精品解析：上海市松江区2025-2026学年高三总复习阶段模拟数学练习

松江区2025学年高三总复习阶段模拟练习 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2026.04 学生注意： 1.本练习设练习卷和答题纸两部分，练习卷包括题目与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在练习卷上一律不得分. 2.答题前，务必在答题纸上填写学校､班级､姓名和学生编号. 3.答题纸与练习卷在题目编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分） 1. 已知集合，，则等于________． 2. 不等式的解集为__________. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 4. 已知抛物线的准线恰好平分圆的周长，则该抛物线的焦点坐标为__________. 5. 若都是单位向量， ，则向量与的夹角大小为__________. 6. 已知等比数列的前 项和为，且.若，则 ___________. 7. 已知函数为奇函数，则的值为__________. 8. 若，则__________. 9. 已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 10. 在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，异面直线与BD的夹角为，则__________. 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC，在边BC上设置一个观景点D，点D到顶点C的距离为2百米，AD平分，边AB和AD的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为__________百米. 12. 记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 15. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 16. 已知数列满足（n为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. 两个都是真命题 D. 两个都是假命题 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形， 平面 平面 ，点G为线段AF的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知函数的表达式为. （1）若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； （2）若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 19. 质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： （1）写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； （2）在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； （3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中 近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 20. 已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线 与椭圆 交于两点. （1）求椭圆 的离心率； （2）设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； （3）若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 21. 若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. （1）判断函数 是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； （2）若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； （3）若函数为在上的绝对值上界函数，实数 满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江区2025学年高三总复习阶段模拟练习 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2026.04 学生注意： 1.本练习设练习卷和答题纸两部分，练习卷包括题目与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在练习卷上一律不得分. 2.答题前，务必在答题纸上填写学校､班级､姓名和学生编号. 3.答题纸与练习卷在题目编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分） 1. 已知集合，，则等于________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【详解】，解得， 所以不等式的解集为. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，进而得到答案. 【详解】由复数满足，可得， 则，所以. 4. 已知抛物线的准线恰好平分圆的周长，则该抛物线的焦点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线经过圆心求出值，进而求出抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的准线恰好平分圆的周长， 即直线经过圆心，所以. 解得，所以抛物线方程为. 所以该抛物线的焦点坐标为. 5. 若都是单位向量， ，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【解析】 【详解】都是单位向量，故，且 ， 设夹角为 ，， ， ， ， 又，故. 6. 已知等比数列的前 项和为，且.若，则 ___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意列方程求出等比数列的公比，再根据前n项和求解，即得答案. 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，则， 由得，解得， 故答案为：4 7. 已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到 ，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得 ，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当 时，函数， 当时，，， 当时，，，且 ， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 8. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】将原式左右两侧同时求导，得， 令 ，则. 9. 已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 10. 在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，异面直线与BD的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将已知条件进行转化，进而求出. 【详解】在四棱柱中，. 则. 根据向量乘法分配律展开可得： . 因为，所以. 已知，即. 又已知异面直线与的夹角为，且， 设与的夹角为 ，则. 根据向量点积公式，可得， 即，解得. 因为，根据向量模长公式可得 . 将代入上式可得. 所以. 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC，在边BC上设置一个观景点D，点D到顶点C的距离为2百米，AD平分，边AB和AD的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为__________百米. 【答案】 【解析】 【分析】设，由角平分线定理以及列方程组求解即可. 【详解】设， 由角平分线定理得，，即，得， 因为， 所以 ， 得，则，则， 得，， 则该灯带的长度为. 12. 记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为 的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让 最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 14. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断BCD. 【详解】对于A，，，A，B不独立，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D错误. 15. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】等价转化为的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合对勾函数的性质分析性质，即可得. 【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为， 旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应， 由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数）， 当时，在，上都单调递增，且值域都为R， 此时与恒有两个交点，不合题意； 当时，在，上都单调递增，值域分别为，， 此时与至多有一个交点，符合题意； 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时与的交点可能有个，不合题意， 综上. 16. 已知数列满足（n为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. 两个都是真命题 D. 两个都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定与的等式关系，结合不等式的性质由确定的范围，从而得的取值范围即可判断①；确定的等式关系求解一元高次方程的根从而得的所有可能取值，即可判断②. 【详解】因为，所以，则（n为正整数）， 对于①因为，若，则，解得或（舍）， 又，则，解得或，故①是假命题； ②因为，，所以， 若，则，整理得， 解得，则的所有可能取值的个数是4个，故②是真命题. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形， 平面 平面 ，点G为线段AF的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接与，相交于点，连接 ，， 因为菱形 ，所以点是的中点， 所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又 ， ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又 平面 ，平面 ， 所以 平面 ， 因为 ， 、 平面 ， 所以平面 平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接与，相交于点，连接 ，，分别证明 ， ，再由面面平行判定定理即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定直线BC的方向向量与平面BDG的法向量，根据线面夹角的坐标运算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点 ，连接， 因为 ，四边形 是菱形， 所以是等边三角形，则 ， 则建立以为原点，以、 、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系 ，如图所示： 则 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则，取，则， ，所以 ， 所以 ， 直线与平面 所成角的正弦值为． 18. 已知函数的表达式为. （1）若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； （2）若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解； （2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范围. 【小问1详解】 由， 当函数右移个单位得，则 ， 由关于对称，可得： ， 整理得：，又，取得最小正数， 即的最小值为； 【小问2详解】 由（1）可得：， 当，令， 再由的零点满足：或，， 再由的极值点为，， 若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点， 则， 即所求实数m的取值范围. 19. 质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： （1）写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； （2）在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； （3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中 近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积和等于列出关于 的方程，进而求出 的值，再根据频率分布直方图中甲、乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小. （2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于的概率，然后求出恰有1桶食用油指标位于的概率. （3）先根据频率分布直方图求出，然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于的概率，最后根据二项分布的期望公式 计算 的数学期望. 【小问1详解】 由题意，解得. 由频率分布直方图可得. 【小问2详解】 记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . 【小问3详解】 由题意. ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ， 20. 已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线 与椭圆 交于两点. （1）求椭圆 的离心率； （2）设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； （3）若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）0 （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数，即可求离心率； （2）设直线，，联立椭圆方程并应用韦达定理，代入化简即可得； （3）由题设 为 的外心，由，从而有，得，设出三角形外接圆的方程，联立整理得一元二次方程，其与（2）中方程同解得到等比例关系求得，进而确定 坐标并求得，即可得结论. 【小问1详解】 由题设，则，离心率为； 【小问2详解】 由（1）知，，即 ， 设直线，， 联立得，则， ， ， 所以； 【小问3详解】 由，则 为 的外心， 由，根据对称性知，则， 设过的圆为， 过得，， 联立圆与直线，整理得， 上述方程与有同解， 所以，可得， 外心，则， 所以为定值. 21. 若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. （1）判断函数 是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； （2）若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； （3）若函数为在上的绝对值上界函数，实数 满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 【答案】（1）在 上， ，设 ，求导得 ， 当 时， ，故 ，故在 上单调递增，因此， 即 ，满足定义，所以 是 在该区间上的绝对值上界函数. （2） 成立， 等价于 和 同时成立， 设 ， ，由题设可知 即 ， 由此可得 ， ，所以 和 在上都单调不减， 所以 ，有 ，则 ， 也即 成立， 整理得 ， 同理 也即 成立， 整理得 ，于是原不等式得证. （3） ， 【解析】 【分析】（1）通过构造函数证明在 上即可得到结论； （2）将原不等式转化为两个不等式，构造两个辅助函数并求导，结合绝对值上界函数的定义判断它们的单调性，最后利用单调性导出结论； （3）先判断出 在上单调不减，然后根据最值信息得到 在和时均为常数，再利用和 的约束关系得到此时也为常数，对于时的情况，则通过构造和 的差，并利用其单调性以及端点值相等得到其为常数，综合所有情况即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结论： ，，证明如下： 由题设可知， ，因此 ， 在上单调不减， 那么当时 ，但是 ，所以 即为常数， 所以 ，又根据 ，必有，所以 ； 当时 ，但是 ，所以 即为常数，同理可得 ； 当时，利用（2）中构造的 ，因为 单调不减， 又 ，， 所以 也即在上恒成立， 综上所述， ，. 【点睛】这一类题目通常利用构造函数寻找突破口，需要时刻注意原函数和导数之间的对应关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $