第二十一章　四边形课件 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.1　平行四边形及其性质　 第2课时　平行四边形性质的综合运用 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 目 录 学霸笔记 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫作这 两条平行线之间的距离. 距离　 基础分点训练 　平行四边形性质的综合运用 1. （2025•武威期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O. 若AC＝12，BD＝8，则边AB的长度可能是（　B　） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 B 1 2 3 4 5 6 2. 应用意识如图，公园有一块绿地，它的形状是平行四边 形，在绿地上要修几条笔直的小路.已知AB＝15 m，AD＝12 m， AC⊥BC. 求： 1 2 3 4 5 6 （1）小路BC，CD，OC的长； 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝15 m，BC＝AD＝12 m， OC＝OA＝ AC. ∵AC⊥BC， ∴AC＝ ＝ ＝9（m）. ∴OC＝ AC＝ ×9＝4.5（m）. 答：小路BC，CD，OC的长分别为12 m，15 m，4.5 m. 1 2 3 4 5 6 （2）绿地的面积；（含小路） 解： （2）S绿地＝BC•AC＝12×9＝108（m2）. 答：绿地的面积为108 m2. 1 2 3 4 5 6 （3）AB，CD之间的距离. 解： （3）设AB，CD之间的距离为x m. 根据（2），得绿地的面积为108 m2. ∴CD•x＝108. 根据（1），得CD＝15 m. ∴15x＝108. 解得x＝7.2. 答：AB，CD之间的距离为7.2 m. 1 2 3 4 5 6 　平行线间的距离 3. 如图，已知直线l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错 误的是（　C　） A. l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B. CE＝FG C. 线段CD的长度就是l1与l2之间的距离 D. AC＝BD C 1 2 3 4 5 6 中档提分升训练 4. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为 E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 5. 如图，直线l1∥l2，l1和线段AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50 cm，则两平行线之间的距离是 cm. 25 　 1 2 3 4 5 6 6. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EO⊥AC交BC 于点E，连接AE. （1）若△ABE的周长为10 cm，求▱ABCD的周长； 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. ∵EO⊥AC， ∴AE＝CE. ∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝10 cm. ∴▱ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2×10＝20（cm）. 1 2 3 4 5 6 （2）若∠DAB＝108°，AE平分∠BAC，试求∠ACB的度数. 解：（2）∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE. ∵AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ACE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠ACB＝∠CAD. ∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAD. ∵∠DAB＝∠BAE＋∠CAE＋∠CAD＝108°， ∴3∠CAD＝108°. ∴∠CAD＝36°. ∴∠ACB＝∠CAD＝36°. 1 2 3 4 5 6 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.2　菱形　第2课时　菱形的判定 01 基础分点训练 02 中档提分升训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 　有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1. 下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　B　） A. AB＝CD B. AB＝BC C. ∠BAD＝90° D. AC＝BD B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点， AE∥BC，CE∥AD. 求证：四边形ADCE是菱形. 证明：∵AE∥BC，CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝ BC＝CD. ∴平行四边形ADCE是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使 得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　B　） A. ∠ABC＝90° B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB∥CD B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. （2025•长春）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：▱ABCD是菱形. 证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴AB2＝OA2＋OB2. ∴∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　四条边相等的四边形是菱形 5. 开放性试题如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F 分别是AB，AC的中点，当△ABC满足 ⁠ 时，四边形AEDF是菱形.（只填一个） AB＝AC或∠B＝∠C或BD ＝CD（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条 弧分别相交于点B和点D. 依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于 点O. 判断四边形ABCD的形状，并说明理由. 解：四边形ABCD为菱形.理由如下： 根据题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5. ∴四边形ABCD为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中档提分升训练 7. 开放性试题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四 边形ABCD为菱形. AC⊥BD（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 运算能力如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作 DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1）求证：四边形BEDF是菱形； 解：（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形DEBF是平行四边形. ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBF＝ ∠ABC. ∴∠ABD＝∠EDB. ∴BE＝DE. ∴四边形BEDF是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边 长. 解：（2）如图，过点D作DH⊥BC于点H. ∵DF∥AB， ∴∠DFC＝∠ABC＝60°. ∵DH⊥BC， ∴∠DHF＝90°. ∴∠FDH＝90°－∠DFC＝90°－60°＝30°. ∴FH＝ DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴DH＝ ＝ ＝ DF. ∵∠C＝45°，DH⊥BC， ∴∠HDC＝∠C＝45°.∴DH＝HC. ∴DC＝ DH＝ × DF＝6，解得DF＝2 . ∴菱形BEDF的边长为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 拓展素养训练 9. 推理能力如图，∠ACB＝60°，点P为∠ACB平分线上 的一点，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E. 点M是线段CP上的一个 动点（不与点C，P重合），连接DM，EM. （1）求证：DM＝EM； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点， PD⊥AC，PE⊥BC， ∴PD＝PE，∠DCM＝∠ECM. 在Rt△DCP和Rt△ECP中， ​ ∴Rt△DCP≌Rt△ECP（HL）.∴CD＝CE. 在△DCM和△ECM中， ​ ∴△DCM≌△ECM（SAS）.∴DM＝EM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说 明理由. 解：（2）当点M运动到线段CP的中点时，四边形 PDME为菱形.理由如下： ∵点P为∠ACB平分线上一点， ∴∠DCP＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°. ∴PC＝2PD，∠CPD＝90°－∠DCP＝90°－30° ＝60°. ∵PD＝PE，DM＝EM， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴当DM＝PD时，PD＝PE＝DM＝EM，则四边形PDME为菱形. 此时，△PDM为等边三角形.∴PD＝PM. 又∵PC＝2PD，∴CM＝PM. ∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本课结束 $第二十一章　四边形 21.1　四边形及多边形 21.1.1　四边形及其内角和 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 在 内，由不在同一直线上的四条线段 ⁠相接组 成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的 ，每 相邻两条线段的公共端点叫作四边形的 ⁠. 2. 连接四边形不相邻的两个顶点的 ，叫作四边形的 ⁠ ⁠. 3. 四边形相邻两边组成的角叫作四边形的 ，简称四边形的 角；四边形的角与另一边的延长线组成的角叫作四边形的 ⁠. 4. 四边形的内角和等于 ⁠. 5. 四边形的外角和等于 ⁠. 6. 四边形具有 ⁠. 平面　 首尾顺次　 边　 顶点　 线段　 对角线 内角　 外角　 360°　 360°　 不稳定性　 基础分点训练 　四边形的相关概念 1. 如图，该四边形的顶点分别是 ，边分别 是 ，对角线是 ⁠. A，B，C，D　 AB，BC，CD，AD　 AC，BD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　四边形内角和及外角和 2. 若四边形的内角中有一个角为60°，则其余三个内角之和 为 ⁠. 3. 变式题求下列图形中x的值. 解：∵四边形的内角和等于360°， ∴（180－x）＋120＋75＋80＝360. 解得x＝95. 300°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　四边形的性质 4. 航空航天2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用 与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩 自如，灵活性强，其原理主要是运用了（　B　） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 下列图形中，具有稳定性的是（　D　） A B C D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中档提分升训练 6. 如果一个四边形的一组对角互补，那么它的另一组对角的关系是 （　B　） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 大小关系不能确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 变式题下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是 ⁠ ⁠. ①和② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 直接写出下列图形中x的值. （1）图1：x＝ ⁠； （2）图2：x＝ ⁠. 50　 65　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 新定义试题我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不 相等的凸四边形叫作“等对角四边形”.已知：如图，四边形ABCD是 “等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠B＝80°.求∠C， ∠D的度数. 解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C， ∴∠D＝∠B＝80°. ∵∠A＝75°， ∴∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－75°－80°－80°＝ 125°. ∴∠C，∠D的度数分别为125°，80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 拓展素养训练 10. 新定义试题规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧 四边形.例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D ＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形. （1）如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A， ∠B，∠C的比是4∶3∶2，则∠D的度数为 ⁠； 90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋ ∠A，△ABC的 两个外角∠MBC，∠BCN的角平分线交于点E，判断四边形DBEC是 否为智慧四边形，并说明理由. 解：（2）四边形DBEC为智慧四边形.理由如下： ∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的角平分线交于点E， ∴∠CBE＝ ∠MBC，∠BCE＝ ∠NCB. ∴∠CBE＋∠BCE＝ ∠MBC＋ ∠NCB ＝ （∠MBC＋∠NCB） ＝ （180°－∠ABC＋180°－∠ACB） ＝ （180°＋∠A） ＝90°＋ ∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴90°＋ ∠A＋∠E＝180°. 又∵∠BDC＝90°＋ ∠A， ∴∠BDC＋∠E＝180°. ∴四边形DBEC为智慧四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 教材回归（五)　 平行四边形及特殊的平行四边形中的折叠问题 如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作30°的角，可以采用下面的（如图所示）： （1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片 展平. （2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折 痕BM. 同时得到了线段BN，把纸片展平. 由此得到∠ABM，∠MBN和∠NBC都是30°， 请你写出证明过程. 证明：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF， ∴BE＝ AB，∠BEF＝∠AEF＝90°. ∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕 BM，同时得到了线段BN， ∴AB＝BN. ∴BE＝ BN. ∵∠BEN＝90°， ∴∠BNE＝30°. ∴∠ABN＝90°－∠BNE＝90°－30°＝60°. ∴∠NBC＝∠ABC－∠ABN＝90°－60°＝30°. 根据折叠的性质，得∠ABM＝∠MBN＝30°. ∴∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°. 【针对训练】 　平行四边形的折叠 1. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的 延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为 （　C　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 C 1 2 3 4 　矩形的折叠 2. 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′ 处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于（　C　） A. 66° B. 60° C. 57° D. 48° C 1 2 3 4 　菱形的折叠 3. 如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝 隙无重叠的四边形EFGH. 若EF＝4，EH＝3，则AB＝ ⁠. 5　 1 2 3 4 　正方形的折叠 4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边BC 上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是 （　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 1 2 3 4 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.3　三角形的中位线 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 目 录 学霸笔记 1. 三角形的中位线的定义：连接三角形两边 ⁠的线段叫作三角 形的中位线. 2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线 ⁠于三角形的第三 边，并且等于第三边的 ⁠. 中点　 平行　 一半　 基础分点训练 　三角形的中位线 1. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝ 45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　D　） A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA， CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　） A. B. 1 C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，BE＝ 3，DF＝1，则BC的长度为 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　三角形中位线定理的应用 4. （2024•兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观 之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D， E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为 （　C　） A. 18 m B. 24 m C. 36 m D. 54 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 生活应用如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点 O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地 时，另一端B离地面的高度为 cm. 80　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中档提分升训练 6. （2025•资阳）三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成 的三角形的周长是（　B　） A. 12 cm B. 24 cm C. 28 cm D. 30 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. （2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中 点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 110° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC， 连接AD，E，F分别为AC，AD的中点，连接EF，若∠ACD＝ 120°，则线段EF的长度为 ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 推理能力如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB 的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF. （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； 解：（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC，BC＝2DE. ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF. ∴DE＝BF. 又∵DE∥BF， ∴四边形DEFB是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，求四边形DEFB的 周长. 解：（2）根据（1），得BC＝2DE＝2×4＝8（cm），BF＝DE ＝4 cm，四边形DEFB是平行四边形. ∴BD＝EF. ∵D是AC的中点，AC＝12 cm， ∴CD＝ AC＝ ×12＝6（cm）. ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝ ＝ ＝10（cm）. ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE＋BD）＝2× （4＋10）＝28（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.3　三角形的中位线　 微专题2　构选中位钱巧解题 1　若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边 构造中位线 1. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF， 连接EF，AD＝3，CD＝2，则EF的长为 ⁠. 　 1 2 3 4 2　单中点，补形构造三角形中位线 2. 如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ACB＝120°，D是边AB的中 点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 （　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 3　四边形对边中点问题，往往取一条对角线的中点，与另两 个中点相连，构造双中位线 3. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，且 AD＝6，BC＝10，则线段EF的长可能为（　A　） A. 7 B. 8.5 C. 9 D. 10 A 1 2 3 4 4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°， ∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长 为 ⁠. 　 1 2 3 4 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.2　菱形　第1课时　菱形的性质 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 菱形的定义：有一组 相等的平行四边形叫作菱形. 2. 菱形的性质：菱形的四条边都 ；菱形的两条对角线互 相 ，且每一条对角线 ；菱形是轴对称图 形，它的 就是它的对称轴. 3. 菱形的面积等于底乘 ⁠. 4. 菱形的面积等于两条对角线 ⁠. 邻边　 相等　 垂直平分　 平分一组对角　 对角线所在的直线　 高　 乘积的一半　 基础分点训练 　菱形的定义与性质 1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　D　） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直且相等 D. 对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（　A　） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. （2024•临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在 x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 （　C　） A. （－4，2） B. （－ ，4） C. （－2，4） D. （－4， ） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝ 10，则菱形ABCD的周长为 ⁠. 52　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 推理能力如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD 上，且CE＝CF. 求证：∠BAE＝∠DAF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC＝CD. ∵CE＝CF， ∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF. 在△ABE和△ADF中，​ ∴△ABE≌△ADF（SAS）. ∴∠BAE＝∠DAF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　菱形的面积 6. （2025•云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相 交于点O. 若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 ⁠. 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中档提分升训练 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC ＝8，直线OE⊥AB于点E，且交CD于点F，则EF的长为（　A　） A. 4.8 B. 2 C. 5 D. 6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 （　A　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. （2025•青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为 AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 ⁠. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 运算能力如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边 AD，AB的中点. （1）求证：△ABE≌△ADF； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD. ∵点E，F分别是边AD，AB的中点， ∴AE＝ AD，AF＝ AB. ∴AE＝AF. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若BE＝ ，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积. 解：（2）如图，连接BD. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°. ∴△ABD是等边三角形. ∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD. ∴∠ABE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∴AB＝2AE. 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋（ ）2＝（2AE）2， 解得AE＝1. ∴AB＝2AE＝2×1＝2.∴AD＝AB＝2. ∴S菱形ABCD＝AD•BE＝2× ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 拓展素养训练 11. 数形结合思想如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积 为8 ，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最 小值为 ⁠. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.3　正方形 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 定义：一组 ，并且有一个角是 的 ⁠ 叫作正方形. 2. 性质：正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对角线 互相 且 ，并且每一条对角线平分一组 ⁠. 邻边相等　 直角　 平行四边 形　 直角　 相等　 垂直平分　 相等　 对角　 3. 正方形的判定： （1）一组 ，并且有一个角是 ⁠的平行四边形是正 方形. （2）一组 的矩形是正方形. （3）对角线 的矩形是正方形. （4）有一个角是 的菱形是正方形. （5）对角线 的菱形是正方形. 邻边相等　 直角　 邻边相等　 互相垂直　 直角　 相等　 基础分点训练 　正方形的定义与性质 1. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此 正方形的面积为（　C　） A. 3 B. 12 C. 18 D. 36 C 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 变式题如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连 接BE，则∠CBE的度数为（　B　） A. 15° B. 75° C. 20° D. 12.5° B 1 2 3 4 5 6 7 8 　正方形的判定 3. （2025•乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O. 小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条 件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组 合是 .（只需填一种组合即可） ①②或①③（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足 分别是E，F，且BF＝CE. 求证：四边形AEDF是正方形. 证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠A＝∠DFA＝∠DFB＝∠DEC＝∠DEA＝90°.∴四边形AEDF是 矩形. ∵点D是Rt△ABC斜边BC的中点， ∴BD＝CD. 又∵BF＝CE，∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）. ∴DF＝DE. ∴四边形AEDF是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 中档提分升训练 5. 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，AB＝5， CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是（　D　） A. B. 4 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 几何直观如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD 的对角线AC，BD相交于原点O. 若点A的坐标是（2，1），则点C的 坐标是 ⁠. （－2，－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 运算能力如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的 两点，且BE＝DF. （1）求证：△ABE≌△CDF； 解： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°. 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积. 解：（2）如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO. ∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF. ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形. ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝3 . ∴AC＝BD＝ ＝ ＝6. ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD－BE－DF＝6－2－2＝2. ∴S四边形AECF＝ AC•EF＝ ×6×2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 拓展素养训练 8. 推理能力如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝ CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE. （1）求证：四边形ABCD是菱形； 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：（1）在△ADE和△CDE中，​ ∴△ADE≌△CDE（SSS）.∴∠ADE＝∠CDE. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADE. ∴∠CDE＝∠CBD. ∴CD＝BC. ∵AD＝CD，∴AD＝BC. 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是 正方形. 证明：（2）∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE. ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3， ∴∠CBE＝180°× ＝45°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°. ∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝45°＋45°＝90°. ∴四边形ABCD是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 本课结束 $第二十一章　四边形 章末复习 　平行四边形的性质与判定 1. （2025•兰州校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是 （　B　） A. AB∥DC，AD∥BC B. AB∥DC，AD＝BC C. AO＝CO，BO＝DO D. AB＝DC，AD＝BC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB， CD于点E，F. 若AE＝10，则CF的长为 ⁠. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　平行线间的距离 3. 如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果 AB＝5 cm，BC＝4 cm，那么平行线l1，l2之间的距离为 cm. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　三角形的中位线 4. （2025•无锡）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.若 DE＝4，则BC的长为（　D　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　直角三角形斜边上的中线 5. 生活应用一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形 部件的尺寸.如图，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对 应的刻度为1，7，则CD＝（　B　） A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 6 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　矩形的性质与判定 6. 下列图形一定为矩形的是（　C　） A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD， BC于点M，N. 若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　A　） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　菱形的性质与判定 8. （2025•湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相 垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 第8题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. （2025•巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相 交于点O，AO＝4，BO＝3，DH⊥AB于点H，DH的长为 ⁠. 第9题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 运算能力如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D 作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE. （1）求证：四边形AECD是菱形； 解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED. ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE. ∴∠AED＝∠ADE. ∴AE＝AD. ∴四边形AECD是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积. 解：（2）根据（1），得四边形AECD是菱形. ∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE， AC⊥DE. ∵△ACD的周长为36， ∴AC＝36－AD－CD＝36－10－10＝16. ∴OA＝OC＝ AC＝ ×16＝8. 在Rt△AOD中，根据勾股定理，得 OD＝ ＝ ＝6. ∴DE＝2OD＝2×6＝12. ∴菱形AECD的面积＝ AC•DE＝ ×16×12＝96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　正方形的性质与判定 11. （2024•兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边 三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝ ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 推理能力如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点 P，连接BP，CP. （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； 解：（1）四边形BPCO为平行四边形.理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝ BD. 根据题意，得BP＝ AC，CP＝ BD. ∴BP＝OC，CP＝OB. ∴四边形BPCO为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是 正方形？ 解：（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形 BPCO为正方形. ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°. ∵AC＝BD，OB＝ BD，OC＝ AC， ∴OB＝OC. 根据（1），得四边形BPCO为平行四边形. ∴四边形BPCO为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　特殊四边形的分类讨论思想 13. 在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝9，P是菱形ABCD内一点， PB＝PD＝3 ，则AP的长为 　3 或6 　. 3 或6 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 专题训练（六)中点四边形 1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA的中点.则下列说法： ①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等. 其中正确的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 2. 如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD 和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE. 若EH＝3EF，则下列结论 正确的是（　D　） A. AB＝ EF B. AB＝2 EF C. AB＝3EF D. AB＝ EF D 1 2 3 4 5 3. 如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2的值为（　A　） A. 64 B. 18 C. 36 D. 48 A 1 2 3 4 5 4. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的面 积是 ⁠. 12　 1 2 3 4 5 5. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四 边形. （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ 解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下： 如解图1，已知任意四边形ABCD，E，F，G，H分别是各边中点，连 接BD. 在△ABD中，E，H分别是AB，AD的中点， ∴EH∥BD，EH＝ BD. 在△BCD中，G，F分别是DC，BC的中点， ∴GF∥BD，GF＝ BD. ∴EH∥GF，EH＝GF. ∴四边形EFGH为平行四边形. 解图1　　　　　　 1 2 3 4 5 （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ 解：（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下： 如解图2，已知任意平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA， AB，BC，DC的中点，连接AC，DB. 根据三角形中位线定理，得EF∥AC，EF＝ AC，MN∥AC，MN＝ AC. ∴EF∥MN，EF＝MN. ∴四边形EFMN为平行四边形. 　　　　　　解图2 1 2 3 4 5 （3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什 么？ 解：（3）任意矩形的中点四边形为菱形. 任意菱形的中点四边形为矩形. 任意正方形的中点四边形为正方形.理由略 1 2 3 4 5 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.1　平行四边形及其性质　 微专题1　利用“同底等高”解决平行四边形中的面积问题 【模型展示】 1. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF，GH过点O， 且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，则阴影区域的面积与 ▱ABCD的面积的比值是（　C　） A. B. C. D. C 【针对训练】 1 2 3 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA. 如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，那么△ABP的面积等于（　A　） A. 24 cm2 B. 30 cm2 C. 6 cm2 D. 12 cm2 A 1 2 3 3. 如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形 AEFB的面积为15 cm2，则四边形EDCF的面积为 cm2. 15　 1 2 3 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.2　平行四边形的判定　 第1课时　平行四边形的判定（一） 01 基础分点训练 02 中档提分升训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 　两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1. 如图，点P是▱ABCD内的一点，过点P作直线EF，GH分别平行于 AB，BC，与▱ABCD的边分别交于点G，F，H，E，则图中平行四 边形的个数为（　D　） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝ ∠CBE. 求证：四边形BCDE是平行四边形. 证明：∵EF∥AC，∴∠EDC＋∠C＝180°. ∵∠EDC＝∠CBE， ∴∠CBE＋∠C＝180°.∴EB∥DC. ∵EF∥AC，即ED∥BC， ∴四边形BCDE是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3. 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C 的度数为（　A　） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以 点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接 CD，BC，则四边形ABCD是 ，理由是 ⁠ ⁠. 平行四边形　 两组对边分别 相等的四边形是平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5. 下面给出了四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比， 其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　D　） A. 3∶2∶2∶4 B. 3∶1∶1∶1 C. 1∶2∶3∶4 D. 3∶1∶3∶1 6. 在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝ 时， 四边形ABCD是平行四边形. D 132°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 推理能力如图，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝ BD，连接AE，CE. 求证：四边形ABCE是平行四边形. 证明：∵BD是△ABC的边AC上的中线， ∴AD＝CD. 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中档提分升训练 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝ 90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积 为 ⁠. 24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延 长CD到点E，使DE＝DA，连接AE. （1）求证：AE＝BC； 解：（1）证明：∵AB∥CD，∠B＝45°， ∴∠C＝180°－∠B＝180°－45°＝135°. ∵AD⊥CD，DE＝DA，∴∠E＝45°. ∴∠C＋∠E＝135°＋45°＝180°.∴AE∥BC. 又∵AB∥CE， ∴四边形ABCE是平行四边形. ∴AE＝BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积. 解： （2）根据（1），得四边形ABCE是平行四边形. ∴CE＝AB＝3. ∴DA＝DE＝CE－CD＝3－1＝2. ∴S▱ABCE＝CE•DA＝3×2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 拓展素养训练 10. 推理能力如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点 O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE. （1）试判断四边形AECF和四边形ABCD的形状，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1）四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形.理由如下： ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF. 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形. ∴OA＝OC，OE＝OF. ∵BE＝DF， ∴BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC的长. 解：（2）根据（1），得四边形AECF是平行四边形. ∴AE＝CF. 在Rt△AEF中，根据勾股定理，得 AE＝ ＝ ＝6. ∴CF＝AE＝6. ∵BE＝7，EF＝8， ∴BF＝BE＋EF＝7＋8＝15. 在Rt△BCF中，根据勾股定理，得 BC＝ ＝ ＝3 . 即BC的长为3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.1　矩形　第2课时　矩形的判定 01 基础分点训练 02 中档提分升训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 　有一个角是直角的平行四边形是矩形 1. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD. 下列说法能使四边形 ABCD为矩形的是（　C　） A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. （2025•北京节选）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC 的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. 求 证：四边形DFCG是矩形. 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC. ∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°. ∴平行四边形DFCG是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　对角线相等的平行四边形是矩形 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如 一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是 （　B　） A. AB＝CD B. AC＝BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，点E，F，G，H分别是 OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　有三个角是直角的四边形是矩形 5. 下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　C　） A. AC＝BD B. AC⊥BD C. ∠A＝∠C＝∠D＝90° D. ∠ABC＝90° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. （2024•兰州节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的 中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. 求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°. ∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°. ∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°. ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°. ∴四边形ADCE是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中档提分升训练 7. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条 件是（　D　） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝BC，AO＝CO C. OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动 点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值 为 ⁠. 3 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 开放性试题如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM， 请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一 个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形. （1）你添加的条件是 ；（填序号） ①或②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形. 解：（2）选择①∠1＝∠2.证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠A＋∠D＝180°. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌DCM（SAS）.∴∠A＝∠D. 又∵∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°. ∴▱ABCD为矩形. 选择②AM＝DM. 证明如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠A＋∠D＝180°. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM（SSS）. ∴∠A＝∠D＝90°.∴▱ABCD为矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 拓展素养训练 10. 推理能力如图，在△ABC中，AB＝AC. 将△ABC沿着 BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O. （1）求证：△OEC为等腰三角形； 解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵△ABC平移得到△DEF， ∴∠B＝∠DEC. ∴∠ACB＝∠DEC. ∴OE＝OC. ∴△OEC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩 形，并说明理由. 题图　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（2）当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形.理由如下： 如解图，∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，BE＝EC. ∴∠AEC＝90°. ∵△ABC平移得到△DEF， ∴BE∥AD，BE＝AD＝CF. ∴AD∥EC，AD＝EC. ∴四边形AECD是平行四边形. 又∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECD是矩形. 解图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 专题训练（五)　平行四边形的证明思路 　利用边的关系判定平行四边形 解题思路：若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 【针对训练】 1. 如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且AE＝CG，BF＝DH. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD. ∵BF＝DH， ∴AB－BF＝CD－DH，即AF＝CH. 又∵AE＝CG， ∴△AEF≌△CGH（SAS）. ∴EF＝GH. 同理，得△BGF≌△DEH. ∴FG＝HE. ∴四边形EFGH是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 2. 如图，点B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝ CD. （1）求证：△ABE≌△BCD； 证明：（1）∵点B是AC的中点，∴AB＝BC. 在△ABE和△BCD中，​ ∴△ABE≌△BCD（SSS）. 1 2 3 4 5 6 （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形. 证明：（2）如图，连接DE. 根据（1），得△ABE≌△BCD. ∴∠ABE＝∠BCD. ∴BE∥CD. ∵BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点 F，使得EF＝DE，连接CF. 求证： （1）△CEF≌△AED； 证明：（1）∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE. 在△CEF和△AED中，​ ∴△CEF≌△AED（SAS）. 1 2 3 4 5 6 （2）四边形DBCF是平行四边形. 证明：（2）根据（1），得△CEF≌△AED. ∴∠FCE＝∠A. ∴BA∥CF. ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DF∥BC. ∴四边形DBCF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 　利用角的关系判定平行四边形 解题思路：若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角 分别相等的四边形是平行四边形”进行证明. 1 2 3 4 5 6 4. 如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交边CD，AB 于点F，E. 求证： （1）∠1＝∠2； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC. 又∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC， ∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC. ∴∠1＝∠2. 【针对训练】 1 2 3 4 5 6 （2）四边形DEBF是平行四边形. 证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC，∠A＝∠C. 根据（1），得∠1＝∠2. ∴∠CDE＝∠ABF. ∵∠DEB＝∠A＋∠1，∠BFD＝∠C＋∠2， ∴∠DEB＝∠BFD. 又∵∠CDE＝∠ABF， ∴四边形DEBF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 　利用对角线的关系判定平行四边形 解题思路：若已知条件出现在四边形的对角线上，则应考虑利用“对角 线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明. 【针对训练】 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分 别是OA，OC的中点.求证：BE＝DF. 1 2 3 4 5 6 证明：如图，连接BF，DE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝ OA，OF＝ OC. ∴OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形. ∴BE＝DF. 1 2 3 4 5 6 6. 如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与 AD，BC 分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD 分别相交于点 G，H，连接EG，FG，FH，EH. 求证：四边形EGFH 是平行四边 形. 1 2 3 4 5 6 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC. 在△OAE和△OCF中， ​ ∴△OAE≌△OCF（ASA）. ∴OE＝OF. 同理，得OG＝OH. ∴四边形EGFH是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.1　平行四边形及其性质 　第1课时　平行四边形的边、角、对角线的性质 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 两组对边分别 的四边形叫作平行四边形.平行四边形用符号 “ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ⁠”. 2. 平行四边形的对边 且 ，对角相等. 平行　 ▱　 ▱ABCD　 平行　 相等　 基础分点训练 　平行四边形的定义 1. 如图，剪两张两边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的 一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 ⁠. 平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　平行四边形的边、角的性质 2. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝4 cm，若▱ABCD的周长为32 cm， 则BC的长为（　B　） A. 4 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 28 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. （2025•定西模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝ 130°，则∠D的度数为（　B　） A. 65° B. 115° C. 110° D. 150° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E；CF平分 ∠BCD，交AD于点F. 求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD. ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD. ∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）.∴AE＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　平行四边形的对角线互相平分 5. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的 是（　C　） A. OA＝OB B. OA⊥OB C. OA＝OC D. ∠OBA＝∠OBC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　平行四边形的面积 6. （2025•天水期末）如图，在▱ABCD中，过点A分别作BC，CD的 垂线段，垂足为E，F，若BC＝4，AE＝4，CD＝5，则线段AF的长 为（　B　） A. 3 B. 3.2 C. 3.6 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中档提分升训练 7. 几何直观如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是 （0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是（　D　） A. （－4，1） B. （8，－2） C. （4，1） D. （8，2） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交 BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD 的周长为（　C　） A. 28 B. 26 C. 24 D. 20 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于 点E，连接AE. 求证：CD＝CE； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC. ∴∠ADE＝∠CED. ∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE. ∴∠CED＝∠CDE. ∴CD＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 拓展素养训练 10. 推理能力如图，在▱ABCD中，点E为AD的中点，延 长CE交BA的延长线于点F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）求证：AB＝AF； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠DCE＝∠F. ∵E为AD的中点， ∴DE＝AE. 在△DEC和△AEF中，​ ∴△DEC≌△AEF（AAS）. ∴DC＝AF. 又∵AB＝DC， ∴AB＝AF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数. 解： （2）解：根据（1），得△DEC≌△AEF. ∴EC＝EF. ∵AB∥DC，∠BCD＝100°， ∴∠FBC＝180°－∠BCD＝180°－100°＝80°. 根据（1），得AB＝AF. ∴BF＝2AB. ∵BC＝2AB， ∴BF＝BC. 又∵EF＝EC， ∴BE平分∠FBC. ∴∠ABE＝ ∠FBC＝ ×80°＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本课结束 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.2　平行四边形的判定　 第2课时　平行四边形的判定（二） 01 基础分点训练 02 中档提分升训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1. 几何直观依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的 是（　C　） A B C D 2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，当CD＝ 时，这个四 边形是平行四边形. C 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且 AM＝CN. 求证：DM＝BN. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵AM＝CN， ∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN. 又∵BM∥DN， ∴四边形MBND是平行四边形. ∴DM＝BN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　平行四边形判定的灵活选用 4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列条件中不能判断四边 形ABCD是平行四边形的是（　B　） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 开放性试题如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于 点O，OA＝OC，请补充一个条件： ⁠ ，使四边形ABCD是平行四边形. OB＝OD或AD∥BC或 AB∥CD（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO 的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF. 求证：四 边形AODF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明：∵AF∥BD， ∴∠EAF＝∠EOB，∠AFE＝∠OBE. ∵点E为AO的中点， ∴AE＝OE. 在△AEF和△OEB中，​ ∴△AEF≌△OEB（AAS）. ∴AF＝OB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD. ∴AF＝OD. 又∵AF∥OD， ∴四边形AODF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中档提分升训练 7. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有 平行四边形（　D　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 分类讨论思想如图，点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（2，2），（0，－1），那么以点A，B，C，D为顶点的平行四 边形的第四个顶点D的坐标是 ⁠ ⁠. （－2，－1）或（2，－1）或（2，5） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 变式题如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF 过点O分别交BC，AD于点E，F，点G，H分别为OB，OD的中点， 求证：四边形GEHF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO＝BO，AD＝BC，AD∥BC. ∴∠FDO＝∠EBO. 在△FOD和△EOB中， ​ ∴△FOD≌△EOB（ASA）. ∴FO＝EO. ∵点G，H分别为OB，OD的中点，且BO＝DO， ∴GO＝HO. ∴四边形GEHF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 拓展素养训练 10. 分类讨论思想如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运 动，到点D即停止.点Q从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，到点B 即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD，当P，Q两点同时出发，几秒时所截得的两个四边形 中，其中一个四边形为平行四边形？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：设当P，Q两点同时出发，t s（0≤t≤15）时四边形ABQP或四边 形PQCD为平行四边形. 根据题意，得AP＝t cm，PD＝（24－t）cm， CQ＝2t cm，BQ＝（30－2t）cm. 分情况讨论： ①若四边形ABQP是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴还需满足AP＝BQ， 即t＝30－2t，解得t＝10. ∴出发10 s时四边形ABQP是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②若四边形PQCD是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴还需满足PD＝CQ， 即24－t＝2t，解得t＝8. ∴出发8 s时四边形PQCD是平行四边形. 综上所述，当P，Q两点同时出发，8 s或10 s时所截得的两个四边形 中，其中一个四边形为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本课结束 $第二十一章　四边形 21.1　四边形及多边形 21.1.2　多边形及其内角和 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 多边形中的数量关系： （1）顶点、边数、内角：一个n边形有 个顶点， ⁠条 边， 个内角； （2）对角线条数：n边形从一个顶点出发，能画出 ⁠条 对角线，将n边形分成 个三角形，共有 ⁠条对 角线. 注意：对于公式 的说明：①已知n可求对角线的条数；②已知对 角线条数，求n的值时，可用特殊值法. n　 n　 n　 （n－3）　 （n－2）　 　 2. 正多边形需要同时满足各边都相等，且各角都相等. 3. n边形的内角和是 ⁠. 4. 多边形内角和公式与其边数的关系： （1）已知多边形的边数，求多边形的内角的和，可以直接利用公式， 简单快捷； （2）已知多边形的内角和，求多边形的边数，可以设边数为n，利用 多边形内角和公式建立方程，解方程就能求出边数. ×180°　 5. 多边形的外角和是 ⁠. 注意：多边形的外角和为定值，它与边数无关. 6. 正n边形的每个外角都相等，且每个外角都等于 ⁠. 7. 已知正多边形的一个外角为ɑ°，则正多边形的边数为 ⁠. 360°　 　 　 基础分点训练 　多边形及其概念 1. 从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，他们将五边形分成n 个三角形，则m＝ ，n＝ ⁠. 2. 过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为 ，这些对角线将 多边形分成了 个三角形，这个多边形共有 条对角线. 2　 3　 4　 5　 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　正多边形 3. 下列说法：①正多边形的各边都相等；②各边都相等的多边形是正 多边形；③各角都相等的多边形一定是正多边形.其中结论正确的个数 有（　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　多边形的内角和 4. （2025•酒泉期末）若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形 的边数为（　C　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 跨学科融合“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图1窗棂 的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ⁠. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 　多边形的外角和 6. 正n边形的一个外角为30°，则n＝（　C　） A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 C 7. 传统文如图，空窗是我国传统建筑装饰的一种形式，以下 空窗的轮廓是一个正八边形，这个正八边形的一个外角∠1＝ ⁠. 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 中档提分升训练 8. 一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角 线的总条数是（　C　） A. 88 B. 80 C. 44 D. 40 9. 分类讨论思想一个多边形截去一个角后，形成另一个多 边形的内角和是2 520°，则原来多边形的边数是（　D　） A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图，∠1是在五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝40°，则∠A＋ ∠B＋∠C＋∠D的度数是（　B　） A. 300° B. 400° C. 500° D. 540° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为I. 若 ∠EFG＝20°，则∠ABI＝ ⁠. 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 将正五边形与正方形按如图所示摆放，且正五边形的边AB与正方形 的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ⁠. 18°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 注重学习过程探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图1，经过点A可以作 条对角线；同样，经过点B可以 作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以 作 条对角线.通过以上分析和总结，图1共有 条对角线； 1　 1　 1　 1　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析，可得：图2共有 条对角线；图3共 有 条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形（n＞3），共有 条对角线；（用含n的代数 式表示） 5　 9　 　 【特例验证】 （4）十边形共有 条对角线. 35　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓展素养训练 14. 变式题已知一个多边形的边数为n. （1）若该多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值； 解：（1）由题意，得 × ×180°－360°＝90°. 解得n＝5. （2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为144°，求n的值. 解：（2）由题意，得144°×n＝ ×180°. 解得n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 本课结束 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.1　矩形第　1课时　矩形的性质 01 学霸笔记 02 基础分点训练 03 中档提分升训练 04 拓展素养训练 目 录 学霸笔记 1. 矩形的定义：有一个角是直角的 叫作矩形，矩形也 就是长方形. 2. 矩形的性质：矩形的对边 ；矩形的四个角都是 ⁠ ；矩形的对角线 ⁠. 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ⁠. 平行四边形　 平行且相等　 直 角　 互相平分且相等　 一半　 基础分点训练 　矩形的定义与性质 1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论 一定正确的是（　C　） A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠ACB＝∠ACD C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. （2024•甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　C　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于 点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为 （　D　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4. 应用意识某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径. 如图，小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径 相交处.若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间 的距离为（　A　） A. 0.5 km B. 0.6 km C. 0.8 km D. 1 km A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D地位于 A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 km. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. （2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是 斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 m. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中档提分升训练 7. （2025•绥）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一 个交角为60°，则这个矩形的面积是（　B　） A. 25 B. 25 C. 25 D. 50 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. （2025•兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相 交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点 P. 若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　C　） A. 95° B. 100° C. 110° D. 145° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝ 8，AD＝DE＝10，则BF的长为 ⁠. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF. 求证：AF＝DE. 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ​ ∴△ABF≌△DCE（SAS）.∴AF＝DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 拓展素养训练 11. 推理能力如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. （1）求证：DB＝DE； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝DB. ∵DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形. ∴AC＝DE. ∵AC＝DB，∴DB＝DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若∠DOC＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积. 解： （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，OA＝ AC，OD＝ BD， AC＝BD. ∴OA＝OD. ∴∠ODA＝∠OAD. ∵∠DOC是△AOD的一个外角， ∴∠DOC＝∠ODA＋∠OAD＝120°. ∴∠ODA＝60°.∴∠DBA＝90°－60°＝30°. ∵DB＝DE＝2， ∴AD＝ DB＝ ×2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 AB＝ ＝ ＝ . ∴S矩形ABCD＝AD•AB＝1× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $