__________； (2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； (3)试证明（2）中的规律的正确性． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知式子得到规律； （2）将规律进行总结即可； （3）由平方差公式因式分解即可证明． 【详解】（1）解：由已知式子可得④；⑤； （2）解：由已知式子可得规律为； （3）证明： ． 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐个判断每个多项式因式分解时是否用到完全平方公式即可解答． 【详解】解：①，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ②，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ③，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ④，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ⑤，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ⑥，提公因式后用到完全平方公式，因式分解用到完全平方公式； 综上，用到完全平方公式的共有个，即选项B符合题意． 【点睛】掌握完全平方公式为是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）二次三项式的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了通过完全平方公式因式分解求二次三项式的最值，偶次方的非负性，通过配方将原式化为完全平方形式，利用平方的非负性求最小值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，完全平方公式为 ，正确运用完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行分析判断即可求解． 【详解】解：对于 ： ∵ ， ∴ 能用完全平方公式分解； 对于 ： ∵ 该多项式含负号项 ，不符合 的形式， ∴ 不能用完全平方公式分解； 对于 ： 设 ，则原式为 ， ∵ ， ∴ 能用完全平方公式分解； 综上，有两个多项式能用完全平方公式分解， 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 【答案】 小 5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式可把所求式子变形为，再仿照题意求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0，当时，取得最小值0， ∴当时，和能同时取值最小值0， ∴的最小值为5， 故答案为：小；5． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （2）设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． 【详解】（1）解：不彻底，设， 原式 ； （2）设， 原式 ． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 2．（24-25八年级上·河北衡水·期末）阅读题：分解因式： 解：原式， ， ， ， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法的应用以及实属范围内分解因式，首先将原式配方，进而利用平方差公式分解因式即可，正确配方是解题关键． 【详解】解： 故答案为： 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【答案】(1)，； (2)； (3)当时，有最小值，最小值为； (4)，大，． 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式的应用． （1）根据完全平方公式、平方差公式作答即可； （2）仿照例1作答即可； （3）仿照例2作答即可； （4）仿照例2作答即可． 【详解】（1）解：例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． ， ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：，大，． 【经典例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例1】（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，通过提取公因式后，再对进行因式分解，得到完全分解形式即可． 【详解】解： 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·北京大兴·开学考试）因式分解： ①______． ②______． ③_____． ④_____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用公式法继续分解，直至多项式不能再分解为止． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； ， ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上可知：， 故选：． 2．（2025·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码__________． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解并作答即可． 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）下面是嘉淇同学把多项式因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得， 提取公因式，得， 逆用积的乘方公式，得， 运用平方差公式因式分解，得． (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原因是 ． (2)请给出这个问题的正确解法． 【答案】(1)公因式没有提取完 (2) 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和平方差公式，掌握因式分解时先提取完整的公因式，再用公式分解的原则是解题的关键． （1）检查嘉淇的步骤，发现他提取的公因式仅为，而系数和的最大公约数是，因此公因式没有提取完整； （2）先提取完整的公因式，再对剩余的用平方差公式分解． 【详解】（1）解：公因式没有提取完． 嘉淇只提取了公因式，但系数和的最大公约数是，完整的公因式应为，因此公因式没有提取完． （2）解：原式 ． 【经典例题六 十字相乘法】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法. 【例2】（25-26八年级下·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把看做一个整体，先把原式变形为，进而分解因式得到，再证明，从而得到，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 【经典例题七 分组分解法】 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则___________． 【答案】24 【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab，然后即可得到ab的值，再将ab的积分解为两个质数的积，即可得到a、b的值，然后作和即可． 【详解】解：由题意可得， 567567÷7÷567=ab， 解得ab=143， ∵143=11×13， ∴a=11，b=13或a=13，b=11， ∴a+b=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值． 1．（2026八年级下·江苏扬州·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解． 利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 3．（24-25八年级下·北京昌平·期末）观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)写出第4个等式：_______； (2)用含n的等式表示你的猜想并证明； (3)计算： =_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过观察可得第4个式子； （2）通过观察可得第n个式子，根据完全平分公式进行换算即可证明答案； （3）利用规律逆向计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：猜想用含n的等式表示为：， 证明： ， 故用含n的等式表示为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． 【拓展训练二 因式分解的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论： ①； ②； ③若是一个完全平方数（即，是正整数），则； ④若是一个完全立方数（即，是正整数），则． 正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据新定义：正整数的最佳分解逐一判断即可. 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故② 错误； 若是一个完全平方数（即，是正整数），且，则，故③正确； 若是一个完全立方数（即，是正整数），且，则，故④正确． 综上，正确的有3个； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的应用，读懂新运算，正确理解正整数的最佳分解是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy． （1）计算x☆（x2﹣1）； （2）将x☆16的结果因式分解． 【答案】（1）x；（2）x（x＋4）（x﹣4） 【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义化简，分解即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得： 原式＝x3﹣x（x2﹣1） ＝x3﹣x3＋x ＝x； （2）根据题中的新定义得： 原式＝x3﹣16x ＝x（x2﹣16） ＝x（x＋4）（x﹣4）． 【点睛】此题考查了整式的混合运算及提公因式和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）关于任意实数，存在一种新运算“”，有如下结果： ； ； ； ． 按你发现的规律探索： (1) __________．(用a，b的代数式表示)． (2)当成立时，求a，b满足的关系式． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据前面几个式子得到规律； （2）由题意得，即，即可得到． 【详解】（1）解：∵； ； ； ． ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得， ∴，即， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了数字类规律探究、整式的运算，因式分解的应用，找到规律是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 【答案】(1)110；990 (2)见解析 【分析】此题考查了利用分解因式的应用． （1）按照题意写出最小的“和谐数”与最大的“和谐数”即可； （2）可设“和谐数”为，则有，再通过计算即可． 【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c， 由题意，得， 要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1， b最小是， 此时c最小是0， 所以最小的“和谐数”时110； 最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9， 十位上b最大是9， 此时， 所以最大的“和谐数”是990． 由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990； 故答案为：110；990； （2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c）， 由题意，得， ∴“和谐数”为，则有： ， ∵a，b是整数， ∴是整数， ∴任意“和谐数”一定能被11整除． 【拓展训练三 因式分解的规律计算】 【例1】（2025·广西玉林·模拟预测）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可． 【详解】解：由图可得到： 则：， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）找规律：，，…根据上面的规律：当n为正整数时，得____． 【答案】 【分析】根据已知等式，探索出运算规律，即可求出结论． 【详解】解：， ， …… ∴ = 故答案为：． 【点睛】此题考查的是因式分解的探索规律题，找出运算规律并归纳公式是解题关键． 1．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（    ） A．83 B．104 C．70 D．99 【答案】A 【分析】设第n个图形中有an颗黑色棋子（n为正整数），根据各图形中黑色棋子数的变化可找出变化规律“ann（n+1）﹣1（n为正整数）”，再代入n＝7即可求出结论． 【详解】解：设第n个图形中有an颗黑色棋子（n为正整数）， ∵a1＝2×1＝2，a2＝3×3﹣1＝8，a3＝4×5﹣1﹣2＝17，a4＝5×7﹣1﹣2﹣3＝29，…， ∴an＝（n+1）（2n﹣1）﹣1﹣2﹣…﹣（n﹣1）＝（n+1）（2n﹣1）n（n+1）﹣1（n为正整数）， ∴a77×（7+1）﹣1＝83． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中黑色棋子数的变化，找出变化规律“ann（n+1）﹣1（n为正整数）”是解题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式__________． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：． 3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）小明通过观察下列式子：①；②；③；④，发现了含相同字母且字母系数为1的两个一次二项式的积的规律． (1)上述规律可总结为：________； (2)我们知道整式乘法与因式分解是方向相反的两种运算，那么通过（1）中得到的规律分解因式： ①， ②； (3)若可分解为两个一次二项式的积，请直接写出整数p的所有可能值． 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据给出的例子，总结规律，即可求解； （2）根据发现的规律，运用规律即可求解； （3）根据发现的规律，运用规律即可求解． 【详解】（1） 故答案为： （2）①∵，， ∴． ②∵，， ∴ （3）当时， 当时， 当时， 当时， 整数p的所有可能值是， 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目给出的例子，发现总结并运用规律． 【拓展训练四 因式分解的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知二次三项式可分解为两个一次因式的积，下面说法错误的是（   ） A．若，，则，同取正号； B．若，，则，同取负号； C．若，则，异号，正的那个数的绝对值小于负的数绝对值； D．若，则，异号，且负的一个数的绝对值较大． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的意义以及有理数的加法法则．利用多项式乘法与因式分解的互逆关系，得到系数、，再结合有理数运算法则分析各选项正误即可解答． 【详解】解：， ，， 选项：，、同号，又，，故、同取正号，正确； 选项：，、同号，又，，故、同取负号，正确； 选项：，、异号，又，正的那个数的绝对值大于负的数绝对值，错误； 选项：，、异号，又，负数的绝对值大于正数的绝对值，正确； 故选：． 【例2】（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）在现代生活中，人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码______． 【答案】131619 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，首先对多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到因式分解形式．然后代入，计算各因式的值，最后将这些值从小到大排列形成密码． 【详解】解：， 当，时，， ∵， ∴用上述方法产生的密码为， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【答案】(1)是的一个因式 (2) 【分析】本题考查了整式的除法． (1)根据当时，的值为，可得是M的一个因式； (2)根据能整除，可知是的一个因式，所以当时，可得：，解方程求出的值． 【详解】（1）解：当时，的值为， 多项式中含有因式， 是M的一个因式； （2）解：能整除， 是的一个因式， 时， 可得：， ． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 【答案】浇制一节这样的管道需要的混凝土 【分析】用两个圆柱的体积之差来表示即可． 【详解】解：由题意，得． 故浇制一节这样的管道需要的混凝土. 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，利用因式分解可使运算简便． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为 和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数 可表示为：，若 能被 3 整除，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． （2）证明：设两个连续偶数为 和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3）解：四位数 可表示为： 其中 是 3 的倍数； 若 能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此 能被 3 整除． A基础训练 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建泉州·月考）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·河北唐山·月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖南永州·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， 当x取12，y取14时，，，， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴ 密码为26212， 故选C． B 提高训练 6．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）分解因式：（1）ax+ay＝_____；（2）＝_____；（3）＝_____． 【答案】 【分析】（1）利用提取公因式进行分解因式即可； （2）利用完全平方公式法分解因式； （3）利用平方差公式法分解因式． 【详解】解：（1）ax+ay＝； （2）； （3）． 故答案为: ;;． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 8．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式：________ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当______时，这个长方形的周长最长为______． 【答案】 13或7 【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答． 【详解】解：当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 即或7时，这个长方形的周长最长为． 故答案为：13或7；． C 培优训练 11．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握基本的因式分解方法是关键； （1）提取公因式即可； （2）利用平方差公式公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东德州·月考）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解-分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系． （1）原式前两项与第四项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可； （2）原式两项两项结合后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； ， ， ， ∴原式． 13．（25-26八年级上·山东泰安·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解． 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确运用分组分解法进行因式分解． （1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ． 14．（25-26八年级上·四川广元·期末）先阅读下列题目的解答过程，然后解答后面的问题． 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则____________； (2)已知是多项式的一个因式，求的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2)， 【分析】本题考查了解三元一次方程组，待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）解：设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 15．（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 公式法重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用 拓展训练二 因式分解的新定义运算 拓展训练三 因式分解的规律计算 拓展训练四 因式分解的综合应用 知识点一： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏常州·月考）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若，则_____． 知识点二： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）对多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解：________． 知识点三： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江苏扬州·周测）利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）请你写一个既要用提公因式法，又要用公式法进行因式分解的多项式，你写的多项式是______，分解的结果是______．（写出一个即可） 知识点四： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西河池·开学考试）将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）（1）分式的分子、分母的最大公因数是_______，各相同字母的最低次幂的积是_______，所以公因式是_______，约分后为_______； （2）分式的分子分解因式为_______，分母分解因式为_______，所以公因式为_______，约分后为_______． 【经典例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（25-26八年级下·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【经典例题二 平方差公式分解因式】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）已知，，则计算的结果为_________． 1．（25-26八年级上·广东东莞·期末）小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是________． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①；②；③． (1)请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________；⑤__________； (2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； (3)试证明（2）中的规律的正确性． 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）二次三项式的最小值是______． 1．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 2．（24-25八年级上·河北衡水·期末）阅读题：分解因式： 解：原式， ， ， ， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：______． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【经典例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例1】（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·北京大兴·开学考试）因式分解： ①______． ②______． ③_____． ④_____． 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码__________． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）下面是嘉淇同学把多项式因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得， 提取公因式，得， 逆用积的乘方公式，得， 运用平方差公式因式分解，得． (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原因是 ． (2)请给出这个问题的正确解法． 【经典例题六 十字相乘法】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【例2】（25-26八年级下·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____． 3．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【经典例题七 分组分解法】 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则___________． 1．（2026八年级下·江苏扬州·专题练习）计算：． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 3．（24-25八年级下·北京昌平·期末）观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)写出第4个等式：_______； (2)用含n的等式表示你的猜想并证明； (3)计算： =_______． 【拓展训练二 因式分解的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论： ①； ②； ③若是一个完全平方数（即，是正整数），则； ④若是一个完全立方数（即，是正整数），则． 正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy． （1）计算x☆（x2﹣1）； （2）将x☆16的结果因式分解． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）关于任意实数，存在一种新运算“”，有如下结果： ； ； ； ． 按你发现的规律探索： (1) __________．(用a，b的代数式表示)． (2)当成立时，求a，b满足的关系式． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 【拓展训练三 因式分解的规律计算】 【例1】（2025·广西玉林·模拟预测）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期末）找规律：，，…根据上面的规律：当n为正整数时，得____． 1．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（    ） A．83 B．104 C．70 D．99 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式__________． 3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）小明通过观察下列式子：①；②；③；④，发现了含相同字母且字母系数为1的两个一次二项式的积的规律． (1)上述规律可总结为：________； (2)我们知道整式乘法与因式分解是方向相反的两种运算，那么通过（1）中得到的规律分解因式： ①， ②； (3)若可分解为两个一次二项式的积，请直接写出整数p的所有可能值． 【拓展训练四 因式分解的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知二次三项式可分解为两个一次因式的积，下面说法错误的是（   ） A．若，，则，同取正号； B．若，，则，同取负号； C．若，则，异号，正的那个数的绝对值小于负的数绝对值； D．若，则，异号，且负的一个数的绝对值较大． 【例2】（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）在现代生活中，人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码______． 1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． A基础训练 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·月考）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 3．（24-25八年级下·河北唐山·月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 4．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26八年级上·湖南永州·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 B 提高训练 6．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果，那么括号内的整式是_____． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）分解因式：（1）ax+ay＝_____；（2）＝_____；（3）＝_____． 8．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 9．（24-25八年级下·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式：________ 10．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当______时，这个长方形的周长最长为______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）因式分解： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·山东德州·月考）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 13．（25-26八年级上·山东泰安·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解． 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解． 14．（25-26八年级上·四川广元·期末）先阅读下列题目的解答过程，然后解答后面的问题． 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则____________； (2)已知是多项式的一个因式，求的值，并将该多项式分解因式． 15．（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 学科网（北京）股份有限公司 $