22.1《函数的概念》讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下册

22.1 函数的概念 思考：电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？ ①三场电影的票房收入分别是____元、____元、____元． ②在以上这个过程中，变化的量是________，不变化的量是_________． ③怎样用含有x的式子表示y呢？ ①1 500，2 050，3 100．②x和y，10元/张．③y＝10x． 形成概念 以上反映了不同事物的变化过程．其中有些量的数值是变化的，例如售出票数x，票房收入y。有些量的数值是始终不变的，例如票价10元/张。 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 例题： 在△ABC中，AB边长为a，AB边上的高为h，则△ABC的面积．若a为定值，则_______是常量，_______是变量． 解析：，a；S，h． 继续探究： 上述问题中x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，若x＝150，则y＝1 500；x＝205，则y＝2 050；若x＝310，则y＝3 100． 可以归纳这样的结论： 当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应． 也就是说，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 巩固练习1 指出下列变化关系中，哪些y是x的函数，哪些不是？说出你的理由． ①xy＝2；②；③x＋y＝5；④|y|＝x；⑤；⑥y＝|x|． 例题精析 汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km． （1）写出表示y与x的函数关系的式子；（2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数． 行驶路程为x时耗油为：0.1x．油箱中的油量为：50－0.1x． 所以函数关系式为：y＝50－0.1x． （2）仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1 x，它不能超过油箱中现有汽油50 L，即0.1 x≤50，x≤500． 因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500． （3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－0．1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30． 即汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油． 像y＝50－0．1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子，叫做函数的解析式，它是描述函数的常用方法． 巩固练习2 一台式弹簧秤的弹簧原长为12 cm，它能称的质量不超过20 kg，并且每增加1 kg就缩短 cm． （1）写出放物体后的弹簧长度y cm与所放物体质量x kg之间的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围； （3）当放重物10 kg时，求弹簧的长度； （4）弹簧长度为4 cm时，求所放物体的质量，弹簧长度能为1 cm吗？ 练习 1．求下列函数中自变量x的取值范围． （1）y＝3x－1；（2）；（3）；（4）． 2．一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化. （1）面积s随高h变化的关系式s＝，其中常量是，变量是，是自变量，是的函数； （2）当h＝3时，面积s＝______； （3）当h＝10时，面积s＝______． 检测 1．下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）． A．S，R2是变量，π是常量 B．S，R是变量，2是常量 C．S，R是变量，π是常量 D．S，R是变量，π和2是常量 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y cm与所挂的物体的质量x kg之间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ）． A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 cm C．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm 3．函数中自变量x的取值范围是___________． 4．齿轮每分钟转120转，如果用n表示转数，t（分）表示时间，那么n关于t的函数解析式是________________； 5．已知，求：当x＝1，－1时的函数值． 作业 1．已知两个变量x、y满足关系式2x－3y＋1＝0，试问： （1）y是x的函数吗？ （2）x是y的函数吗？若是，写出y与x的关系式；若不是，请说明理由． 2．汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式是，在一辆车速为100 km/h的汽车前方80 m处，发现停放了一辆故障车，此时刹车会不会有危险？ 答案 巩固练习1： ①是；②否；③是；④否；⑤是；⑥是． 巩固练习2： （1）．（2）0≤x≤20． （3）当x＝10时，y＝7．故当放重物10 kg时，弹簧的长度为7 cm． （4），解得x＝16，即所放物体的质量为16 kg． 由题意，得，解得x＝22．因为22＞20，所以弹簧长度不能为1 cm． 练习： 1、 （1）x取任意实数；（2）x取任意实数；（3）x≠－2；（4）x≥2． 2、答案：（1），，h和s，h，s，h；（2）7.5；（3）25． 检测： 1、C．2、B．3. x≥1且x≠3．4. n＝120t；5. －3，； 作业： １．（1）由题意可得．因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数． （2）由题意可得．因为对于y的每一个确定的值，x都有唯一确定的值与其对应，所以x是y的函数． 2．将v＝100 km/h代入，得s＝100．因为s＝100＞80，所以此时刹车会有危险． 学科网（北京）股份有限公司 $