精品解析：福建省福州市罗源滨海学校 2024-2025 学年下学期3月适应性练习九年级数学试题

罗源滨海学校2024-2025学年第二学期3月适应性练习 九年级数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题4分，共40分，） 1. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货4件应记作（ ） A. B. C. D. 4 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是福建省四个城市Logo，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系，点的坐标为是由绕点逆时针旋转得到的，是由向右平移得到，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 10. 如图，边长为的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接和，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 写出不等式的一个解：________． 12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 13. 在一个不透明的口袋中装有5个球，分别标记为1，2，3，4，5，它们除数字外无其他差别． 小明从口袋中随机摸出一个球后摇匀，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球．则摸到的数字小红比小明大的概率是______． 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____． 15. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于________． 16. 已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是________． 三．解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，在中，，，于点E，且．求证：． 19. 先化简，再求值；，其中． 20. 某校为了培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动．为了解本次宣讲活动效果，现从八年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表： 宣讲前平均每周劳动时间频数分布表 组别 平均每周劳动时间t/min 频数 频率 10 16 11 6 2 合计 1 宣讲后平均每周劳动时间频数分布直方图 注：每组数据含左端点值，不含右端点值 请根据图表中的信息，解答下列问题 （1）宣讲前频数分布表中，______，平均每周劳动时间的中位数落在______组； （2）求宣讲后平均每周劳动时间的平均数（每组中各个数据用该组的中间值代替，如90~120的中间值为105）； （3）教育部规定中学生每周劳动时间不低于3小时，若该校八年级共有600名学生，则宣讲后八年级约有多少名学生达到要求？ 21. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的3倍，每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶600斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和15名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 22. 如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点． （1）如图1中，在边上求作一点，使得沿着折叠后，点落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2中，在（1）的条件下，点的对应点为点，若，求的值． 23. “三山两塔一条江”是福州城市的特色．白塔，原名报恩定光多宝塔，简称“定光塔”．为了测量福州市定光塔的高度，两个数学研学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量定光塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，平面镜 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 测量方案与测量数据 在M处放一个平面镜，甲同学在A处刚好在平面镜中看到定光塔顶C，测得甲的眼睛到地面的高度米，甲到平面镜的距离米，米（点A，M，D在同一条直线上，，，平面镜大小忽略不计） 乙同学步行至点A处，测得此时定光塔顶C的仰角，再从A处沿测量方案方向步行36米至点B处，此时测得定光塔顶C的仰角（点A，B，D在同一条直线上， 参考数据 ，，，，， （1）由第一小组方案和数据，直接表示出定光塔的高为________（用字母a，b，c表示）． （2）第一小组求得所用的几何知识是________． （3）请根据第二小组方案和数据，计算出定光塔的高（精确到1米）． 24. 如图，抛物线经过点，且与直线交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的面积； （3）已知垂直轴于点，垂直轴于点，求证：． 25. 如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G． （1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形； （2）求证：D、F、E三点共线； （3）当BG＝2EG时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗源滨海学校2024-2025学年第二学期3月适应性练习 九年级数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题4分，共40分，） 1. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货4件应记作（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴进货10件记作，那么出货4件应记作． 故答案为：C． 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列是福建省四个城市Logo，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 4. 下面运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用合并同类项法则，同底数幂除法法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】A 【解析】 【分析】估算出的取值范围即可判断在数轴上对应的点． 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上对应的点可能是点A． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确估算出的取值范围是解答本题的关键． 6. 将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”，根据所得的顶点式，即可求解， 本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移2个单位长度，得：， 平移后的函数图像顶点坐标为：， 故选：． 7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，四边形内角和定理．连接，由切线的性质可得，由四边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系，点的坐标为是由绕点逆时针旋转得到的，是由向右平移得到，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平移的性质，旋转的性质．作轴于点，在中，利用三角函数求得和的长，据此即可求解． 【详解】解：作轴于点，由题意得，，， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 9. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 10. 如图，边长为的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接和，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形性质可得，，，由旋转的性质可得，， 证明，从而得到，，继而得到，再由勾股定理可得，然后设设，则，，，然后根据勾股定理，再解方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 写出不等式的一个解：________． 【答案】（答案不唯一，符合即可） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后写出符合条件的一个解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的一个解为：， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=×6=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 13. 在一个不透明的口袋中装有5个球，分别标记为1，2，3，4，5，它们除数字外无其他差别． 小明从口袋中随机摸出一个球后摇匀，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球．则摸到的数字小红比小明大的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意列表格，然后由表格求得摸到的数字小红比小明大的概率即可． 【详解】列表得： 1 2 3 4 5 1 （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） 2 （2,1） （2,3） （2,4） （2,5） 3 （3,1） （3,2） （3,4） （3,5） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,5） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） ∵共有20种机会均等的情况，其中摸到的数字小红比小明大的有10种情况， ∴摸到的数字小红比小明大的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ，相似比为， 与的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，由弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的长， ∴“莱洛三角形”的周长等于的长． 故答案为：． 16. 已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将解析式化成顶点式，然后根据题意可得可求得的取值范围，再结合可知，进而得到可得，最后再结合即可解答． 【详解】解： ∵ ∴，即，解得：或， ∵ ∴ ∴，即，解得： 又∵ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次不等式、等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键． 三．解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据去绝对值，算术平方根，零整数指数幂法则进行计算，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，，于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵ ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴ 【解析】 【分析】通过“”证明，即可求解． 【详解】略 19. 先化简，再求值；，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 20. 某校为了培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动．为了解本次宣讲活动效果，现从八年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表： 宣讲前平均每周劳动时间频数分布表 组别 平均每周劳动时间t/min 频数 频率 10 16 11 6 2 合计 1 宣讲后平均每周劳动时间频数分布直方图 注：每组数据含左端点值，不含右端点值 请根据图表中的信息，解答下列问题 （1）宣讲前频数分布表中，______，平均每周劳动时间的中位数落在______组； （2）求宣讲后平均每周劳动时间的平均数（每组中各个数据用该组的中间值代替，如90~120的中间值为105）； （3）教育部规定中学生每周劳动时间不低于3小时，若该校八年级共有600名学生，则宣讲后八年级约有多少名学生达到要求？ 【答案】（1）5，B （2） （3）384名 【解析】 【分析】（1）由A组人数除以其占比可得总人数，再由总人数乘以E组的占比可得a的值，再根据中位数的含义可得中位数的答案； （2）利用加权平均数公式进行计算即可； （3）由600乘以学生每周劳动时间不低于3小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴（人）； 50个按照从小到大排序后第25个，第26个数据落在B组， ∴中位数落在B组内． 【小问2详解】 答：宣讲后平均每周劳动时间的平均数是． 【小问3详解】 （名）， 答：宣讲后该校八年级约有384名学生达到要求． 【点睛】本题考查的是频数分布表与频数直方图，平均数的含义，中位数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 21. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的3倍，每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶600斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和15名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【答案】（1）每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤 （2）茶厂应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少 【解析】 【分析】（1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天可得等量关系列出分式方程解出． （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案． 【小问1详解】 设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶3x斤， 根据题意得： 解得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解， 则熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶是：10×3＝30（斤）． 答：每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤． 【小问2详解】 设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 所以每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，依题意得， ， ． 6分 因为-20<0，所以y随m的增大而减小， 因为，且m为整数， 所以，当时，y有最小值， （名）． ∴茶厂一天应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用及利用一次函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． 22. 如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点． （1）如图1中，在边上求作一点，使得沿着折叠后，点落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2中，在（1）的条件下，点的对应点为点，若，求的值． 【答案】（1） 如图，是所求作的点．     （2） 【解析】 【分析】（1）点的对应点为，则有，以为圆心，长为半径画弧，交线段于，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作的垂直平分线即可求解； （2）可证，从而可得，设，，可得，从而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， 设，，则有 ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，折叠的性质，矩形的性质，三角形相似的判定及性质，解一元二次方程，掌握作法，相关判定方法及性质是解题的关键． 23. “三山两塔一条江”是福州城市的特色．白塔，原名报恩定光多宝塔，简称“定光塔”．为了测量福州市定光塔的高度，两个数学研学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量定光塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，平面镜 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 测量方案与测量数据 在M处放一个平面镜，甲同学在A处刚好在平面镜中看到定光塔顶C，测得甲的眼睛到地面的高度米，甲到平面镜的距离米，米（点A，M，D在同一条直线上，，，平面镜大小忽略不计） 乙同学步行至点A处，测得此时定光塔顶C的仰角，再从A处沿测量方案方向步行36米至点B处，此时测得定光塔顶C的仰角（点A，B，D在同一条直线上， 参考数据 ，，，，， （1）由第一小组方案和数据，直接表示出定光塔的高为________（用字母a，b，c表示）． （2）第一小组求得所用的几何知识是________． （3）请根据第二小组方案和数据，计算出定光塔的高（精确到1米）． 【答案】（1） （2）相似三角形的判定与性质 （3）定光塔的高度约为41米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． （2）由（1）可知第一小组求得所用的几何知识； （3）根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于x的方程，进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∴， ∴， 又米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知，第一小组求得所用的几何知识是：相似三角形的判定与性质， 故答案为：相似三角形的判定与性质； 【小问3详解】 解：设米，则米， 在中，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 解得，， ∴米， 所以，定光塔的高度约为41米 24. 如图，抛物线经过点，且与直线交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的面积； （3）已知垂直轴于点，垂直轴于点，求证：． 【答案】（1） （2）6 （3） 设点，的坐标分别为，， 由得， 由根与系数的关系，得：． 因为，，，， 所以，． 所以，． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，把代入得a的值，即可求出二次函数的解析式； （2）当时，先求出直线解析式，然后联立解得直线和抛物线的交点B、C，求出所在直线的函数解析式，再求出该直线与y轴的交点M，最后求出面积； （3）先设出点，的坐标，然后联立得，然后根据根与系数的关系求出，，，，最后代入化简即可． 【小问1详解】 解：把代入得，，解得，， 所以，二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，直线解析式为． 联立，得，解得，． 不妨设点的坐标为，则点的坐标为． 设所在直线的函数解析式为， 将，代入得，解得， 所以，直线的解析式为． 设直线与y轴交于点，则，所以， 所以，． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数围成三角形的面积，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. 如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G． （1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形； （2）求证：D、F、E三点共线； （3）当BG＝2EG时，求的值． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ∴，， 绕点B逆时针旋转至△BAF， ∴，， ∴△BDF是等边三角形． （2） 证明：连接DE，如图所示： ∵△BDF是等边三角形， ∴． ∵CD平移得到BE， ∴DE∥BC，， ∴， ∴， ∴点F在DE上， 即D，E，F三点共线． （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到； （2）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到； （3）由平移的性质可得EF∥BC，得到△GEF∽△GBH，再利用边之间的关系得到△ADF∽△ABH，利用相似三角形的性质得到AB与BE的长度，进而解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长AG，CB交于点H，如图所示： ∵EF∥BC， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵DF∥BH， ， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴，即D为AB中点， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∴． ∵BE∥CD， ∴， 在Rt△ABE中，． 【点睛】本题考查了平移旋转的性质及等边三角形的性质，根据平移旋转的性质找到不变的量是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $