精品解析：福建省罗源第一中学2025—2026学年第二学期三月份适应性训练 九年级数学试卷

2025—2026学年第二学期三月份适应性训练九年级数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，不要错位、越界答题． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 我国新能源汽车产业独占鳌头，已连续11年蝉联全球产销量榜首，堪称引领全球绿色出行变革的“中国智造”新标杆．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图所示的陀螺是由圆锥与圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据俯视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：陀螺的俯视图是： 故选：D． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，∴抽到的两个素数之和小于10的概率为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键． 6. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 7. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 某学校整修校门口的道路，但是在实际施工时，调整了施工进度，设原计划每天整修道路，根据等量关系列出方程 ，则符合这个方程的是（ ） A. 实际每天比原计划多修，结果延期天完成 B. 实际每天比原计划多修，结果提前天完成 C. 实际每天比累计划少修，结果延期天完成 D. 实际每天比原计划少修，结果提前天完成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．由代表的含义找出代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【详解】解：设原计划每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， 方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， 原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成． 故选：B． 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 10. 已知点，，，，均在函数的图象上，若且，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据二次函数的解析式可得该函数图象的开口向上，对称轴为直线，根据且，可得，且该函数图象分布在x轴的上方与下方，即图象与x轴有两个交点，根据根的判别式得到，求出图象与x轴的交点坐标为，，又，，可得当时，，判断出，即可得到． 【详解】解：函数的图象的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∵当时，，当时，， ∴函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴令，即， 解得，， ∴函数的图象与x轴的交点坐标为，， ∵， ∴，， ∴当时，， ∴， ∴， ∵当时，，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴． 故选：D 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 要使式子有意义，x的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中被开方数为非负数，根据二次根式有意义的条件可知被开方数为非负数，可得，解不等式即可得到x的取值范围. 【详解】解：根据题意：， 则， 故答案为：． 12. 如图，均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；由网格可知：，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接 由网格可知， ， ， 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程的根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程的根满足原方程得到的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】是一元二次方程的根， 将代入原方程得：， 整理得， ． 14. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 15. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，作轴于M，轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论． 【详解】解：作轴于M，轴于N， ∵点A在图象上，连接交图象于点B， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为： 16. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角定理、平行线的性质等．过点E作交于点F，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得，即，再证明，然后运用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图：过点E作交于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∵， 是等腰直角三角形， ，， ． ，， ． ∵， ， ， ， ∴， ． ， ，解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分86分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则． 此题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，平分，交于点；平分，交于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴， 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 某小学积极倡导阳光体育运动，提高小学生身体素质，开展跳绳比赛，若规定标准数量为每人每分钟100个，表一为该校一年级40人参加跳绳比赛的情况． 表一 跳绳个数与标准数量的差值 人数 （1）该校一年级人跳绳个数的众数是 个： （2）该校一年级人一分钟内平均每人跳绳多少个？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】】本题考查了正负数的意义，众数以及加权平均数，掌握相关定义与计算公式是解题的关键． （1）根据正负数的意义以及众数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 规定标准数量为每人每分钟100个， 一年级人跳绳个数中出现次数最多的是，故众数为； 故答案为：． 【小问2详解】 解： （个）， 答：该校一年级人一分钟内平均每人跳绳个 21. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 （2）每天乙文创产品增加的数量是个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． 【小问2详解】 解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 22. 如图，已知的两边与以为直径的圆交于，两点． （1）在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1） 的条件下， 若 ，求的长． 【答案】（1） 点即为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）作是平分线交于，点即为所作； （2）由（1）可知，，由，可得，可求，由勾股定理得，，证明，则，设，由，，可得，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作是平分线交于， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 如图1，作于， ∴， ∴点即为所作； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正切的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1） 证明：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）证明：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 项目主题：设计客厅窗户的遮阳篷 项目背景：小明家客厅的窗户朝南，窗户的高度米，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 （1）如图，小明设计了一个直角形遮阳篷 ，点在 的延长线上，且，同时他观察发现此地正午时刻太阳光与地面的最小夹角，最大夹角，请你为小明家的窗户设计一个直角形遮阳篷，同时满足下面两个条件： ①为拥有冬天温暖的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好射入室内；太阳光与平行 ②为遮挡夏天炎热的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好不射入室内．太阳光与平行 请求出直角形遮阳篷中的长． 方案2：抛物线形遮阳篷 （2）如图， 若 米，米，为了美观及实用性，小明决定设计抛物线形可伸缩的遮阳篷，其中点为抛物线的顶点，且，点 可沿着抛物线收缩至点．若某时刻太阳光与水平地面夹角，为使阳光最大限度地射入室内，求点上升高度的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）根据已知得出，在中，根据即可求解． （2）以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，根据题意得出，得出抛物线解析式为进而根据设，则，代入抛物线解析式，求得的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，， ∴ ∴ 在中， 【小问2详解】 如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系， 由F为抛物线顶点，可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， 由二次函数对称性可知， 设二次函数为：，代入得：， 解得， ∴关于的关系式为：； 依题意，光线与水平方向的夹角为，过作轴的垂线交轴于点，过作轴的垂线，两条垂线交于点． ∴ ∴ 设，则 代入得， 解得： ∴ 25. 如图1，点是外接圆上的一点，于，连接，，，过点作直线交于，交于．若点是的中点． （1）求证：； （2）若的半径为5，求的长； （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得和，利用等弧对等角的关系，得和，所以，等角对等边即可得出结论； （2）过作于，连接，由，结合（1）得出的，可推出，进而推出，由得，等腰三角形的性质得，结合已知半径，在中，，推出，即可求得长； （3）过作于，连接，同（2）推出，在中，得到与的关系即，设，，利用角度关系表示出和，在中用勾股定理推出与的关系为，即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于，连接， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ，是中点， ， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 解：过作于，连接， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，是中点， ， 在中，，即 ， 设，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中即，整理得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期三月份适应性训练九年级数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，不要错位、越界答题． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 我国新能源汽车产业独占鳌头，已连续11年蝉联全球产销量榜首，堪称引领全球绿色出行变革的“中国智造”新标杆．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图所示的陀螺是由圆锥与圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校整修校门口的道路，但是在实际施工时，调整了施工进度，设原计划每天整修道路，根据等量关系列出方程 ，则符合这个方程的是（ ） A. 实际每天比原计划多修，结果延期天完成 B. 实际每天比原计划多修，结果提前天完成 C. 实际每天比累计划少修，结果延期天完成 D. 实际每天比原计划少修，结果提前天完成 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，，，均在函数的图象上，若且，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 要使式子有意义，x的取值范围是_________ 12. 如图，均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为__________． 13. 已知是一元二次方程的根，则的值为______． 14. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是____． 15. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 16. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是________． 三、解答题（共9小题，满分86分．） 17. 计算：． 18. 如图，在中，平分，交于点；平分，交于点．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某小学积极倡导阳光体育运动，提高小学生身体素质，开展跳绳比赛，若规定标准数量为每人每分钟100个，表一为该校一年级40人参加跳绳比赛的情况． 表一 跳绳个数与标准数量的差值 人数 （1）该校一年级人跳绳个数的众数是 个： （2）该校一年级人一分钟内平均每人跳绳多少个？ 21. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 22. 如图，已知的两边与以为直径的圆交于，两点． （1）在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1） 的条件下， 若 ，求的长． 23. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 24. 项目主题：设计客厅窗户的遮阳篷 项目背景：小明家客厅的窗户朝南，窗户的高度米，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 （1）如图，小明设计了一个直角形遮阳篷 ，点在 的延长线上，且，同时他观察发现此地正午时刻太阳光与地面的最小夹角，最大夹角，请你为小明家的窗户设计一个直角形遮阳篷，同时满足下面两个条件： ①为拥有冬天温暖的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好射入室内；太阳光与平行 ②为遮挡夏天炎热的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好不射入室内．太阳光与平行 请求出直角形遮阳篷中的长． 方案2：抛物线形遮阳篷 （2）如图， 若 米，米，为了美观及实用性，小明决定设计抛物线形可伸缩的遮阳篷，其中点为抛物线的顶点，且，点 可沿着抛物线收缩至点．若某时刻太阳光与水平地面夹角，为使阳光最大限度地射入室内，求点上升高度的最小值． 25. 如图1，点是外接圆上的一点，于，连接，，，过点作直线交于，交于．若点是的中点． （1）求证：； （2）若的半径为5，求的长； （3）如图2，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $