第二十章　勾股定理 课件2025-2026学年 人教版八年级数学下册

第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 教材回归(三)　方程思想在勾股定理中的应用 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面 的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的丈、尺是长度单 位，1丈＝10尺.） 解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10－x）尺. 根据勾股定理，得x2＋32 ＝（10－x）2， 解得x＝4.55. 答：折断处离地面的高度是4.55尺. 【针对训练】 　利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系 1. 求下列直角三角形中未知的边长. 图1　　　　　　　　图2 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图1，设AC＝x（x＞0）. ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x. ∵AB2＝AC2＋BC2，∴（2x）2＝x2＋32. ∴x＝ 或x＝－ （负值舍去）. ∴AC＝ ，AB＝2 . 如图2，设AC＝x. ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x. ∵AB2＝AC2＋BC2，∴x2＋x2＝（3 ）2. ∴x＝3或x＝－3（负值舍去）. ∴AC＝BC＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 图1　　　　　　　　图2 　共高的双直角三角形中边的数量关系 　　　　 AB2－BD2＝ AC2－CD2　　　　 AC2－CD2＝ AB2－BD2 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面 积. 解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D. 设BD＝x，则CD＝14－x. 根据勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132 －（14－x）2. ∴152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9. ∴AD＝ ＝12. ∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×14×12＝84. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高.求 线段AD的长. 解：设AD＝x，则BD＝5＋x. ∵CD⊥AB，∴∠D＝90°. ∴CD2＝BC2－BD2＝AC2－AD2. ∴82－（5＋x）2＝52－x2，解得x＝ . ∴线段AD的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用图形的折叠找两边的数量关系 4. 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.已 知AB＝6，△ABF的面积是24，则CF的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿 DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（　D　） A. B. 2 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点 A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使 点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　A　） A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折 叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ⁠. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 　利用勾股定理和方程思想求点的坐标 8. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原 点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝ 8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E 处，求B，D，E三点的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：∵四边形OABC是长方形， ∴BC＝AO＝10，AB＝OC＝8，∠B＝∠OCB＝90°. ∴点B的坐标为（10，8）. 根据题意，得折痕AD是四边形OAED的对称轴. 在Rt△ABE中，AE＝AO＝10. ∴BE＝ ＝ ＝6. ∴CE＝BC－BE＝4. ∴点E的坐标为（4，8）. 在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2. ∵DE＝OD， ∴（8－OD）2＋42＝OD2. ∴OD＝5. ∴点D的坐标为（0，5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 本课结束 $第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 教材回归(四)　勾股定理与网格中的三角形 如图，每个小正方形的边长都为1. （1）求四边形ABCD的面积和周长； 解：（1）根据勾股定理，得 AB2＝52＋12＝26，则AB＝ ； BC2＝42＋22＝20，则BC＝2 ； CD2＝22＋12＝5，则CD＝ ； AD2＝12＋42＝17，则AD＝ . ∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝ ＋2 ＋ ＋ ＝ ＋3 ＋ ； 四边形ABCD的面积＝5×5－ ×（1×5＋4×2＋2×1＋4×1）－1×1 ＝14.5. 解：（1）根据勾股定理，得 AB2＝52＋12＝26，则AB＝ ； BC2＝42＋22＝20，则BC＝2 ； CD2＝22＋12＝5，则CD＝ ； AD2＝12＋42＝17，则AD＝ . ∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝ ＋2 ＋ ＋ ＝ ＋3 ＋ ； 四边形ABCD的面积＝5×5－ ×（1×5＋4×2＋2×1＋4×1）－1×1 ＝14.5. （2）∠BCD是直角吗？请说明理由. 解：（2）∠BCD是直角.理由如下： 如图，连接BD. 根据（1），得BC2＝20，CD2＝5. ∵BD2＝32＋42＝25，BC2＋CD2＝20＋5＝25， ∴CD2＋BC2＝BD2. ∴∠BCD＝90°.∴∠BCD是直角. 【针对训练】 1. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点 叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的△ABC，请你根据所学的 知识回答下列问题： （1）判断△ABC的形状，并说明理由； 解：（1）△ABC是直角三角形.理由如下： 根据勾股定理，得AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20， BC2＝32＋42＝25， ∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形. 1 2 3 （2）求△ABC的面积. 解：（2）根据（1），得AB＝ ，AC＝ ＝2 . ∴S△ABC＝ AB•AC＝ × ×2 ＝5. 1 2 3 2. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： （1）从点A出发画线段AB，AC，并连接BC，使AB＝ ，AC＝ 2 ，BC＝ ，且使B，C两点也在格点上； 解：（1）如图所示，线段AB，AC，BC即为所求.（答案 不唯一） AB＝ ＝ ， AC＝ ＝2 ， BC＝ ＝ . 1 2 3 （2）请求出图中△ABC的面积. 解：（2）S△ABC＝2×4－ ×2×1－ ×2×2－ ×4×1＝3. 1 2 3 3. 如图，在5×5的正方形网格中，设每个小正方形的边长都为1.已知 点A在格点上（即小正方形的顶点）.请你按下列要求回答问题： （1）画一个直角三角形△ABC，使得斜边AB＝ ，点A，B，C在 格点上，且另外两边长都是无理数； 解：（1）如图所示，△ABC即为所求.（答案不唯一） （2）AB边上的高的长度为 ⁠. 　 1 2 3 本课结束 $第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 第1课时　勾股定理的认识 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 勾股定理：如图，如果直角三角形的两条直角边长分别为ɑ，b，斜边 长为c，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于 斜边的平方. ɑ2＋b2＝c2　 基础分点训练 　勾股定理的认识与证明 1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应边的边长分别是ɑ，b，c，∠C ＝90°，则下列说法中，正确的是（　D　） A. ɑ＋b＝c B. ɑ2＋c2＝b2 C. c2＋b2＝ɑ2 D. ɑ2＋b2＝c2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程， 请补充完整： ∵S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ⁠， ∴S1＋S2＝S3， 即 2＋ 2＝ 2. 4　 9　 13　 AC　 BC　 AB　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　利用勾股定理进行计算 3. 生活应用1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1 所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形.如图2， 若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（　A　） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 在直角三角形中，若勾为6，弦为10，则股为 ⁠. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. （1）若ɑ＝7，b＝24，则c＝ ⁠； （2）若ɑ＝4，c＝7，则b＝ ⁠； （3）若c＝ ，b＝2 ，则ɑ＝ 　 　. 8　 25　 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝BC＝5，AE为BC边上的高， AE＝3.求CE的长. 解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°. ∴△AEB为直角三角形. 在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝3， 根据勾股定理，得 BE＝ ＝ ＝4. ∴CE＝BC－BE＝5－4＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中档提分升训练 7. 几何直观如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝ 90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别 为ɑ，b，c，d.若ɑ＝2，b＋c＝12，则d为（　B　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 分类讨论思想在Rt△ABC中，已知两边长为5，12，则第 三边的长为 ⁠. 9. 生活应用一个零件的形状如图所示，已知∠A＝∠CBD＝ 90°，AC＝6 cm，AB＝8 cm，BD＝20 cm，则CD＝ cm. 13或 　 10 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和 AC于点D，E，并且BE平分∠ABC. （1）求∠A的度数； 解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB. ∴∠EBA＝∠A. ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠CBE，且∠C＝90°. ∵∠CBE＋∠EBA＋∠A＋90°＝180°， ∴3∠A＋90°＝180°.∴∠A＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若CE＝1，求AB的长. 解：（2）∵∠CBE＝∠EBA＝∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝1， ∴BE＝2CE＝2×1＝2，AB＝2BC. ∴BC＝ ＝ ＝ . ∴AB＝2BC＝2× ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 拓展素养训练 11. 注重学习过程问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边 长c＝13，求△ABC的面积. 解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为ɑ，b，则ɑ＋b＋c ＝ ⁠. ∵c＝13，∴ɑ＋b＝ ⁠. ∴（ɑ＋b）2＝ ⁠. ∴ɑ2＋ ＝289. 30　 17　 289　 b2＋2ɑb　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴△ABC的面积＝ ɑb＝ × ＝ .（第2步） 60　 30　 ∵ɑ2＋b2＝c2，∴c2＋2ɑb＝289. ∴ ＋2ɑb＝289. ∴ɑb＝ .（第1步） 132　 60　 合作探究：（1）补全上面的填空； （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想 是 ；（填序号） ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想. ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 迁移：（3）已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个 直角三角形的周长. 解：（3）设这个直角三角形的两直角边长分别是ɑ，b（ɑ，b均为正 数），则 ②×4，得2ɑb＝96. ∵（ɑ＋b）2＝ɑ2＋2ɑb＋b2＝100＋96＝196， ∴ɑ＋b＝14.∴两条直角边的和为14. ∴这个直角三角形的周长＝14＋10＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第二十章　勾股定理 专题训练（四)　利用勾股定理求最短路径问题 20.2　勾股定理的逆定理及其应用 　平面上的最短路径问题 1. 节约资源如图，两个村庄A，B在河CD的同侧，A，B两 村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现要在河边 CD上建造一水厂，向A，B两村输送自来水.铺设水管的工程费用为每 千米20 000元.请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的总费用最 少，并求出铺设水管的总费用. 1 2 3 4 5 6 7 解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点O，则点O 即为所求水厂位置.此时铺设水管的总费用最少. 过点A′作BD的垂线，交BD的延长线于点F. 根据题意，得DF＝CA′＝AC＝1 km，A′F＝CD＝3 km， 则BF＝BD＋DF＝3＋1＝4（km）. 在Rt△BA′F中，根据勾股定理，得 BA′＝ ＝ ＝5（km）. 即水管长度为OA＋OB＝BA′＝5 km. ∴铺设水管的总费用＝20 000×5＝100 000（元）. 即铺设水管的总费用为100 000元. 1 2 3 4 5 6 7 　立体图形中的最短路径问题 立体图形中最短路径基本模型如下： 图例 圆柱 长方体、正方体 阶梯问题 基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线 段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾 股定理求解 1 2 3 4 5 6 7 题型1　圆柱中的最短路径问题 2. 如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子， 正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12 米，高8米） 米. 4 　 1 2 3 4 5 6 7 3. 如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行.从 点A爬到点B的最短路程约是多少厘米？（结果保留小数点后一位） 题图　　　 1 2 3 4 5 6 7 解：如解图，画出圆柱的侧面展开图. ∵圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm， ∴AD＝6π cm，BD＝10 cm. ∴AB＝ ＝ ＝ ≈21.3（cm）. 答：从点A爬到点B的最短路程约是21.3 cm. 解图 1 2 3 4 5 6 7 4. 如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm 的点A处. 1 2 3 4 5 6 7 （1）求蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离； 解：（1）将圆柱形玻璃杯的示意图沿侧面展开，如解图1，过点C作 CD⊥AD，垂足为D. 根据题意，得CD＝ ×18＝9（cm）， AD＝12－4－4＝4（cm）. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 AC＝ ＝ ＝ （cm）. 答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其他条件不 变，请你求出此时蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离. 　　 解图1　　　解图2 解：（2）将圆柱形玻璃杯的示意图沿侧面展开，如解图2，作点A关于 EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离. 则DQ＝A′E＝AE＝4 cm，A′D＝ ×18＝9（cm）， CQ＝12－4＝8（cm）. ∴CD＝CQ＋DQ＝8＋4＝12（cm）. 在Rt△A′DC中，根据勾股定理，得 A′C＝ ＝ ＝15（cm）. 答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm. 1 2 3 4 5 6 7 题型2　长方体、正方体中的最短路径问题 5. 如图是一个长方体，AB＝3，BC＝5，AF＝6，要在长方体上系一 根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，则所用绳子的长度最短为 （　A　） A. 10 B. C. 8 D. A 1 2 3 4 5 6 7 【解析】如图是将长方体的右侧面展开的示意图，与上表面在同一平面 内，连接AG，交DE于点P，此时所用绳子的长度最短. 根据题意，得AD＝BC＝5，DC＝AB＝3，CG＝AF＝6， ∴AC＝AD＋DC＝5＋3＝8. 在Rt△ACG中，AG＝ ＝ ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 6. 如图，一个3×3的魔方放在桌子上，该魔方每一个小方格的边长都 为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至 侧面的点B，最少要用 秒. 2.5　 1 2 3 4 5 6 7 题型3　阶梯中的最短路径问题 7. 如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点.A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程 为 dm. 25　 1 2 3 4 5 6 7 本课结束 $第二十章　勾股定理 章末复习 　两个定理 定理1　勾股定理 1. 运算能力如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的 边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为 的是 （　B　） A. 线段AB B. 线段BC C. 线段AC D. 线段BD B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 定理2　勾股定理的逆定理 2. 如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10.若AC边 上的高为BH，则BH的长为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　一个概念 概念1　勾股数 3. 下列各组数中，是勾股数的是（　A　） A. 5，12，13 B. 7，9，11 C. 6，9，12 D. 0.3，0.4，0.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　两种应用 应用1　勾股定理的应用 （1）边长计算 4. 应用意识如图，一支17 cm的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅 笔的粗细不计），笔筒内部底面直径为9 cm，内壁高为12 cm，那么这 支铅笔露在笔筒外的部分长度x（cm）的范围为 ⁠. 2≤x≤5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）折叠问题 5. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把长方形纸片沿AC折 叠，点B落在点E处，AE交DC于点F. 若AF＝ cm，则AD的长为 （　C　） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）最值问题 6. 如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点，一只蚂蚁沿正方体的 表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （4）网格作图 7. 动手实践如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，请在 下图中画出一个三角形，使其周长为 ＋ ＋ ，所画图形各顶 点与网格中的小正方形顶点重合. 解：如图所示，△ABC即为所求.（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 应用2　勾股定理的逆定理的应用 8. 科学技术森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着 中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如 图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中 一个着火点，已知AB＝1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m，飞机中心 周围500 m以内可以受到洒水影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ 解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AB＝1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m， ∴AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002. ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是直角三角形. ∴S△ABC＝ AC•BC＝ AB•CD， 即600×800＝1 000CD，解得CD＝480. ∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响，480＜500， ∴着火点C受洒水影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若该飞机的速度为14 m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你 通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 解：（2）如图，当EC＝FC＝500 m时，飞机正好喷到着火点C. 在Rt△CDE中，ED＝ ＝ ＝140（m）. ∴EF＝2ED＝2×140＝280（m）. ∵飞机的速度为14 m/s， ∴280÷14＝20（s）. ∵20＞15， ∴着火点C能被扑灭. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　两种思想 思想1　分类讨论思想 9. 若直角三角形两边的长分别为ɑ，b且满足 ＋｜b－ 4｜＝0，则第三边的长是 ⁠. 3或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 思想2　方程思想 10. 运算能力如图，在Rt△ABC中，P为BC边上一点，已 知△ABC的周长为30，PC＝5，AC＝10，则斜边AB的长为（　D　） A. 13.5 B. 12 C. 13 D. 12.5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 生活应用如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂 直高度DE＝1 m，将它往前推送4 m（水平距离BC＝4 m）时，秋千的 踏板离地的垂直高度BF＝2 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度. 解：在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2. 根据题意，得CD＝CE－DE＝BF－DE＝2－1＝1（m）. 设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x－1）m. 故x2＝42＋（x－1）2，解得x＝8.5. 答：绳索AD的长度是8.5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 教材回归（二）勾股定理与图形面积 如图，分别以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆. 求证：所得两个月形图案AGCE和BHCF的面积之和（图中阴影部分） 等于Rt△ABC的面积. 证明：∵△ABC是直角三角形， ∴AC2＋BC2＝AB2. ∵以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆， ∴S半圆ACB＝ π• AB2，S半圆AEC＝ π• AC2，S半圆CFB＝ π• CB2. ∴S半圆ACB＝S半圆AEC＋S半圆CFB. 又∵S阴影＝S半圆AEC＋S半圆CFB＋SRt△ABC－S半圆ACB，∴S阴影＝ SRt△ABC. ∴所得两个月形图案AGCE和BHCF的面积之和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC的面积. 【针对训练】 1. 古代文如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为 直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　A　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 A 1 2 3 4 5 2. 数学文如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明 了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.该图由四个全等的直角三角形和 一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为ɑ，较 短直角边长为b.若ɑb＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为 （　C　） A. B. 2 C. D. 3 C 1 2 3 4 5 3. 如图，直线l上有三个正方形ɑ，b，c，若ɑ，c的面积分别为5和 11，则b的面积为（　C　） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 C 1 2 3 4 5 4. 如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的 两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图1所示的 “勾股树”.在如图2所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为ɑ，b， c，d，则ɑ2＋b2＋c2＋d2＝ ⁠. 图1 图2 m2　 1 2 3 4 5 5. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积记为S1，以AD为斜边作等腰 直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边长向外作正方形， 其面积记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 025的值为 ⁠. 2－2 022　 1 2 3 4 5 本课结束 $第二十章　勾股定理 20.2　勾股定理的逆定理及其应用 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 如果三角形的三边长ɑ，b，c满足 ，那么这个三角形 是 三角形. 2. 能够成为直角三角形三条边长的三个 ，称为勾股数.例 如，在ɑ2＋b2＝c2中，当ɑ，b，c为 时，称ɑ，b，c为一组 勾股数. ɑ2＋b2＝c2　 直角　 正整数　 正整数　 基础分点训练 　勾股定理的逆定理 1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形 的一组是（　B　） A. 3，4，5 B. 7，12，13 C. 1，1， D. 9，12，15 2. 将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形是（　C　） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 B C 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为ɑ，b，c，且（ɑ＋ b）（ɑ－b）＝c2，则（　A　） A. ∠A为直角 B. ∠C为直角 C. ∠B为直角 D. 不是直角三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 推理能力已知ɑ，b，c是△ABC的三边长，且满足 ＋｜ɑ－b｜＝0，则△ABC的形状为 ⁠ ⁠. 5. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且 点P在△ABC的边AC上，则∠PAB＋∠PBA＝ ⁠°. 等腰直角三角形 45　 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 6. 若ɑ，b，c满足（6－ɑ）2＋ ＋ ＝0. （1）求ɑ，b，c的值； 解：（1）∵（6－ɑ）2＋ ＋ ＝0， ∴6－ɑ＝0，b－8＝0，10－c＝0. ∴ɑ＝6，b＝8，c＝10. （2）以ɑ，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由. 解：（2）以ɑ，b，c为边长能构成直角三角形.理由如下： ∵ɑ2＋b2＝62＋82＝100，c2＝102＝100， ∴ɑ2＋b2＝c2. 即以ɑ，b，c为边长能构成直角三角形. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 　勾股数 7. 数学文我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于 我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股 数”的是（　D　） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 5，10，13 D. 3，4，5 8. 下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（　B　） A. 7 B. 17 C. 19 D. D B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 中档提分升训练 9. 推理能力如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格 点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为 （　B　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 10. 变式题“扬帆”号、“远征”号轮船同时离开港口，各自沿 一固定方向航行，“扬帆”号每小时航行16海里，“远征”号每小时航 行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.若“扬帆”号沿东北 方向航行，则“远征”号的航行方向是（　D　） A. 西南方向 B. 西北方向 C. 东南方向 D. 西北方向或东南方向 D 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 11. （2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研 究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简了勾 股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则 写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④ 9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ⁠. 11，60，61　 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 12. 分类讨论思想如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角 形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移 动，它们的速度分别为2 cm/s和1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点 停止运动，设点P的运动时间为t s，则当t＝ s时，△PBQ为 直角三角形. 或 　 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 13. 应用意识如图是一块形状为四边形的试验田，在四边形 ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝13，BC＝8，CD＝4 ，AD＝5， 请你帮助农民伯伯计算这块试验田的面积. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 解：在Rt△BCD中，∠BCD＝90°， 根据勾股定理，得 BD＝ ＝ ＝ ＝12. 在△ABD中，AD2＋BD2＝52＋122＝25＋144＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2＋BD2＝AB2. ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝ ＋ ＝ ＋ ＝16 ＋30. 答：这块试验田的面积为16 ＋30. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 拓展素养训练 14. 如图，在△ABC中，AB＝6 ，AC＝12，BC＝6，将△ABC折 叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE 的长为（　B　） A. 4 B. C. 5 D. 3 B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 本课结束 $第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 第3课时　利用勾股定理作图与计算 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较容易找到它的 对应点.若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难.我们可借助 ⁠ 作出长为 （n为大于1的整数）的线段. 实数　 勾 股定理　 基础分点训练 　在数轴上表示无理数 1. 如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为2，AB⊥BC，垂足 为B，且BC＝3，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于 点D，则点D表示的数为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 动手实践在数轴上作出表示 的点. 解：如图所示，在数轴上找出表示3的点 A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于 OA，在直线l上取点B，使AB＝1，以原 点O为圆心，以OB的长为半径作弧，弧 与数轴的交点C即为表示 的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　勾股定理与网格作图 3. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都 是格点，则线段AB的长度为（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，网格中小正方形的边长为1，则△ABC的周长为（　B　） A. 16 B. 12＋4 C. 7＋7 D. 5＋11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　等腰三角形中的勾股定理 6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，若AB ＝AC＝4，则AD的长是（　C　） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（　B　） A. （1，1） B. （1， ） C. （ ，1） D. （ ， ） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 中档提分升训练 8. 如图，数轴上点A表示的数为－1，点C表示的数为1，BC⊥AC， 且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′， 则点B′所表示的数为（　A　） A. －1 B. － ＋1 C. ＋1 D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 变式题如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，OA0＝A0A1 ＝A1A2＝…＝1，则第n个直角三角形的面积为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 为了比较 ＋1与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推 算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可 得 ＋1 .（填“＞”“＜”或“＝”） ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 动手实践如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形. （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； 解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求. 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　图3 （2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； 解：（2）如图2所示，Rt△DEF即为所求. （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是5. 解：（3）如图3所示，正方形PQRS即为所求. （答案不唯一） 　图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓展素养训练 12. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝ CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE 上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1）直接写出线段AE和BD之间的关系； 解：（1）AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下： ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD， ∴∠ECA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝ 45°，∠CAB＝∠CBA＝45°. ∴∠ECA＝∠DCB. ∵CE＝CD，CA＝CB，∴△ECA≌△DCB. ∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB. ∴∠ADB＝∠CDB＋∠EDC＝∠CEA＋∠EDC＝90°. ∴AE⊥BD. 即AE＝BD，AE⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）猜想线段AE，AD，AC之间的数量关系，并证明你的猜想； 解：（2）AE2＋AD2＝2AC2.证明如下： ∵△ADB是直角三角形， ∴AD2＋BD2＝AB2. ∵AE＝BD，AB2＝AC2＋BC2，AC＝BC， ∴AE2＋AD2＝2AC2. （3）若AE＝ ，AD＝ ，则AC的长为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 $第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 第2课时　勾股定理的应用 01 基础分点训练 02 中档提分升训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 　勾股定理的应用 1. 生活应用如图是从草原上的蒙古包前面看到的图形，蒙古包 底面直径是12米，中间最高点D距地面4.5米，则AD的长度为 （　D　） A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 生活应用如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距 地面6 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝8 m，则树高为 （　C　） A. 8 m B. 10 m C. 16 m D. 18 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 生活应用如图，小巷左右两侧是竖直的墙面，一架梯子斜靠 在左墙面时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m. 如果保持梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在右墙面时，顶端距离地面 2 m，那么小巷的宽度为（　C　） A. 0.7 m B. 1.5 m C. 2.2 m D. 2.4 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两棵树相距8 m，一 只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞 行 m. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 应用意识如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感 应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感 应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2 米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？ 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB－BE＝2.5－1.6＝0.9（米）. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得 AD＝ ＝ ＝1.5 . 答：AD为1.5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　利用勾股定理求两点间的距离 6. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），B（1，0），C（0， 1），则B，C两点之间的距离是 ，A，C两点之间的距离 是 ，A，B两点之间的距离是 ⁠. 　 5　 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中档提分升训练 7. 变式题《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一 丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几 何？”题意是有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂 直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如 图），则水深为 尺. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 生活应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉 船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直 的，结果保留根号） 解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米， ∴AB＝ ＝ ＝12（米）. ∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴CD＝13－0.5×10＝8（米）. ∴AD＝ ＝ ＝ （米）. ∴BD＝AB－AD＝（12－ ）米. 答：船向岸边移动了（12－ ）米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 拓展素养训练 9. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以 200 km/h的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内 是受台风影响的区域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ 解：（1）A城会受到这次台风的影响.理由如下： 如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M. 在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600 km， ∴AM＝ AB＝ ×600＝300（km）. ∵300＜500，∴A城会受到这次台风的影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多 长时间？ 解： （2）如图，在BC上分别取两点D，G，连接DA，GA，使DA＝GA＝500 km. ∵DA＝GA，∴△ADG是等腰三角形. ∵AM⊥BC， ∴AM是DG的垂直平分线.∴MD＝MG. 在Rt△ADM中，DA＝500 km，AM＝300 km， 根据勾股定理，得MD＝ ＝ ＝400（km）. 则DG＝2MD＝2×400＝800（km）. ∴A城遭受这次台风影响的时间＝800÷200＝4（h）. 答：A城遭受这次台风影响的时间为4 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本课结束 $