函数的周期性及应用考向剖析 讲义-2026届高三数学三轮冲刺

函数的周期性及应用考向剖析 基本原理 函数的周期性的相关结论 (1) 若函数 有两条对称轴 ，则函数 是周期函数，且 . (2) 若函数 的图象有两个对称中心(a，c)，(b，c) ,则函数 是周期函数,且 . (3) 若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ,则函数 是周期函数,且 . 1. 类周期函数 若 满足: 或 , 则 横坐标每增加 个单位,则函数值扩大 倍. 此函数称为周期为 的类周期函数. 2. 倍增函数 若函数 满足 或 , 则 横坐标每扩大 倍,则函数值扩大 倍. 此函数称为倍增函数. 下面我们通过具体的例子来分析. 典例分析 ◆考向 1: 函数周期性的定义以及求解 例 1 (2023 ・高三上河南驻马店期中) 已知 为定义在 上的奇函数,且 的图象关于 对称,当 时, ,则 ( ) A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 【答案】 C 【解析】 是定义在 上的奇函数, 关于 对称, , 的周期为 . 故选 C. 【点评】本题通过函数点对称和线对称性质可以得到函数的周期性, 从而代入已知函数得到函数值. 例 2 (2025 ・全国一卷)设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数,当 时, ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题知 对一切 成立,于是 . 故选 A. 【点评】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为 的范围中求解. 本题属于函数周期性简单试题. 例 3 (2025 - 高一下安徽阜阳期末) 定义在 上的函数 满足 是偶函数,且 ,则使 成立的最小正整数 等于 ( ) A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026 【答案】D 【解析】由 是偶函数,得 , 则函数 的图象关于直线 对称,且 ,又 ,则 ,因此函数 的图象关于点 对称,而 ,即 ,函数 的周期为 4, 由 及对称性,得 , ,显然 ,在第 1 个周期内, ,在第 2 个周期内, ,以此类推,在 个周期内,有 ,当 时, ,不符合题意; 当 时, ,不符合题意; 当 时, ,令 ,解得 ,正整数 的最小值为 506,此时 的最小值为 2026; 当 时, ,不符合题意, 所以最小正整数 为 2026 . 故选 D. 【点评】本题考查函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值. 本题根据给定条件,分析函数 的性质并求得 , ,利用周期性求出第 个周期内的 4 项和,再按 除以 4 的余数情况分类求和推理求解. 例 4 (多选题) (2025 ・高二下河北沧州期末) 已知定义域为 的函数 满足 , 且 ,则下列选项正确的是 ( ) A. B. 函数 是偶函数 C. 函数 是周期为 3 的周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】根据题意,令 ,则 . 因为 ,所以 ,故选项 不正确; 令 ,则 ,因为 ,所以 ,即 ,所以函数 是偶函数,故选项 正确; 令 ,则 ,即 ①，所以 ②，联立① ②可得 ，所以 ,所以 ,所以函数 是周期为 3 的周期函数,故选项 C 正确; ,因为 ,令 ,得 ,所以 ,因为 为偶函数,所以 -1 , 故选项 D 正确. 故选 BCD. 【点评】本题考查函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值,分析本题,令 , 代入等式可求得 , A 错误; 代入等式可得 正确; 令 可得 ,联立并化简可得 即可推出周期判断 ; 利用周期性及奇偶性进行求解, 判断 D. ◆考向 2: 函数周期性的综合应用 例 5 (多选题) (2025 · 高二下重庆期末) 已知函数 , 的定义域均为 ,且 . 若 的图象关于点 对称, ,则 ( ) A. 函数 为偶函数 B. 函数 关于点 对称 C. 函数 周期为 4 D. 【答案】ABC 【解析】因为 的图象关于点 对称,则 ,因为 ,所以 ,因为 ,所以 2,所以 ,所以函数 为偶函数,所以 A 正确; 由 得 2,因为 ,所以 , 因为 ,则 ,所以函数 关于点 对称,所以 正确; 由 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以函数 周期为 4 , 所以 C 正确; 因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,由 ,可得 ,所以 , 由 知当 时, 0,所以 ,由 知当 1 时, ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 D 错误. 故选 ABC. 【点评】本题考查函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用,根据 的图象关于点 对称,得到 ,结合 ,通过赋值法逐项判断即可. 例 6 (2025 · 福建莆田模拟预测) 已知函数 的定义域为 ,值域为 ,若 ,函数 为偶函数,则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B 【解析】因为 的值域为 ,所以可由 1) 得: ,则有 ,所以函数 是一个以 4 为周期的函数,则有 ,又因为函数 为偶函数,所以 , 则函数 的图象是关于直线 对称的,即 ,又因为周期性可知 ,所以 ,又由 可得: 4,所以 ,因为 的值域为 ,所以 ,即 . 故选 B. 【点评】利用恒等式可推导 ,得出周期性,再由偶函数可得函数 的图象是关于直线 对称的, 再利用赋值思想即可求值. 例 7 (多选题) (2025 ・高三下广东深圳阶段练习) 函数 的定义域均为 ,且对任意 均满足 ,则下列选项正确的是 ( ) A. B. B. D. 【答案】 AC 【解析】对于 ,令 可得 ,解得 ,故 正确; 由 得 ,又 ,所以 ,所以 ,结合 ,所以 ,所以 ,令 得 ,即 ,再令 得 ,即 ,对于 ,令 得 ,由 得 ,故 B 错误; 由 得 ,由 得 ,所以 ,故 C 正确; 由 得 ,由 得 ,所以 4-2028=-2024, 故 D 错误. 故选 AC. 【点评】本题考查函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数. 根据 利用赋值法求值判断 A,根据题干的函数关系得 ,赋值法求得 ,进而求解 判断 ,由 得 ,利用 求出 即可判断 C; 由 得 ,利用 求出 即可判断 D. 例 8 对任意整数 ,函数 满足 ,若 ,则 _____， _____. 【答案】 【解析】 , , , 的周期 , , 【点评】本题考查函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值. 本题首先得 的周期 , 根据函数的这两个性质即可求解. 考向 3:培优考向 ——类周期函数 例 9 设函数 的定义域为 ,且 ,当 时, ,若对于 ,都有 恒成立,则 的取值范围是 ( ) A. B. B. D. 【答案】 A 【解析】当 时, , ; 因 ,即 每增大 4,对应的纵坐标都变原来的 2 倍. 当 时, ,故 ,则 ; 当 时, , ,故 ,则 ; 当 时, ,故 ,则 . 当 , 时,由 ,可得 ,解得 或 ,如下图所示: 由图可知,当 时, 恒成立,故实数 的取值范围是 . 故选 A. 【点评】由 和当 时 可以逐次推出 上的解析式, 根据每个区间上的函数最小值的规律, 应求 时,函数值等于 时的自变量的值,得到满足 的 的范围,即得 的取值范围. 本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题. 对于递推倍减函数的恒成立问题, 解题关键在于根据恒成立条件, 分别求得在对应区间上的函数解析式, 结合函数图象的理解, 求得参变量的范围. 例 10 (2025 · 河北唐山一模) 对于 ,且 ,当 时, ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】令 ,则 . 所以 ; 进而 ,同理可得: . 令 ,则 . 因为 ,所以 ,即 . 所以 . 故选 C. 【点评】采用赋值法,令 可得 ,进而推出 ; 令 可得 ,进而推出 , ,再结合函数的性质,可得 的值. 抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法, 即赋予恰当的数值或代数式, 经过运算与推理, 最后得出结论. 例 11 (2025 ・天津和平三模) 定义域为 的函数 满足 ,当 时, ,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】当 时, 恒成立, 则 ,因为定义域为 的函数 满足 ,当 时, ,当 时, ,则 ,因为 ,此时 ; 当 时, ,则 ,因为 ,则 ,则 ,所以 ,所以,函数 在 上的最小值为 ,所以, ,即 ,即 ,解得 或 . 因此,实数 的取值范围是 . 故选 A. 【点评】结合题意求出函数 在区间 上的最小值,根据题意得出 ,解该不等式即可得解. 该题属于难题. 例 12 已知函数 满足 ,且 ,则函数 的最大值为_____; 方程 的实数解的个数为_____. 【答案】 2 4 【解析】由函数 满足 ,则 ,所以 的周期为 4, 由 可得 的图象如图,则函数 的最大值为 2 , 方程 的解,即为 与 的交点横坐标, 计算可得: ,所以在 有一个交点, 且当 时 ,无交点. 由图可知两图象交点个数为 4,即方程 的实数解的个数为 4 . 【点评】本题考查分段函数的性质及应用、函数周期性的应用、求 (型) 函数的最值、求函数零点或方程根的个数,本题首先可得 的周期为 4,方程 的解, 即为 与 的交点横坐标,画出 与 的图象,数形结合即可判断. 学科网（北京）股份有限公司 $