精品解析：北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题

房山区2026高三年级第一次综合练习 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 的二项展开式中的一项是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A B. C. D. 5. 若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（ ） A B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 年我国新能源汽车产量突破万辆．某车企研发了一款新型电池，使用年后的容量为，其中为常数．已知该电池使用年后容量衰减为初始时容量的．若要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约（ ） （参考数据：，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 9. 设，函数则（ ） A. 是偶函数，且有最大值 B. 是偶函数，且没有最大值 C. 奇函数，且有最大值 D. 是奇函数，且没有最大值 10. 已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的离心率为__________． 12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 13. 人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 14. 设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 15. 如图，在正方体中，，点满足，为中点，给出下列四个结论： ①若，则点的轨迹的长度为； ②若，则点的轨迹的长度为； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为. 其中正确结论的序号是____． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和值域 ； （2）设中，，，，求的面积 ． 17. 如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． （1）求证：∥平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． （1）从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； （2）从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； （3）2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，分别讨论函数与在上的单调性； （3）证明：当时，． 20. 已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线与的夹角为定值． 21. 已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． （1）求数列：的任意置换的前项和的最大值； （2）已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； （3）在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2026高三年级第一次综合练习 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 因为集合，所以. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 3. 的二项展开式中的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得． 5. 若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质建立关于的等式，再化简整理即可. 【详解】是公差为的等差数列，所以 则， 所以公差为. 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 7. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】助空间直角坐标系中坐标平面的垂直关系，根据向量垂直即数量积为0，建立坐标之间的关系即可判断. 【详解】如图，在正方体中，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取底面，即平面为，侧面，即平面为， 则，即轴. 因为，， 所以可设的方向向量为（不同时为0），的方向向量为（不同时为0）， 则或， 而的方向向量为轴或与轴重合； 的方向向量为轴或与轴重合. 所以或或，所以或. 综上，“”是“或”的充要条件. 8. 年我国新能源汽车产量突破万辆．某车企研发了一款新型电池，使用年后的容量为，其中为常数．已知该电池使用年后容量衰减为初始时容量的．若要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约（ ） （参考数据：，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据题意可得，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，解得， 要保证电池容量不低于初始容量的， 则，则，所以， 即， 所以， 所以要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约年. 9. 设，函数则（ ） A. 是偶函数，且有最大值 B. 是偶函数，且没有最大值 C. 是奇函数，且有最大值 D. 是奇函数，且没有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值. 【详解】函数定义域为，关于原点对称，对任意可得： 若，则，代入得： 若，则，代入得： 若，代入得： 对所有都满足，因此是偶函数. ①当时，，，函数单调递增，因此，开区间取不到，因此无法达到； ②当时，，，函数单调递减， 所以，同理开区间也无法取得； ③当时，，由得：，即，所以中间段最大值也小于, 综上所述，所有函数值都小于，且不存在使得，所以没有最大值. 10. 已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的性质求解. 【详解】双曲线的离心率为. 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由三角函数定义知：； ，，，， 点的纵坐标为. 13. 人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 【答案】## 【解析】 【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概率. 【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案 已知输入无语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案 输入有语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为： 14. 设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】求出相位的取值范围，再由对称轴情况列出不等式求解. 【详解】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得： 答案不唯一，满足即可. 15. 如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①若，则点的轨迹的长度为； ②若，则点的轨迹的长度为； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为. 其中正确结论的序号是____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由题意可得在四边形边界及其内部；对①：由正方体性质可得平面，结合中点在平面内，可得点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线，即为线段，计算即可得；对②：由正方体性质可得平面，则点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线，即为线段，其中为中点，解出即可得；对③：利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆与长方形边界及内部相交部分，计算即可得解；对④：利用双曲线定义可得点的轨迹为双曲线右支与长方形边界及内部相交部分，计算即可得解. 【详解】由，则在四边形边界及其内部； 对①：由，，，、平面， 可得平面，又中点在平面内， 则平面内任一点到点与点距离相等，又在四边形边界及其内部， 则当时，点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线， 即为线段，又，故点的轨迹的长度为，故①正确； 对②：由，，，、平面， 可得平面，又平面，故， 由①知平面，又平面，故， 又，、平面，故平面， 若，则点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线， 即为线段，其中为中点，， 即点的轨迹的长度为，故②正确； 对③：若，由， 则点轨迹为以、为焦点的椭圆一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系， 则该椭圆方程为， 点的轨迹为该椭圆与长方形边界及内部相交部分， 设，则有，， 则， 即的最小值为，故③正确； 对④：若，由， 则点轨迹为以、为焦点的双曲线右支一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系， 则该双曲线方程， 点的轨迹为该双曲线右支与长方形边界及内部相交部分， 由双曲线性质可得，当为右顶点时，有最小值， 即最小值为，故④错误. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和值域 ； （2）设中，，，，求的面积 ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质计算即可求解； （2）由正弦型函数性质计算可得，再根据余弦定理及三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为， 因为，所以函数的值域为； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，，， 因为，，所以， . 17. 如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． （1）求证：∥平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形和矩形性质得∥且，推出四边形是平行四边形，进而得∥，最后由线面平行判定定理得出∥平面. （2）本题分别选择①，②和③，通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，再利用线面角计算与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为四边形为正方形， 所以∥且， 又因为四边形为矩形， 所以∥且， 因此∥且， 所以四边形是平行四边形，故∥， 又因为平面，平面， 所以∥平面. 【小问2详解】 选择条件①： 由，又因为， ，平面，故平面， 因为， 所以以为原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，得：，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则：， 令，解得，，得， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式：. 选择条件②：因为  所以以 为原点，为 轴，为  轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系 设，，，，由得 ， 由 得 ，即：，  化简得 ，代入 可得：  （），所以，， ，， 设平面  的法向量为，则: ， 令，得，，即， ，设直线与平面所成角为， 由线面角公式可得：. 选择条件③：以为原点，为  轴，为  轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系， 由已知条件可得：，，，， 因为是矩形，所以，， 设，则 ， 是向量 与的夹角， 又因为，为锐角， 故， 由数量积公式可得： ，  将代入方程化简得： ，解得或 ​， 当时，，则， 当时，，则， 所以，， 当时：，五面体不唯一，不合题意. 18. 消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． （1）从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； （2）从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； （3）2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 （3）111.4 【解析】 【小问1详解】 由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有： 2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个. 上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为. 【小问2详解】 由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间. 设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则； 则的可能取值为0，1，2. ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望 【小问3详解】 2025年各季度的增长率分别为： ，， ，. ，即 2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783； 2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，分别讨论函数与在上的单调性； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出函数在处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程； （2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （3）构造，通过求导判断其单调性，进而证明不等式． 【小问1详解】 由，得， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知， 令，得；令，得．. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 因为，所以， ①当时，，由（2）知在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， ②当时，令， 则，， 由（2）知在上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时， 综上，当时，． 20. 已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线与的夹角为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解； （2）坐标法 + 斜率验证，通过 “设点→求线→求交点→算斜率→证垂直” 完成证明． 【小问1详解】 由且是左右顶点，得，即， 由离心率，代入，得， 由，得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 由在椭圆上，得， 依题意可得直线的斜率存在，设的方程为，则， 由，得， 由，得， 由，得， 解得，， 设，由，得， 直线的方程分别为，， 因为点不在直线上，所以， 由，得， 所以， 所以，因为，所以轴， 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的大小为，为定值． 21. 已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． （1）求数列：的任意置换的前项和的最大值； （2）已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； （3）在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【答案】（1）252； （2）1，3，7，2，4，5，6； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分析前6项和小于等于即可； （2）写出满足题意的置换，再证明即可； （3）分的所有项均为偶数和的所有项均为奇数讨论即可. 【小问1详解】 数列每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． 【小问2详解】 数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． 【小问3详解】 必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $