精品解析：北京市房山区2024-2025学年高三下学期一模考试数学试卷

学科网组卷网 北京市房山区2024-2025学年高三下学期第一次综合练习 数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一 项 1.已知集合A={-2,-1,0,15，集合B={xx2:2,则A∩B=() A.{-1,0,1 B.{-2,-1,0,1 C.{-1,0,l5 D.{-2,-1,0,15 2.在复平面内，复数z=(3+4)i对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知a,b∈R,且a<b,则() B.a2<b2 C.a3<b3 D.In(b-a)>0 4.直线y=x+1与圆(x-1)2+y2=3交于A,B两点，则AB=() A.1 B.2 c D.2V2 5.已知向量a=(x,1),6=(1,-2),若a16,则a-6=() A.2 B.5 c.3V5 D.10 2 6.若(x-2)=a4x4+ax3+a2x2+ax+a,则a3+a1=() A.-41 B.41 c.-40 D.40 7.已知函数fx=sin2x,则x+x2=0”是“f(x)+f(x2)=0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 第1页/共5页 可学科网可组卷网 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E-ABCD-F,P为棱BC上一点，则 下列四个结论中错误的是() A.AE∥平面BCF B.八面体E-ABCD-F的体积为4 C.EP+FP的最小值为V6 D点A到平面BCF的距离为V6 9.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世 代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)=N©”，其 中N。为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量.当t=3时，种群个体数量是起 始个体数量的2倍.若N(4)=150,则N(10)=() A.300 B.450 C.600 D.750 10.已知数列{an}的各项均为正数，且满足a71-an=入(2是常数，n=1,2,3,…),则下列四个结论中 正确的是() A.若=0，则数列{lnan}是等比数列 B.若入>0，则数列{an}是递增数列 C若数列a,是常数列，则入≥ D.若数列{an}是周期数列，则最小正周期可能为2 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 第2项/共5页 可学科网可组卷网 2",x<1 11.已知函数f(x)= 1og,(x+7八，x≥1'则f(0)+f1)= 12.己知{an}是等差数列，且a2=1,a+a=8,则{an}的通项公式an= 13.已知F是抛物线C:x2=12y的焦点，则F的坐标为 ，设A是直线y=-3上一点，直线 AF与抛物线C的一个交点为B,若AB=2BF，则点B到x轴的距离为 14.若对任意实数x,c0sx+ Asin(x+p)(A>0)恒成立，则满足条件的一组A,p的值为A= 6 0= 15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线E:x2+(y-x)2=1就是其中之一设曲线E与x轴交 于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点P是E上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线E关于y轴对称； ②曲线E恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③△PAB面积的最大值为1； ④1OPs5+1c0为坐标原点) 2 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.在ABC中，acosC+ccosA=2 bcosB (1)求∠B; (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC的面积 条件①：a=8,b=6; 条件②：a=8,cosA=-1 条件③：csinB= 3√ 2,b=7 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 第3页/共5页 西学科网丽组卷网 17.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=AD=L,E为BB,的中点，DD,与平面AEC交于点F A B (1)求证：F为DD,的中点； (2》若二面角C-AF-D的余弦值为 ,求AA,的长度 3 18.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，APP赋能潜力巨大.为了 解某校学生对某款学习软件APP的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90 名学生，获得数据如下： 是否使用该款学习软件APP 男生 女生 使用 40人 30人 不使用 10人 10人 假设学生是否使用该款学习软件APP相互独立.用频率估计概率 (1)估计该校学生使用该款学习软件APP的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件APP的人数 为X,求X的分布列和数学期望： (3)从该校所有学生中随机抽取1人，“Y=1”表示该生使用该款学习软件APP,“Y=0”表示该生不使用 该款学习软件APP.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1 人，“Y,=1”表示该生使用该款学习软件APP,“Y,=0”表示该生不使用该款学习软件APP.Y,Y的方差分 别记为D(Y),D(Y),试比较D(Y)与D(Y)的大小（结论不要求证明）· 9已知椭圆E:之2 +6=1a>b>0)的长轴长为4，一个焦点为F1,0) (1)求椭圆E的方程及离心率； 第4项/共5页 学科网组卷网 S.AFM= AM (2)过点F且斜率存在的直线交椭圆E于A,B两点，在x轴上是否存在点M,使得 S.BFM ？若 BM 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 20,已知函数f(x)=n(x+a)-1-2x在x=0处取得极值 x+a (1)求f(x的单调区间； (2)设gx)=xlnx+a-x2-x,求证：曲线y=gx)存在两条斜率为-2且不重合的切线， 21.设n为正整数，集合An={a|a=a1,a2,…,an),a,≤1，i=1,2,…,n,对于集合An中2个元素 a=（x1,x2,…,xn),B=（y,y2,…,yn)，若x+x2+…+xm+y1+y2+…+yn=0,则称0，B具有性质 M.记S=x+x2+…+xn,T=x,+y,i=1,2,…,n,M(a,B)为S,Ti=1,2,…,n)中的最小值. (1)当n=3时，若a=1,-0.9,1),阝=(0.1，-1，-0.2)，判断a,B是否具有性质M.如果是，求出 M(C,B)；如果不是，说明理由； (2)当n=3时，若a=（a,1,1),B=（-1,b,c具有性质M,求M(a,B)的最大值； (3)给定不小于3的奇数n,对于集合A,中任意2个具有性质M的元素a,B,求M(a,B)的最大值. 第5页/共5页学科网组卷网 北京市房山区2024-2025学年高三下学期第一次综合练习 数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一 项 1.已知集合A={-2,-1,0,1,V3,集合B={xx2&2,则AnB=() A.{-1,0,1 B.{-2,-1,0,1 C.{-1,0,l5 D.{-2,-1,0,15 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出集合B,再应用交集定义计算求解 【详解】集合A={-2,-1,0,1V⑤}，集合B={xx2<2={9-<x<V2, 则AnB={-1,0,1 故选：A 2.在复平面内，复数z=(3+4)i对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z,根据复数的几何意义可得答案， 【详解】z=(3+4i)i=4+3i, 复数z对应的点为(-4,3)位于第二象限 故选：B 3.已知a,beR,且a<b,则() 第1页/共25页 可学科网可组卷网 A131 B.a2<b2 a b C.a3<b3 D.In(b-a>0 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐一判断，不正确的举反例，正确的加以说明即可. 【详解】对于A选项：举反例a=-1,b=1可知不成立； 对于B选项：举反例a=-1,b=1可知不成立； 对于C选项：a2-b=(a-ba2+ab+b)=(a-ba+by+3b1, 因为a<h,所以a-b<0,而(a+b}2≥0,2b2≥0且不同时为0. 4 故a3-b3<0,即a3<b3,正确： 对于D选项：举反例a=1,b=1.5可知不成立： 故选：C 4.直线y=x+1与圆(x-1)2+y2=3交于A,B两点，则AB=() A.1 B.2 c.2 D.2√2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可 【详解】由题意可得圆心(1,0)，半径r=√3， 到直线x-y+1=0的距离为d=L+川-V, √2 由几何关系可得AB=2V2-d2=2√3-2=2 故选：B 5.已知向量a=(x,1),6=(1,-2),若a16,则a-=() A.2 B.5 c35 2 D.10 第2页/共25页 耐学科网 组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出ā，然后再由模长的计算可得。 【详解】若a1b,则1×x-2×1=0→x=2, 即a=（2,1, 又d=5=, h--@--v后-2a-i+=5+5:0 故选：D. 6.若(x-2)=a4x+ax3+a2x2+ax+a,则a3+a1=() A.-41 B.41 C.-40 D.40 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出a3=-8和4=-32，求出答案 【详解】(x-2)展开式的通项公式为T=C4x4-(-2)', 令r=1得T2=C4(-2)x3=-8x3,故a,=-8, 令r=3得T4=C(-2)°x=-32x,故4=-32， 所以4+a1=40 故选：C 7.已知函数fx)=sin2x,则“x+x2=0”是“fx+fx2=0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案， 第3页/共25页 学科网组卷网 【详解】由函数f(x)=sin2x,则易知其图象对称中心 当k=0时，（0,0)为函数f(x图象的对成中心， 则当x+x2=0时，fx,)+f(x2)=0,充分性成立 当k≠0时，由f(x)+f(x2)=0,可能得到x+x2= 红+0，必要性不成立 故选：A 8.如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E-ABCD-F,P为棱BC上一点，则 下列四个结论中错误的是() A.AE∥平面BCF B.八面体E-ABCD-F的体积为- C.EP+FP的最小值为√6 D点A到平面BCF的距离为V6 【答案】D 【解析】 【分析】依据线面平行判定定理，棱锥体积公式，等体积法求点到面的距离等知识对选项逐一判断即可， 【详解】 在正方体中，连接AC,EF可知相交于点O,且被O互相平分，故四边形AFCE是平行四边形， 所以AE‖CF,而AEI平面BCF,CFc平面BCF, 第4页/共25页 而学科网组卷网 所以AE∥平面BCF,故A正确： 因为正方体棱长为2，所以四边形ABCD是正方形且AB=BC=√2， OE⊥面ABCD,OE=1, 所以八面体E-ABCD-F的体积等于棱锥E-ABCD体积的2倍， 面棱锥E-ABCD体积等于xV2xV2x1=3 3 故八面体E-ABCD-F的体积为4，B正确： 因为P为棱BC上一点，将△EBC和△FBC展开成一个平面， 由题△EBC和△FBC均为正三角形，且边长为V2, 由三角形两边之和大于第三边知EP+FP最小值为EF,在△EBF中由余弦定理可知 EF=VBE2+BF2-2BE·BF.cos120°=V6,故C正确； 对于D选项：设点A到平面BCF的距离为h,由等体积法知： 2x3xm60h5xx1h后-子5，做联 2 故选：D 9.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世 代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)=N©”，其 中N。为种群起始个体数量，r为增长系数，Nt)为t时刻的种群个体数量.当t=3时，种群个体数量是起 始个体数量的2倍.若N(4)=150,则N(10)=() A.300 B.450 C.600 D.750 【答案】C 【解析】 第5页/共25页 可学科网可组卷网 【分析】根据已知函数模型计算得出€3”=2，再结合指数运算计算求解 【详解】因为模型：Nt)=e”,其中No为种群起始个体数量，r为增长系数， 因为当t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍 所以N3)=Ne3r=2No,所以e3r=2, 若N(4)=Ne4r=150,则N(10)=Ne0r=Ne4r☐er=150×22=600 故选：C 10.已知数列{a}的各项均为正数，且满足a1-an=元(1是常数，n=1,2,3,…),则下列四个结论中 正确的是() A.若1=0，则数列{lnan}是等比数列 B.若入>0，则数列{an}是递增数列 C若数列a,是常数列，则入≥- D.若数列{an}是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】C 【解析】 【分析】当=0时，得到a1=an,当an=l时，得到nan=0,数列{lnan}不能构成等比数列，可判 定A错误；当4=3，入=1时，求得a1>a2>a,可判定B错误；若数列{an}为常数列，得到 心-8，=入，结合二次函数的性质，求得入之一子，可定C正碗；假设列口，是周期数列，月最小正周 期为2，得到a+2=an且an1≠an,结合a+1-an=元，得到a1-an=a-an1,化简求得 an1-am=0，这与an1≠an矛盾，可判定D错误 【详解】对于A中，若元=0，可得a元+1-an=0,即a1=an, 当an>0且a≠1时，两边取对数，可得2lnan1=lnan,即 nal=1 lha2’ 此时数列nan}表示首项为lna,公比为的等比数列： 当an=l时，可得an=1,此时lnan=0,数列{lnan}不能构成等比数列，故A错误； 第6页/共25页 西学科网丽组卷网 对于B中，当2>0时，可得a1-an=元>0，即a1>an, 例如：当a=3,入=1时，由a3=a1+1=4,可得a2=2, 又由a=a2+1=3,可得a,=V3,此时a1>a2>a3, 所以，当2>0，数列{an}是不一定是递增数列，所以B错误； 对于C中，若数列{an}为常数列，则a+1=an, 因为a1-an=元，即a-a,=元， 又限为e-8,=a吉-子所以22子 所以2的取值范围为，+o）,所以C正确 对于D中，假设数列{an}是周期数列，且最小正周期为2，即an+2=an且a+≠an, 因为a1-a,=元，可得a+2-an1=元，所以a-an41=元， did-an =ai-an,i-a+an-an=(anl-a)(an+an+1)=0, 又因为数列{an}的各项均为正数，即an>0,an+>0, 所以a1-an=0,即an1=am,这与an1≠an矛盾， 所以数列{an}的最小正周期不可能是2，所以D错误， 故选：C 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 2,x<1 11.己知函数f(x)= 1og,(x+7八，x≥1'则f(0)+f1)= 【答案】4 【解析】 【分析】求出(0)=1，f(1)=3,得到答案 【详解】f(0)=2°=1，f(1=l10g21+7)=3,故f(0)+f1)=1+3=4 故答案为：4 第7页/共25页 学科网丽组卷网 12.己知{an}是等差数列，且a2=1,a+a=8,则{an}的通项公式an= 【答案】3n-5 【解析】 【分析】设等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的基本量运算求出d,代入通项即可 【详解】设等差数列{an}的公差为d, 由a+a5=a2-d+a2+3d=2a2+2d=8, 因a2=1,代入解得d=3, 故an=a2+(n-2)d=1+3(n-2)=3n-5 故答案为：3n-5. 13.已知F是抛物线C:x2=12y的焦点，则F的坐标为 ,设A是直线y=-3上一点，直线 AF与抛物线C的一个交点为B,若AB=2BF,则点B到x轴的距离为 【答案】 ①.（0,3 ②.1 【解析】 【分析】由抛物线性质可知焦点坐标；过B作BD垂直于直线y=-3,由比例关系得出B到x轴的距离. 【详解】抛物线C:x2=12y的焦点F(0,3),准线y=-3. 过B作BD垂直于直线y=-3于D,则BD/y轴 设直线y=-3与y轴交于点C, 因为AB=2BF,所以AB=2BF, 4B2 BD 4B 2 由BD1Iy轴得， FC AF3 所以lBD1-3FC=号x6=4, 2 因此点B到x轴的距离为1. 第8页/共25页 可学科网可组卷网 x2=12y B y=-3 C D 故答案为：3,0)；1. 14.若对任意实数x,c0s x+ Asin(x+p)(A>0)恒成立，则满足条件的一组A,p的值为A= 6 【答案】 ①.1 ② 2n (答案不唯一) 3 【解析】 【分析】应用诱导公式计算求解即可 【餐】若对作意类装无o+君引nc+名+》：+）x+p4>0制陵立 2π 则满足条件的一组A,0的值为A=1，p= +2kπ，k∈Z. 2π 故答案为：1； (答案不唯一) 15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线E:x2+(y-x)2=1就是其中之一设曲线E与x轴交 于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点P是E上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线E关于y轴对称； ②曲线E恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③aPAB面积的最大值为1； ④1OPs5+1(0为坐标原点). 2 其中正确结论的序号是 【答案】①③④ 【解析】 【分析】曲线E上的任意点P(x,y),其关于y的对称点为(-x,y),代入曲线方程验证判断①，根据方程 易知(0，±1)，（仕1,1）均在曲线上判断②，结合曲线的对称性研究0≤x≤1时的曲线性质确定yp最大值， 第9页/共25页 学科网组卷网 结合AB=V2即可判断③，在0≤x≤1上，y=x+V-x2才能保证OP=√x2+y2最大，再应用三角 换元及三角恒等变换、正弦型函数的性质求1OP=Vx2+y2范围判断④， 【详解】曲线E上的任意点P(x,y),其关于y的对称点为(-x,y), 代入曲线左侧有(-x)2+(y--x)2=x2+(y-x)2=1,即点(-x,y)也在曲线上， 所以曲线E关于y轴对称，①对； 由方程易知(0，±1)，（仕1,1）均在曲线上，曲线至少经过4个整数点，②错： 由(y-x)2=1-x2∈[0，]，即-1≤x≤1，且y=x±V1-x2, 根据曲线E关于y轴对称，只需研究0≤x≤1时的曲线性质， 对于y=x+买≤V2+1-=V2,当且仅当x=2时取等号， 对于y=x-V1-x2在[0，上单调递增，则y∈[-1，， 令y=0,则0-=1-r,可得x=万，结合曲线的对称性有钊4B5, 所以，经大Sxx万=1，③则 在0≤x≤1上，y=x+V-x2才能保证OP=V2+y2最大， 令x=cos8且0e0,71,此时y=sin0+eos0=2sin(0+孕el,N2]. 所以0P=√cos20+(sin0+cos0)2=Vcos20+1+2sin0cos0 -sin 20+cos20+ 1 sin(20+p)+号，且tanp=2, 2 V5+3 所以OP2 25+6=V5+1,当且仅当sin(20+9)=1取等号，④对 14 2 第10页/共25页 学科网组卷网 1:B 故答案为：①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.在ABC中，acosC+ccosA=2 bcosB (1)求∠B; (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC的面积 条件①：a=8,b=6; 1 条件②：a=8,coSA=- 条件③：csinB= 35 2 ,b=7 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 【答案】1)B=方 π (2)63 【解析】 【分析】(1)应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出余弦值进而得出角； (2)选择条件①三角形不存在；选择条件②应用同角三角函数关系得出sinA= 45,再应用正弦定理及 余弦定理计算求出边长C=3,最后应用面积公式计算；选择条件③先应用正弦定理得出C=3,再应用余 弦定理得出a=8,最后应用面积公式计算 【小问1详解】 由正弦定理a b sinA sinB sinC 第11页/共25页 学科网组卷网 sinAcosC+sinCcosA 2sinBcosB 所以sinA+C)=2 sinBcosB 所以sinB=2 sinBcosB 因为B∈(0，π，所以sinB≠0 所以cosB=2 1 所以B= 3 【小问2详解】 选条件①：Q=8,b=6,B=买， 由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得c2-8c+28=0. △=64-4×28<0，ABC不存在； 选条件②：a=8cosA=- 由sin2A+cos2A=1,可得sin4=45 7 由正弦定理Q=b ，得b=asinB 8⑤ 2=7 sinA sinB sinA 由余弦定理a2=b2+c2-2acc0sA,得 64=49+c2-2× 整理得c2+2c-15=0. 解得c=3,或c=-5(舍) 1 所以ABC的面积SMBc=，acsinB=6V3 条件③：csinB= 3 2,b=7. 因为c6nB-35,且8-子所以c=3 2 由余弦定理b2=a2+c2-2acc0sB,得a2-3a-40=0 第12页/共25页 学科网组卷网 解得a=8,或a=-5(舍) 1 所以ABC的面积S△ABc=acsin B=6V5 2 17.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,E为BB,的中点，DD,与平面AEC交于点F (1)求证：F为DD,的中点： 2)若二面角C-4F-D的余弦值为5，求AA的长度 3 【答案】(1) 在长方体ABCD-ABC,D,中，因为平面BCCB//平面ADDA, 平面AEC∩平面BCCB,=EC,平面AEC∩平面ADD,A,=A,F, 所以EC//A,F同理EA,//CF 所以ECFA是平行四边形.所以EC=A,F. DF=AF2-AD2=4F2-1, BE =EC2-BC2=EC2-1 所以DF=BE=BB=DDy 2 所以F为DD,的中点 (2)AA=2 【解析】 【分析】(1)运用长方体性质，得到面面平行，再用面面平行性质得到线线平行，进而得到ECFA是平行 四边形则EC=4F.借助勾股定理和已知条件得到D,F=BE=)B8=2DD,即可 第13页/共25页 学科网丽组卷网 (2)建立空间直角坐标系A-xyz,设AA,=tt>0),求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合向量夹角 lt 公式得到 解出即可 Vt2+t2+43 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在长方体ABCD-AB,CD中，建立空间直角坐标系A-xyz,设AA=tt>0), A B 则4(00小，cLo,0》 因tcE=0,-l,C4--1-1 设平面AEC的法向量为i=(x,y,z), iCE=0, t 则 即 -y+5·z=0, i.CA=0. -x-y+tz=0. 令z=2,则y=tx=t,因此i=t,t,2) 易知平面ADDA的法向量为m=1,0,0),则 m.n 5 cos(m) · V2+t2+43 解得t=2.所以A4=2 18.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，APP赋能潜力巨大为了 解某校学生对某款学习软件APP的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90 第14页/共25页 可学科网可组卷网 名学生，获得数据如下： 是否使用该款学习软件APP 男生 女生 使用 40人 30人 不使用 10人 10人 假设学生是否使用该款学习软件APP相互独立用频率估计概率 (1)估计该校学生使用该款学习软件APP的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件APP的人数 为X,求X的分布列和数学期望； (3)从该校所有学生中随机抽取1人，“Y=1”表示该生使用该款学习软件APP,“Y=0”表示该生不使用 该款学习软件APP.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1 人，“Y,=1”表示该生使用该款学习软件APP,“Y,=0”表示该生不使用该款学习软件APP,Y,y的方差分 别记为D(Y),D(Y),试比较D(Y)与D(Y)的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) 9 (2) X 0 1 2 1 11 2 12 P 100 100 5 25 E(X)=4 0 3)D(Y)>D(Y) 【解析】 【分析】(1)根据题中数据，90名学生中使用学习软件APP的共70人，即可求出； (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3，分别计算每个取值的概率，即可得到分布列和数学期望： (3)设从一年级学生中随机抽取1人，该生使用该款学习软件APP的方差记为D(Y),求出一年级学生 和该校全体学生中使用该款学习软件APP的概率，由二项分布的方差计算公式求出D(Y),D(Y),由 D(Y),D(Y)的大小，即可比较D(Y),D(Y2)的大小 第15页/共25页 学科网组卷网 【小问1详解】 根据题中数据，90名学生中使用该款学习软件APP的共40+30=70人， 所以该校学生使用该款学习软件APP的概率可估计为40+30_？ 909 【小问2详解】 从该校全体男生中随机抽取1人，“他使用该学习软件APP”记为事件A, 从该校全体女生中随机抽取1人，“她使用该学习软件APP”记为事件B, 限粥题数标可细：P叫利-专P叫到- 随机变量X的可能取值为0,1,2,3 则P(X=0) 121=1 54100 41111311 P(X=1)=2×-×二× 554554100 ,413.441-40-2 P(X=2)=2x4x-x2+×4x 5545541005' 4434812 P(X=3=xx3= 55410025 所以X的分布列为： X 0 1 3 1 11 P 2 12 100 100 5 25 数学期望E(X)=0× 11 +1x +2x2+3 1247 100 10 2520 【小问3详解】 设从一年级学生中随机抽取1人，“Y,=1”表示该生使用该款学习软件APP,“Y,=0”表示该生不使用该款 学习软件APP,Y的方差记为D(Y), 一年级有200名男生和180名女生，一年级学生使用该学习软件APP的概率为 200×4+180x3 5 P=- 4_295_59, 200+180 38076 第16页/共25页 耐学科网 命组卷网 则D(Y)= 59 1003 76 5776 该校所有学生中使用该款学习APP的概率为P= 40+307 90 91 1003.14 因为 即D(Y)>D(Y), 577681 所以除一年级外其他年级学生中使用该款学习软件APP的方差D(Y,)<D(Y), 即D(Y)>D(Y) 19.已知椭圆E:子大2 +方=1(a>b>0)的长轴长为4，一个焦点为F1,0) (1)求椭圆E的方程及离心率； S.AFM AM (2)过点F且斜率存在的直线交椭圆E于A,B两点，在x轴上是否存在点M,使得 ?若 BM 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 【答案】(1) 父+号=1，离心率 43 (2)存在，（4,0) 【解析】 【分析】(1)由题意确定椭圆参数值，即可得椭圆方程，进而得到离心率； (2)设直线AB的方程为y=k(x-1,Ax,y),Bx2,y2)，Mm,O),联立椭圆并应用韦达定理得 8k2 4k2-1 x1+X2= 3+4k2,2= 3+4k 2,法一：根据面积比得到LAMF=∠BMF,即直线AM的斜率与直线 AM BM的斜率互为相反数，列方程求得m=4;法二：根据面积比得 结合两点距离公式并整理 BM y2 求得m=4,即得结论 【小问1详解】 由题意，得2a=4,c=1,所以b2=a2-c2=3 第17页/共25页 可学科网可组卷网 所以椭圆E的方程为女+ 43 =1,离心率e=C=} Γa2 【小问2详解】 设直线AB的方程为y=k(x-1)(显然k≠0)，点M(m,O), [y=k(x-) 区A,,Bx2,,联立方程x+上=1 整理得3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0. 8k2 4k2-12 所以+名=3十4状=3+4k 法一：因为 SAFM= FMlwkinLA ”|AMsinZAMF 2XFM小x|BM||sin/BMF |BM sin∠BMf 又S AM 所以sin∠AMF=sin∠BMF SBFM BM 所以∠AMF=∠BMF,直线AM的斜率与直线BM的斜率互为相反数 设直线AM的斜率为k,直线BM的斜率为k2, 长+k=1+上=0，整理可得无-m+任m=0, x-m x2-m （x-m(x2-m k(x-1(x2-m)+k(x2-1(x-m)=0,因为k≠0， 所以(x-1)x2-m)+(x2-1x1-m)=0，,2xx2-（m+1)(x+x2)+2m=0, 24m+2m0,8m9 所以点M的坐标(4,0) 第18页/共25页 可学科网可组卷网 法二：因为 AEM= FMx刘以 2 S.AFM AM 又 SBFM xFM×y,l y2 BM 2 所以 AM ，即-m+ 4(:-m+=2 BMy2 Vx2-m)2+ y2(x2-m)2+y2 所以-m+西-G-1 (西-m侧+G-少炉3-，且k*0. 整理得(2-1)2(x-m)2=(x-1)2(x2-m)2, 则[(x2-1)(x-m)-(x,-1)(x2-m)][(x2-1(x-m+(x-1川x2-m)]=0, 而(x2-1)川x-m-(x-1)(x2-m=(m-1)(x-x2),显然m≠1，x≠x2, 所以(x2-1)x,-m-(x-1)x2-m≠0， 故(x2-1)x-m)+(x1-1)x2-m)=2xx2-(m+1)(x1+x2)+2m=0, 阶以2×4k4之-（m+x ×3+4状+2m=0,解得m=4. 所以点M的坐标(4,0). 20.已知函数f(x)=hn(x+a)-1-2x在x=0处取得极值 x+a (1)求f(x)的单调区间； (2)设gx)=xlnx+a)-x2-x,求证：曲线y=gx)存在两条斜率为-2且不重合的切线 【答案】(1)fx)的单调递增为(-1,0)；单调递减区间为(0，+o∞) @由g国=+川--，g=hx+小2x=国 由(1)可知，g'(x)max=f(0)=-1, 同为ee-=ae。-2e-刂=e3c2 第19页/共25页 命学科网可组卷网 g(e-l1)=lne-1-21e-1)=3-2e-1<-2, 所以存在x∈e2-1,0,x2∈(0，e-1),使g'(x)=g(x)=-2 方法一：曲线y=g(x)在点(x,gx(i=1,2)处的切线方程为 y-g(x)=-2x-x)i=1,2,即y=-2x+gx)+2x,i=1,2) 下面证明：gx,)+2x≠gx2)+2x2 设Gx)=gx)+2x(x>-1),则G'(x)=g'(x)+2=f(x)+2 当x∈x,x2]时，fx)∈-2，-1，所以G'(x)∈[0，，即G'(x)≥0 所以G(x)在[x,x]上单调递增 因为x<x2,所以Gx)<Gx2 所以G(x)≠G(x2),即gx)+2x≠8x2)+2x2 所以曲线y=g(x)存在两条斜率为-2且不重合的切线， 方法二：由g'(x)=g'(x2)=-2, 可得ln(x+1)--2x=-2,n(x+1-1-2x,=-2 x+1 x2+1 所以曲线y=g(x)在(x,g(x,)月处的切线的方程为l:y-g(x)=-2(x-x), y=-2x+2x+x In(x+1- 因为血(：+1-1， +12x=-2, 所以4的方程为y=-2x+无+X2-5 x+1 同理，曲线y=8x)在(x,gx,》处的切线，的方程为1，：y=-2x+5+x-x x2+1 面证明十中左+场 x2+1 第20页/共25页 学科网组卷网 设G(x)=x+2-xx>-) x+1 G(y=+1+2x-1=1+2x++y-2x+3到≥0 (x+1)2 (x+1)2 (x+1)2 所以函数Gx在(-1，+oo)上单调递增， 因为x<x2,所以Gx)<Gx2 所以G(x)≠G(x),即+x-x≠+x- x+1 x2+1 所以曲线y=g(x)存在两条斜率为-2且不重合的切线 【解析】 【分析】(1)根据函数的极值点求得a=1,再利用导函数的符号确定函数的单调区间即可； (2)求导得g'（x)=f(x),由(1)得g'(x)mx=f(0)=-1,计算得g'e2-1<-2,g(e-1)<-2, ,由函数单调性推出存在x∈e2-1,0,x2∈(0，e-1),使g'(x)=g'(x2)=-2.法一：写出曲线 y=gx在点(x,gx)(i=1,2)处的切线方程：y=-2x+g(x)+2x(i=1,2),根据 Gx=gx)+2xx>-1)的单调性推出gx)+2x≠gx2)+2x2可得证；法二：利用 J=g2正指甜+十】2一2，写骏y=8在8处的切线乙的物 程y=-2x++x-x,同理得曲线y=g(x)在(x,g(x》处的切线，的方程 x+1 y2x+*明+名5阿 x2+1 x2+1 【小问1详解】 由f=n(x+a)-12x,得fx)=L+1 x+a x+a+a-2,(x>-a). 因为函数fx)在x=0处有定义，所以a>0 因为f八)在x=0处取得极值，所以了10)=+之-2=0， aa- 第21页/共25页 可学科网可组卷网 解得a=1,或a=- (舍) 2 当a=1时，f对=n(x+l)-1-2xx>-l, x+1 +7++2-22x+) f"(x=1+1 (x+1)2 (x+102 3 令f'(x)=0,解得x=0,或x=-号（舍）. 2 f'(x)与f(x)的变化情况如下： （-1,0) 0 (0,+0） f(x) 0 f(x) 极大值 所以函数f(x)的单调递增为(-1,0)；单调递减区间为(0，+∞） 【小问2详解】 略 21.设n为正整数，集合An={aa=(a1,a2,…,an),a≤1，i=1,2,…,n,对于集合An中2个元素 a=(x,x,…,xn),B=(,y2,…,yn),若x+x2+…+x。++y2+…+yn=0,则称a,B具有性质 M.记S=x1+x2+…+xn,T=x,+y,（i=1,2,…,n,M(a,B）为S,Ti=1,2,…,n中的最小值. (1)当n=3时，若a=(1,-0.9,1,B=（0.1,-1,-0.2),判断a,B是否具有性质M.如果是，求出 M(a,B);如果不是，说明理由； (2)当n=3时，若=(a,1,1,B=-1,b,c具有性质M,求M(a,B)的最大值： (3)给定不小于3的奇数n,对于集合A,中任意2个具有性质M的元素a,B,求M(a,B)的最大值. 【答案】(1)o,B具有性质M,Ma,B)=0.8; 2n (2)1; (3) n+3 【解析】 第22页/共25页 学科网可组卷网 【分析】(1)根据定义，计算x+x2+x+y+2+=0,即可判断α，阝具有性质M;在分别计算出 S,T,T,T,即可求得M(a,β)； (2)方法1：由己知得出a+b+c=-1,结合a≤1，b≤1，c≤1，得出 S=a+2>0,T=a-1≤0，T=1+b≥0，T=1+c≥0，进而得出M(a,β)≤1，并取a=-1,b=c=0验 证Ma,B)的最大值可以取到；方法2：用反证法假设M(a,阝)>1，由已知得出@≤1与题设矛盾，即 可说明； (3)由性质M可得x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn=0,S=x1+x2+.+xn=-y1+y2+..+yn① ,且T+T,+…+T,=0②，①中不妨设S≥0，②中不妨设 ≥0i12mC之0m+m+2,,由对称性可以设m之n-m≤二海 (m+1)M(a,)≤S+了+7+…+7，进而得出M(a,)≤≤”=2n m+1-n+1 +1n+3,再验证可以取到 2 最大值即可 【小问1详解】 因为1-0.9+1+0.1-1-0.2=0，所以a,B具有性质M; 因为S=1-0.9+1=1.1,T=1+0.1=1.1,T=-0.9-1=1.9,T3=1-0.2=0.8, 所以M(o,B）=0.8. 【小问2详解】 方法：1： 由性质M得a+1+1-1+b+c=0,所以a+b+c=-1, 因为a≤l,bl≤1，lc≤1， 所以S=a+1+1=a+2>0,T=a-1≤0，T2=1+b20,T3=1+c20, 则M(a,B)≤S,M(a,B)≤T,Ma,B)≤T, 所以3Ma,β)≤S+T+T3=a+2+1+b+1+c=a+b+c+4=3, 所以Moa,β)≤1， 第23页/共25页 西学科网丽组卷网 又因为当a=-1,b=c=0时， =（-1,1,1,B=-1,0,0)具有性质M, 且S=-1+1+1=1,T=-1-1=-2,T=1+0=1,T3=1+0=1,M(a,β)=1， 所以M(a,B)的最大值为1. 方法2： 先用反证法证明M(a,β)≤1， 假设Mo,B)>1, 由b≤1，则T=b+1=b+1>1, 所以b>0,同理c>0, 所以b+c>0, 由a+1+1+-1+b+c=0, 所以a=-1-(b+c<-1, 与已知a≤1矛盾，假设不成立， 所以M(o,B)≤1， 当b=c=0时，a=-1, 此时M(a,B)=1, 所以Ma,B)的最大值为1. 【小问3详解】 由性质M可得x,+x2+…+xn+1+y2+…+ym=0, 所以S=x+x2+.+xn=-(y+y2+.+yn)①，且T+T2+.+Tn=0②， 在①中不妨设S≥0， 在②中不妨设T,≥0(i=1,2,…,m),T,<0(i=m+1,m+2,,n, 2(n-m)sn-1 由对称性可以设m≥”+ 2Γ 第24页/共25页 命学科网可组卷网 所以M(a,B≤S,Ma,B)≤T,Ma,B)≤T,.,Ma,B)≤Tm 所以(m+1M(a,B)≤S+T+T2+.…+Tm=x+x2+…+xn)+x1+y)+(x2+y2)+…+(xm+ym) =(x1+x2+.+xn+y1+y2+…+yn+x1+x2+…+xm-ym+1-ym+2-…-yn =+x++x。-y1-以n2--≤n,即M(a,B)≤n51—=2n Γm+1n+1 +1n+3, 2 n2+3 n2+3 n2+3 因为存在a .…1n+3-+3-2n+3m-可) n2+3 (n+3(n-), p-小6空号)tw n2+3 2n 1++-可n3 n+3( n2+3 n2+3 +1>n2-4n+3+1=n-3+1=2n m+-可-+3n-可1>+3n-可n+3n+3 i=”+3,n+5 2,2n 所以M(a,B)=2n n+3 2n 综上M(a,B)最大值为 n+3 第25页/共25页