第11章 二次根式 二次根式的应用 专项训练2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第十一章 二次根式 第十一章 二次根式 知识点4 二次根式的应用 二次根式的应用（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 2．阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． （1）直接写出结果　　 ； （2）利用上面的规律，计算：； （3）比较大小：与． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．阅读与思考 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，（）（）＝3﹣1＝2，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，22． 材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法． 例如：已知x，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小敏的做法是：根据x得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1． 把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是　 （写出一个即可）； （2）化简：； （3）求值：已知x，求代数式x2﹣6x+12的值． 2．阅读材料，并回答问题： 形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化． 我们把叫做的有理化因式，（1）叫做（1）的有理化因式． （1）问题：的有理化因式是 　 ，2的有理化因式是　 ． （2）应用：分母有理化． （3）拓展：比较大小与． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．综合探究： 像这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题： （1）与 　 　 ，互为有理化因式； （2）比较大小： 　 　 ；（填“＞”“＜”或“＝”） （3）计算：． 2．按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于4+3＝7，4×3＝12，即：，， 所以：， 应用：　 　 ，　 　 ． （2）阅读：． 应用： ①若，求﹣2a2+12a+3的值； ②解方程． （3）阅读：已知，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因x2＜y2，且x，y都是正数，故x＜y． 应用：比较大小：　 　 ， 　 　 ． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，g＝10，单位：N/kg） （1）求从45m高空抛物到落地的时间t； （2）若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度h． 2．阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“x＝y”时，等号成立． 例：已知x＞0，求函数的最小值． 解：令a＝x，则有， 得 当且仅当，即x＝2时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知x＞0，则函数取到最小值，最小值为　　 ，已知x＞2，则的最小值是　　 ； （2）已知x＞0，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S△BOC＝16，S△AOD＝36，求四边形ABCD的面积的最小值． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（五） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（π取3，g＝9.8 m/s2） （1）求摆针摆动的周期． （2）如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 2．小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数． （1）如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由． 3．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与1与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）21与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　； （2）①比较大小：　 　 （填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）． ②计算以下式子的值：． （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（六） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．（1）填空：（只填写符号：＞，＜，＝） ①当a＝2，b＝3时，a+b　 　 ； ②当时，a+b　 　； ③当a＝5，b＝5时，a+b　 　 ； （2）观察以上式子，猜想a+b与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 2．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为S1，S2． （1）求S1+S2的值； （2）用一根长为14m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 3．细心观察图，认真分析各式，然后解答下列问题：，（S1是Rt△OA1A2的面积）； ，（S2是Rt△OA2A3的面积）； ，（S3是Rt△OA3A4的面积）； … （1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：n ，Sn＝　　 ； （2）在线段OA1，OA2，OA3，…OA2025，中，长度为正整数的线段共有　 　条； （3）求的值． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（七） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其进一步简化：.这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 2．【阅读理解】如图，将边长为1，1，，的正方形的面积分别记为S1，S2，S3，S4． （1）计算：S2﹣S1，S3﹣S2，S4﹣S3； （2）把边长为的正方形的面积记作Sn，其中n是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？写出你的猜想，并说明理由； 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记T1＝S2﹣S1，T2＝S3﹣S2，…，令M＝T1+T2+⋯+T30，求M的值； ②若将边长变为，，…，，试求Sn+1﹣Sn的值． 3．（1）比较大小：①2+1 　 　 ；② 　 　 ；③8+8 　 　 （填“＞”，“＜”，或“＝”）； （2）猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：a+b　 　 （填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”），并请你对猜想的结论进行证明； （3）结论应用．如图，某同学用竹条做两个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要 　 　 cm． 第十一章 二次根式 二次根式的应用（八） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之 林．今年我国出现了令世界震惊的具有超强创新能力的智能机器人以及AI助手DeepSeek，其创始人分别为王 兴兴，梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小慧猜想出了一个新的问题：两个数比值的算术平方根与这两 个数的算术平方根的比值可能存在相等关系？小慧用自己的方法进行了验证：因为，而，所以 ． 请你根据小慧的猜想，解答下列问题． （1）比较大小：　　 （填“＞”“＝”或“＜”）． （2）当a≥0，b＞0时，直接写出和之间的关系． （3）运用（2）的结论，计算：①．②已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽． （4）直接写出的值． 2．阅读理解下面内容，并解决问题． 用求差法比较大小 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子为m和n，那么 当m＞n时，一定有m﹣n＞0；当m＝n时，一定有m﹣n＝0；当m＜n时，一定有m﹣n＜0． 反过来也正确，即 当m﹣n＞0时，一定有m＞n；当m﹣n＝0时，一定有m＝n；当m﹣n＜0时，一定有m＜n． 因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法被称为“求差法”． 例如：已知a＞b＞c＞0，比较与的大小． 解：． ∵a＞b＞c＞0， ∴a﹣b＞0，ab＞0，a+b﹣c＞0， ∴， ∴． “求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论． 请解决以下问题： （1）用“＞”或“＜”填空：3 　　 4﹣2； （2）制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板．方案2：用3块A型钢板，7块B型钢板．已知A型钢板的面积比B型钢板的面积大．若A型钢板的面积为x，B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由． （3）已知a＞0，比较a与的大小． 二次根式的应用（一）参考答案 1.解：（1）， ， 而， ∴， ∴； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y有最大值是3． 2.解：（1）， 故答案为：； （2）原式 ； （3）， ， ∵， ∴， 即． 二次根式的应用（二）参考答案 1.解：（1）， 故有理化因式为； （2） ； （3）由得， 两边平方：， 所以x2﹣6x+9＝5， x2﹣6x＝﹣4， 所以x2﹣6x+12 ＝﹣4+12 ＝8． 2.解：（1）的有理化因式是，2的有理化因式为2； 故答案为，2； （2）； （3）∵， 2， 而2 ∴， ∵0，20， ∴2． 二次根式的应用（三）参考答案 1.解：（1）与互为有理化因式； 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵，， 而， ∴． 故答案为：＜； （3）原式＝（...）×（1） （1） ＝1012． 2.解：（1） 1， ， 故答案为：1；； （2）①a ＝3， ﹣2a2+12a+3 ＝﹣2a2+12a﹣18+18+3 ＝﹣2（a2﹣6a+9）+21 ＝﹣2（a﹣3）2+21 ＝﹣2（33）2+21 ＝﹣2×7+21 ＝﹣14+21 ＝7； ②， 去括号得：2x﹣4x﹣3 移项，合并同类项得：（2）x＝1， 系数化为1得：x2， 即原方程的解为x＝2； （3）（）2＝5+26＝11+2，（）2＝3+210＝13+2， ∵11＜13， ∴11+213+2， ∴， （2）2＝4+47＝11+4，（3）2＝9+62＝11+6， ∵4，6，112＞72， ∴46， ∴11+411+6， ∴23， 故答案为：＜；＞． 二次根式的应用（四）参考答案 1.解：（1）将h＝45代入得： t3s， 答：从45m高空抛物到落地的时间t为3s； （2）将t＝4代入得：， 解得：h80m， 答：玩具抛出前离地面的高度h为80m． 2.解：（1）函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即x＝1时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即x＝3时，的最小值是4， 故答案为：6，4． （2）∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵x＞0， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时y有最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）设S△COD＝y，S△AOB＝x，则S四边形ABCD＝16+36+x+y， ∵， ∴； 当且仅当x＝y时，； 此时BC∥AD，， 故S最小＝100． 二次根式的应用（五）参考答案 1.解：（1）T＝2π ＝2×3 ＝6 （s）． 答：摆针摆动的周期s． （2）6分＝360秒， ∴360420（次）． 答：在1分钟内，该座钟大约发出420次滴答声． 2.解：（1）根据题意得23； （2）最后的计算结果能和合并． 理由如下： 根据题意得223， 而4， ∵与是同类二次根式，所以与4能合并， 即最后的计算结果能和合并． 3.解：（1）∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得． 故答案为：，； （2）①∵， ， 而， ∴， ∴； 故答案为：＜； ② ＝35﹣1 ＝34． （3）∵， ∴， 即， ∴，﹣a﹣5＝0 解得a＝﹣5，b＝﹣9 即a的值是﹣5，b的值为﹣9． 二次根式的应用（六）参考答案 1.解：（1）①当a＝2，b＝3时， a+b＝5， ， ∵， ∴． ②当时， ， ， ∴． ③当a＝5，b＝5时， a+b＝10， ， ∴． 故答案为：＞；＞；＝； （2）． 证明：∵， ∴， ∴； （3）设矩形花坛的长为x，宽是y，则xy＝16， ∵， ∴x+y≥8， ∴2（x+y）≥16， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是16． 2.解：（1）由题意可得：，， ∴ ＝8（m2）； （2）两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，142＝196，192＜196， ∴能围成这两个正方形． 3.解：（1）观察所给式子可得． 对于，，，所以（n为正整数）． 故答案为：n，． （2）∵， ∴ 当n＝1时，， 当n＝4时，， 当n＝9时，， 当n＝16时，， …， 当n＝k2（k为正整数）时，， ∵442＝1936，452＝2025， ∴1到2025有45个完全平方数， ∴线段OA1，OA2，OA3，…OA2025，中，长度为正整数的线段共有45条． 故答案为：45． （3）∵，，，⋯， ∴ ＝18． 二次根式的应用（七）参考答案 1.解：（1）； （2）由题意得：矩形的另一边长15+62＝17+7， ∴它的周长＝2（17+72）＝2（15+8）＝30+16． 2.解：（1）S2﹣S112＝1+22﹣1＝2+2； S3﹣S21+48﹣1﹣22＝6+2； S4﹣S31+618﹣1﹣48＝10+2； （2）Sn+1﹣Sn＝4n﹣2+2，理由如下： Sn+1﹣Sn ＝1+2n+2n2﹣[1+2（n﹣1）+2（n﹣1）2] ＝1+2n+2n2﹣[1+2（n﹣1）+2n2﹣4n+2] ＝1+2n+2n2﹣1﹣2n+22n2+4n﹣2 ＝4n﹣2+2； （3）①M＝460+601860﹣60+601800+60； ②Sn+1﹣Sn ＝a2+2ann2b﹣[a2+2a（n﹣1）（n﹣1）2b] ＝a2+2ann2b﹣[a2+2an2an2b﹣2nb+b] ＝a2+2ann2b﹣a2﹣2an2an2b+2nb﹣b ＝2nb﹣b+2a． 3.解：（1）∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：＞，＞，＝； （2）猜想：， 理由是：∵a≥0，b≥0， ∴， ∴； 故答案为：≥； （3）设AC＝a，BD＝b， 由题意得：， ∴ab＝3600， ∵， ∴， ∴a+b≥120， ∴用来做对角线的竹条至少要2×120＝240厘米． 故答案为：240． 二次根式的应用（八）参考答案 1.解：（1）由材料知，， 故答案为：＝； （2）当a≥0，b＞0时，； （3）①； ②由题意列式得：， 则这个长方形的宽为； （4）原式45． 2.解：（1）3 ＝34 ＝﹣1， 即34， 故答案为：＜； （2）选用方案2，理由如下： 方案1的面积为：4x+6y， 方案2的面积为：3x+7y， 4x+6y﹣（3x+7y） ＝4x+6y﹣3x﹣7y ＝x﹣y， ∵A型钢板的面积比B型钢板的面积大， ∴x﹣y＞0， 即4x+6y＞3x+7y， 故选择方案2； （3）a， ∵a＞0， ∴当0＜a＜1时，，则a； 当a＝1时，0，则a； 当a＞1时，0，则a． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $