精品解析：2026 年春初三年级第一次诊断性测试数学试题

2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，， ，是 边上的中线，其中 ，以为圆心，为半径画弧交 于点 ，则的长为（ ）． A. B. C. D. 4. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以 开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图像经过点 B. 其图像位于第二、四象限 C. 若其图像经过，则 D. 其图像所在的每一个象限内，随着的增大而减小 8. 如图，点在 的边上，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知、均为锐角，且满足，则 等于（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 105° 10. 下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（ ） A. 81 B. 77 C. 75 D. 70 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若x、y为实数，且，则_____ 12. 有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是___________． 13. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取 ，，，四点，且线段 ，都与地面平行，抛物线最高点到 的距离为，，，则点到的距离为______． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____． 15. 如图，在 中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段 、相交于点F，若，，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线 交轴于点，交轴于点，过点 作轴于点 ，过点作轴于点 ， 与 交于点 ，连接， ．给出下面四个结论：；； ；．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点 的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是直线 下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 20. 我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 21. 如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，点A，B的对应点分别为点E，D，连接 ，点D恰好落在线段 上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 22. 如图， 为的直径，C、D为上不同于A，B的两点， ，连接．过点C作 ，垂足为E，直线 与相交于点F． （1）求证：为的切线； （2）求证： ． 23. 实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角 为，实验时，导管紧贴水面，延长交于点 ，且（点，，， 在同一直线上），经测得，，，求 的长．（结果保留整数）（参考数据：，，） 24. 材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高 元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过 元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 综合与实践： 问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接 ，过点E分别作的垂线，分别交直线 于点F，G． （1）数学思考：线段 和的数量关系______． （2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值； （3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出 的面积． 26. 如图1，抛物线 过点 ，点 ，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为， 的面积为，求 的最大值． （3）设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 3. 如图，在中，， ，是边上的中线，其中 ，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理与外角的性质可计算得，利用扇形弧长公式进行计算即可． 【详解】解：在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵是 的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 的长为． 4. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过列表法列出所有两位字母不同的密码组合，总共有种等可能的结果；再依据“系统自动排除以开头或以结尾的密码”的排除规则，从所有组合中筛选出符合条件的有效密码，统计其数量；最后根据概率公式，计算出密码不被系统排除的概率． 【详解】解：列举出所有等可能的结果如下： - - - - 由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码， ∴他设置的密码不会被系统排除的概率是． 5. 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出 的长，再利用勾股定理求出 以及 的长即可． 【详解】连接 ，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴ ， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 6. 如图，四边形 内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆周角定理求得​，再利用圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又四边形 内接于， ∴ ， ∴． 7. 关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图像经过点 B. 其图像位于第二、四象限 C. 若其图像经过，则 D. 其图像所在的每一个象限内，随着的增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得， ∴图象不经过点，故此选项不符合题意； B、∵， ∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意； C、∵图象经过点， ∴，整理得，解得 或，故此选项不符合题意； D、∵， ∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意． 8. 如图，点在的 边上，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，如果，那么它们的对应边成比例，且对应角相等，即可解答． 【详解】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 9. 已知、均为锐角，且满足，则 等于（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 105° 【答案】A 【解析】 【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． 10. 下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（ ） A. 81 B. 77 C. 75 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，找出规律是解题的关键．先整理出第①个图案到第④个图案的黑点数量，再总结第 个图案中黑点个数为，最后代入数值计算，即可得第⑦个图案中黑点个数． 【详解】解：第①个图案有个黑点， 第②个图案有个黑点， 第③个图案有个黑点， 第④个图案有个黑点， …， 以此类推，得第 个图案中黑点个数为； 第⑦个图案中黑点个数为； 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【解析】 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或 ， ，， ， ，即． 12. 有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 从6张卡片中随机抽取1张，总可能结果数为6，卡片上的数是2的整数倍的结果有2，4，6，共3种可能，根据概率公式求解． 【详解】解：∵共有6张卡片，数字分别为1，2，3，4，5，6， 其中是2的整数倍的数有2，4，6，共3个， ∴随机抽取1张是2的整数倍的概率为． 故答案为：． 13. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键；建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____． 【答案】15． 【解析】 【详解】试题解析：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线， ∴∠DAQ=∠BAQ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA， ∴∠DAQ=∠DAQ， ∴△AQD是等腰三角形， ∴DQ=AD=3． ∵DQ=2QC， ∴QC=DQ=， ∴CD=DQ+CQ=3+=， ∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15． 故答案为15． 15. 如图，在中，，D是边 上一点，将 沿 翻折得到使线段、 相交于点F，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作 于点 ，由，设，则 ，结合，求出 ，，由翻折得 ，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作 于点 ， ∴， 设，则 ， ∴， 得， 则 ，， 由翻折得 ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点 ，连接，．给出下面四个结论： ； ； ；．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】①设点，点，则，，，，进而得，，由此得，，据此可对结论 进行判断； 证明四边形是矩形，得，进而得，结合 得，由此可判定 和 不相似，据此可对结论 进行判断； 根据三角形的面积公式得，，由结论 正确得，则，由此得，据此可对结论 进行判断；连接，在和中，根据，，得和相似，进而得，再根据，，则四边形和四边形都是平行四边形，由此得， ，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案. 【详解】解： ∵点，在函数的图象上， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∵轴于点，过点作轴于点，与交于点 ， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，故结论 正确； ∵轴于点，过点作轴于点，与交于点 ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由结论 正确得：， ∴， ∴ 和 不相似，故结论 不正确； ∵， ∴，， 由结论 正确得， ∴， ∴， ∴，即，故结论 正确； 连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 由结论 正确得， 在和中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ， ∴，故结论正确， 综上所述：正确的结论的序号是． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别计算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或 ， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合； （1）把点代入即可求出，把代入反比例函数解析式求出点的坐标，再将把和点的坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，分类讨论：①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；分别建立方程即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入得，解得 一次函数的解析式为． 综上所述： 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ， 当点在第四象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为或． 20. 我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）400， 补全条形统计图如图所示： （2）600名 （3） 【解析】 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用该校总人数乘以样本中B等级所占比例即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）； 【小问2详解】 解：（名） 答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名； 【小问3详解】 解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种， ∴P（甲乙两人同时被选中）． 21. 如图，将绕点C顺时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接 ，若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：由旋转得，， ，且点恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到， ，推出，从而证明； （2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得 ​． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知， ∵，， ∴在中，． 22. 如图，为的直径，C、D为上不同于A，B的两点， ，连接．过点C作 ，垂足为E，直线与相交于点F． （1）求证：为的切线； （2）求证： ． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2） 解：由（1）知 ， ， ， ， ， ，即 ， ； 【解析】 【分析】（1）连接，则有 ，由外角性质可得 ，又 ，则 ，所以 ，然后通过平行线的性质 ，从而求证； （2）证明 即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角 为，实验时，导管紧贴水面，延长交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求 的长．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长、 交于 ，先证明四边形为矩形，利用三角函数关系求出和，求出 的长，再根据已知条件得出，根据等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】如图，延长、 交于 ， ，，， 四边形为矩形， ，， ，， ， 在中，，， 则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】解此类题的关键是根据已知条件准确作辅助线，构造直角三角形． 24. 材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高 元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过 元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）销售单价应定为元或元； （3）销售单价定为 元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数与一次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式以及关于的函数解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高 元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过 元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）由题意得，当时，即， 整理得，即， 解得，， ， 销售单价应定为元或元， 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大， 当时，（元）， 当时，（元）， 最大利润为元， 答：销售单价定为 元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 25. 综合与实践： 问题情境：如图1，在正方形 中，点E是对角线 上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线 于点F，G． （1）数学思考：线段和的数量关系______． （2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形 ”改为“矩形 ”，其他条件不变．若，求的值； （3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为 的中点时，请直接写出 的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，证出，由可证，由全等三角形的性质即可解答； （2）证明，由相似三角形的性质得出，求出，进而完成解答； （3）过点E作 于M， 于点N，证出，，由（2）知，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形 是正方形， ，， ，， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵四边形 是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ∴， 在 中，， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点E作 于M， 于点N， ∵E为 的中点， ， ，， ， ∴， ， 同理：， 由（2）知， ∴， ∴， ∴，解得：， ． 26. 如图1，抛物线 过点 ，点 ，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）如图2，连接 ，连接交y轴于点N，交 于点D，连接，设的面积为， 的面积为，求 的最大值． （3）设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是银题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）；，即可求解； （3）先根据二次函数的性质求得，再分两种情况：当 时，当时，y值最小，最小值为；当时，当 时，y值最小，最小值为；根据，得关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， 故抛物线的表达式为 ， ∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 则点的坐标为， 设四边形的面积为， 则； 则， 则， ，故有最大值． 当时，的最大值为． 【小问3详解】 解：∵ ，， 又∵， ∴当时，y有最大值4， ∵函数y在内最大值为p，最小值为q， ∴， 当 时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 化简整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，当 时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， 综上，m的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $