精品解析：四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级中考一诊数学试题

2025年春初三年级第一次诊断性测试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数的图象经过以下各点中的（　　） A. B. C. D. 2. 正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ） A. OA B. OB C. OC D. OD 4. 已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ） A. ﹣2＜x＜0或x＞1 B. ﹣2＜x＜1 C. x＜﹣2或x＞1 D. x＜﹣2或0＜x＜1 8. 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 4.5cm 9. 如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（） A. B. C. 8 D. 4 10. 已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　） A. 当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B. 当x1＝x2＜2时，y1＞y2 C. 当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D. 当y1＝y2＜k时，x1＞x2 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则锐角_________． 12. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____． 13. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 14. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________． 15. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的距离是_______米． 16. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点B，作轴于点C，交于点D，延长交于点E，作轴于点F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号） 三、解答题（共10小题，共96分） 17. 计算：． 18. 已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）． （1）求这两个函数的表达式； （2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 19. 如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点. （1）求证：； （2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）． （1）求y关于x的函数表达式． （2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 21. 如图，是的中线，是锐角，，，． （1）求的长． （2）求的值． 22. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 23. 小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系，直至水温降至时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）． （1）求反比例图像段的函数关系式，并求自变量的取值范围． （2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？ 24. 如图，为的直径，且弦于点，过点的切线与的延长线交于点． （1）若是的中点，连接并延长，交于．求证：； （2）若，，求的半径． 25. 如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． （1）求证：； （2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春初三年级第一次诊断性测试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数的图象经过以下各点中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上的点的特征：横纵坐标之积等于，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数上的点的特点．熟练掌握反比例函数图象上的点的特征：横纵坐标之积等于，是解题的关键． 2. 正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的定义，从正面看到的是主视图，结合题意，正中间是个正方形，据此即可求解． 【详解】解：依题意，该几何体的主视图是正中间是个正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的定义，掌握三视图的定义是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ） A. OA B. OB C. OC D. OD 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 4. 已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据题意作图如下： A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、，， ，不符合题意； D、根据和不能判断，符合题意； 故选：D． 5. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于C，求出长，再用解直角三角形求出即可． 【详解】解：作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示）， ∴， ∴（米）， ∵， ∴（米） 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：点，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即，或者，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 7. 一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ） A. ﹣2＜x＜0或x＞1 B. ﹣2＜x＜1 C. x＜﹣2或x＞1 D. x＜﹣2或0＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围． 8. 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 4.5cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴ 故选：C． 9. 如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．连接，根据圆周角定理求得，在中可得得到，从而得到，然后根据垂径定理得到的长． 【详解】解：连接，如图，    ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　） A. 当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B. 当x1＝x2＜2时，y1＞y2 C. 当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D. 当y1＝y2＜k时，x1＞x2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，首先列分式方程并求解，得到反比例函数和一次函数的两个交点；再根据x和y的不同取值范围，结合反比例函数和一次函数图像的性质分析，即可得到答案． 【详解】当y1= y2时，得 ∴ ∴， 经检验，，为原方程的解 当时， 当时， ∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大， ∴当x1＝x2＞2时，, ∵k＞0 ∴，即选项A错误； 当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2 ∴选项B错误； ∴当y1＝y2＞k时，, ∴x1＜x2，即选项C正确； ∴当-k＜y1＝y2＜0时，, ∴x1＜x2，即选项D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程、反比例函数和一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、反比例函数和一次函数图像的性质，从而完成求解． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，则锐角_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 12. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由平行线的性质求出∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，其对应角相等得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线段的比值． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD， ∴△EAB∽△EDC， ∴， 又∵AE=3，ED=5， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段的比值求法等相关知识的应用，重点掌握相似三角形的判定与性质． 13. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 14. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一线三等角证明，列出比例式代入数值计算即可． 【详解】△ABC为等边三角形， ， ∠ADE＝60°， , BD：DC＝1：2，AD＝2， 设 则 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的距离是_______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解．先作于D，分别求出和，再相加即可． 【详解】解：过点A作于点D， ∴测得小山两端B，C的俯角分别是和， ∴，， 在中，米 在中，米， ∴米． 故答案为： 16. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点B，作轴于点C，交于点D，延长交于点E，作轴于点F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 根据反比例函数中的几何意义，即可证明①正确；过点作轴于点，通过证明，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，再通过证明，即可求证②正确；再根据相似三角形的性质，即可证明③不正确；根据相似三角形的性质，即可证明④正确． 【详解】解：∵点A，都在上，且轴，轴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； 如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，故③不正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共10小题，共96分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂．本题先将二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值和负整数指数幂进行化简，即可得到本题答案． 【详解】解： ． 18. 已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）． （1）求这两个函数的表达式； （2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】 （1） （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）分别把A点坐标代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出a与b的值，从而确定两函数解析式． （2）先画出y=2x和的图象，根据对称性得到两函数的另一个交点B与点A关于原点对称，则B点坐标为（﹣1，﹣2），然后观察图象得到当﹣1＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即正比例函数值大于反比例函数值． 【详解】（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2， ∴正比例函数解析式为y=2x． 把A（1，2）代入得b=1×2=2， ∴反比例函数解析式为． （2）如图，当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值． 19. 如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点. （1）求证：； （2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得：，再根据相似三角形的判定即可证出，从而得出结论； （2）根据菱形的性质，可得DA=DC，从而得出∠DAC=∠DCA，可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，然后用尺规作图作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可. 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴. ∴. ∴. （2）∵四边形是菱形 ∴DA=DC ∴∠DAC=∠DCA ∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似， 尺规作图如图所示： ①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形； ②作∠CPQ=∠AFE，作法同上； 或 ∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）. 【点睛】此题考查的是菱形的性质、相似三角形的判定及性质和尺规作图，掌握菱形的性质、相似三角形的判定定理及性质定理和用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键. 20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）． （1）求y关于x的函数表达式． （2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】（1） （2）他不能撬动这块石头．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据“动力动力臂阻力阻力臂”列等式，整理可得函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 则， 即y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：他不能撬动这块石头．理由如下： 由（1）知， 当时， ， 解得． ∵， ∴他不能撬动这块石头． 21. 如图，是的中线，是锐角，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理解，求得，，再由的值可得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，则可求； （2）由中线的性质可得，再求出，则可根据正切的定义求． 【小问1详解】 解：过点作于点， 在中， ， ， ， ， ，， 在中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：为边上的中线， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 22. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在表示出，，在得出，在中，根据等腰三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点E， 在中，，米， ∴米，米， 米， 米 在中，， 米， 米， ， 米． 答：杨树的高度约米． 23. 小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系，直至水温降至时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）． （1）求反比例图像段的函数关系式，并求自变量的取值范围． （2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？ 【答案】（1） （2）他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片 【解析】 【分析】（1）由题意得出点坐标为，点坐标为，再用待定系数法求出反比例函数的解析式，令时，求出的值，即可得到的范围，从而得解； （2）根据题意可得从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，小于30分钟，算出水温第二次加热到所需时间与30分钟进行比较，也是小于30分钟，最后算出水温第二次下降到所需时间，与30分钟进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟）， 点坐标为，点坐标为， 设反比例图像段的函数关系式， 把点代入得： ， 解得：， ， 令时，代入， 解得：， 则点C 反比例图像段的函数关系式：； 【小问2详解】 解：由（1）可知： 从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，， 当水温第二次加热到所需时间为：， 当水温第二次下降到所需时间为：， 他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数的解析式，读懂题意，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． 24. 如图，为的直径，且弦于点，过点的切线与的延长线交于点． （1）若是的中点，连接并延长，交于．求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得，则，得出同弧所对的圆周角相等，对顶角相等得出，即可出； （2）连接，根据切线的性质，直径所对的圆周角是直角得出，公共角，即可证明得出，根据设，则，勾股定理可得，进而代入得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵弦，M是的中点， ∴． ∴． 而， ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为直径， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴，即． ∵， ∴． 在中，， 设，则， ∴． ∴． 解得（舍）． ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． （1）求证：； （2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②当时，猜想，证明见解析 【解析】 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）先求出，得，进而利用待定系数法即可求解； （）先求出，得，再证，利用相似三角形的性质即可求解； （）延长交轴于点，可得，进而得，，再证，利用相似三角形的性质得，从而利用四边形的面积为，即可得，从而即可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数，相似三角形的判定及性质，一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线中，令，则， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线中，令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵轴轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：延长交轴于点， 由已知得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得 或， 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $