专题 2.6 一元二次方程和它的解（专项练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.6 一元二次方程和它的解（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程． 对选项A：当时，方程变为，是一元一次方程，且未明确，∴不是一元二次方程． 对选项B：整理方程得，满足一元二次方程的三个条件，∴是一元二次方程． 对选项C：展开右边得，移项化简得，是一元一次方程，∴不是一元二次方程． 对选项D：方程中含有，是分式方程，不是整式方程，∴不是一元二次方程． 故选B． 2．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 3．（19-20八年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期末）已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （   ） A．2021 B．2023 C．2027 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到相关代数式的值，再通过整体代入法计算所求式子的值即可． 解：∵m是一元二次方程的一个根 ∴ ∴ ∵ ． 故选：A． 5．（24-25九年级上·山西·月考）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 7．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念．根据一元二次方程根的定义可知，。将的表达式代入，将式子重新组合为含有和的形式，即可求得其值为0． 解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 9．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一次函数的象限判断，将代入方程求出m的值，再判断直线不经过的象限即可． 解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 原方程移项得标准形式， 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为． 故答案为：11． 13．（25-26九年级上·河南南阳·月考）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 14．（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用一元二次方程根的定义将代入方程求解． 解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程，得，即， 解得． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·重庆万州·期中）已知一元二次方程，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，求解代数式的值，由一元二次方程出发，利用代数变形求出的值，再通过完全平方公式计算． 解：由方程 ，可知 ，将方程两边除以，得 ， 即， ∴， 故答案为：3． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是 ． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 17．（2026八年级下·全国·专题练习）已知a是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 18．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 解：是方程的一个根， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·重庆永川·月考）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，先对分式通分，再计算括号外的，再根据一元二次方程解的定义，可得，最后代入化简后的分式求值即可． 解： ， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． （1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． （1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． （1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.6 一元二次方程和它的解（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（19-20八年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期末）已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （   ） A．2021 B．2023 C．2027 D．2029 5．（24-25九年级上·山西·月考）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 7．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 9．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程 ． 12．（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ． 13．（25-26九年级上·河南南阳·月考）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 14．（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 15．（25-26九年级上·重庆万州·期中）已知一元二次方程，则代数式的值等于 ． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是 ． 17．（2026八年级下·全国·专题练习）已知a是一元二次方程的一个根，则 ． 18．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·重庆永川·月考）已知是方程的一个根，求的值． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $