第11章 二次根式 专项训练（4个小专题） 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

第11章 《二次根式》各知识点专项练习 （适用所有版本） 专项一：二次根式定义、性质专项练习 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 4．若是二次根式，则x的取值范围是 　 　． 5．若为整数，则x的最小正整数值为 　 　． 6．若是二次根式，则x的取值范围为 　 　． 7．已知x，y都是实数，且，则yx＝　 　． 8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 9．化简：　 　． 10．当a＜﹣1时，　 　． 11．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值． 12．当a为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式？ ，，，． 13．实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|． 14．（1）若1﹣x，则x的取值范围为 　 　； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 专项二：二次根式的乘除及最简二次根式 1．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 3．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果为（　　） A．1 B． C． D．5 5．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算：　 　． 7．计算：　 　． 8．计算：　 　． 9．计算：　 　． 10．计算：（）（）＝　 　． 11．计算：． 12．计算：． 13．计算： （1）； （2）（）． 14．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．把下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．把下列二次根式化为最简二次根式： （1）； （2）． 17．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 专项三：同类二次根式专项练习 1．下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式，与不是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．将下列二次根式化为最简二次根式后，与不是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 5．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 　 　． 6．若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为 　 　． 7．若与最简二次根式是同类二次根式，则a＝　 　． 专项四：二次根式加减运算、化简求值专项练习 1．计算：． 2．计算：； 3．计算：； 4．计算． 5．计算：． 6．计算：． 7．计算：2． 8．计算：2． 9．计算：3． 10．计算： （1）﹣12﹣2（）0； （2）（）2﹣（2）（2）． 11．计算： （1）； （2）（3）（3）﹣（）2． 12．计算： （1）（）（）； （2）； （3）已知，，求x2﹣2xy+y2的值． 13．阅读下面的文字，解答后面的问题． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 14．我们知道，因此将分子、分母同时乘“，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简　 　　 　； （2）若，求（x﹣y）2﹣xy的值； （3）根据以上规律计算下列式子的值． 15．观察下列等式： ①； ②； ③． 回答下列问题： （1）化简：　 　；　 　；（n为正整数） （2）利用上面所揭示的规律计算：； （3）拓展延伸：若，，求x2﹣xy+y2的值． 第11章 《二次根式》专项练习参考答案 专项一：二次根式定义、性质专项练习 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、的被开方数﹣1.2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、是三次根式，故此选项不符合题意； D、三次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 【详解】解：由题意得：x+1≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥﹣1且x≠3， 故选：B． 4．若是二次根式，则x的取值范围是 　x≥﹣3　． 【详解】解：∵是二次根式， ∴x+3≥0，解得：x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3． 5．若为整数，则x的最小正整数值为 　2　． 【详解】解：∵8＝4×2＝22×2， ∴， ∴x的最小正整数值是2． 故答案为：2． 6．若是二次根式，则x的取值范围为 　x≥2　． 【详解】解：根据题意得：x﹣2≥0， 即x≥2， 故答案为：x≥2． 7．已知x，y都是实数，且，则yx＝　64　． 【详解】解：∵， ∴x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， 将x＝3代入， 得：y＝4， ∴yx＝43＝64． 故答案为：64． 8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x＞3　． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， 解得x＞3． 故答案为：x＞3． 9．化简：　　． 【详解】解：∵3，即3＜0， ∴3． 10．当a＜﹣1时，　﹣a﹣1　． 【详解】解：∵a＜﹣1， ∴a+1＜0， ∴原式＝﹣a﹣1， 故答案为：﹣a﹣1． 11．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值． 【详解】解：∵0， ∴当a时，有最小值，是0． 则1的最小值是1． 12．当a为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式？ ，，，． 【详解】解：由平方非负数的性质可知，当a为实数时，，一定是二次根式． 13．实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|． 【详解】解：由数轴可得出：2＜a＜4， ∴|a﹣2|a﹣2a﹣2+4﹣a＝2． 14．（1）若1﹣x，则x的取值范围为 　x≤﹣1　； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 【详解】解：（1）∵， ∴﹣1﹣x≥0， ∴x≤﹣1， 故答案为：x≤﹣1； （2）由数轴得，a＜b＜0＜c， ∴c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴ ＝﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b） ＝﹣a﹣c+a+c﹣b ＝﹣b． 专项二：二次根式的乘除及最简二次根式 1．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、2，故A不符合题意； B、2，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、2，故D不符合题意； 故选：C． 2．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【详解】解：根据题意得x≥0且x﹣6≥0， 所以x≥6． 故选：A． 3．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【详解】解： ． 故选：D． 4．计算的结果为（　　） A．1 B． C． D．5 【详解】解：， 故选：A． 5．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：，故A不符合题意； ，运算正确，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 6．计算：　　． 【详解】解：原式． 故答案为：． 7．计算：　20　． 【详解】解：原式＝4×5＝20． 故填20． 8．计算：　　． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算：　6　． 【详解】解：22×3＝6． 故答案为：6． 10．计算：（）（）＝　1　． 【详解】原式＝（）（）＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 11．计算：． 【详解】解： ＝10． 12．计算：． 【详解】解：原式 ＝2． 13．计算： （1）； （2）（）． 【详解】解：（1） ； （2）（） ＝2． 14．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 15．把下列二次根式化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）；（4）． 【详解】解：（1）4； （2）2； （3）； （4）． 16．把下列二次根式化为最简二次根式： （1）； （2）． 【详解】解：（1）20； （2）． 17．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1），不是最简二次根式； （2），是最简二次根式； （3）2x，不是最简二次根式； （4）（a+1），不是最简二次根式． 专项三：同类二次根式专项练习 1．下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、，不能与合并，故此选项不符合题意； B、，不能与合并，故此选项不符合题意； C、不能与合并，故此选项不符合题意； D、，能与合并，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列二次根式，与不是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：3， A、与是同类二次根式，不符合题意； B、2，与不是同类二次根式，符合题意； C、4，与是同类二次根式，不符合题意； D、5，与是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 3．将下列二次根式化为最简二次根式后，与不是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，选项符合题意； C、，与是同类二次根式，选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，选项不符合题意； 故选：B． 4．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】解：A． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； B． ，与被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； C． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； D． ，与被开方数相同，能合并，是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 5．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 　8　． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴2x﹣5＝3+x， ∴2x﹣x＝3+5， ∴x＝8． 故答案为：8． 6．若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为 　4　． 【详解】解：， 根据题意得：a﹣1＝3， ∴a＝4． 故答案为：4． 7．若与最简二次根式是同类二次根式，则a＝　3　． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴a﹣1＝2， 解得a＝3． 故答案为：3． 专项四：二次根式加减运算、化简求值专项练习 1．计算：． 【详解】解：原式 ． 2．计算：； 【详解】解：（1） ＝0； 3．计算：； 【详解】解：（1） ＝4324 ＝（4+3）（2﹣4） ＝72； 4．计算． 【详解】解： ＝3 ＝5． 5．计算：． 【详解】解：原式＝3223 ＝（3+2）（2+3） ＝55． 6．计算：． 【详解】解：原式＝2240． 7．计算：2． 【详解】解：原式＝2 ＝2×34 ＝64 ． 8．计算：2． 【详解】解：原式＝43 ． 9．计算：3． 【详解】解：原式＝23 ＝（23） ． 10．计算： （1）﹣12﹣2（）0； （2）（）2﹣（2）（2）． 【详解】解：（1）原式＝﹣11+2 ； （2）原式＝3﹣21﹣（4﹣3） ＝4﹣21 ＝3﹣2． 11．计算： （1）； （2）（3）（3）﹣（）2． 【详解】解：（1）原式2 ＝42 ＝4； （2）原式＝9﹣5﹣（3﹣21） ＝4﹣4+2 ＝2． 12．计算： （1）（）（）； （2）； （3）已知，，求x2﹣2xy+y2的值． 【详解】解：（1）原式2﹣5 ＝27； （2）原式＝1023 ＝72； （3）∵，， ∴x2﹣2xy+y2 ＝（x﹣y）2 ＝（11）2 ＝22 ＝4． 13．阅读下面的文字，解答后面的问题． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　4　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． 故答案为：4，； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分b＝3． ∴． 14．我们知道，因此将分子、分母同时乘“，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简　2　　　； （2）若，求（x﹣y）2﹣xy的值； （3）根据以上规律计算下列式子的值． 【详解】解：（1）2， ， 故答案为：2，； （2）x3﹣2，y3+2， 则x﹣y＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4，xy＝（3﹣2）（3+2）＝9﹣8＝1， 则（x﹣y）2﹣xy＝（﹣4）2﹣1＝32﹣1＝31； （3）原式1 1． 15．观察下列等式： ①； ②； ③． 回答下列问题： （1）化简：　　；　　；（n为正整数） （2）利用上面所揭示的规律计算：； （3）拓展延伸：若，，求x2﹣xy+y2的值． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：；； （2）原式... 1... 1 ＝45﹣1 ＝44； （3）x，y， ∴x﹣y，xy， ∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝（）2+（）＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $第11章《二次根式》各知识点专项练习 (适用所有版本) 专项一：二次根式定义、性质专项练习 1.下列各式中，一定是二次根式的是() A.V-1.2 B.V2.4 C.-1.2 D.V-2.4 2.下列各式中，一定是二次根式的是() A.V-2 B.3 C.Va2+1 D.va-1 3.若Vx+1+是3有意义，则实数x的取值范围是（) A.x>-1且x≠3B.x≥-1且x≠3C.x≥1且x≠3D.x≠-1且x≠3 4.若x+3是二次根式，则x的取值范围是 5.若V⑧x为整数，则x的最小正整数值为 6.若V√x-2是二次根式，则x的取值范围为 7.已知x,y都是实数，且y=V3-x+√x-3+4,则y= 8。若代数式有意义，则实数x的取值范围是 9.化简：W7-3)2= 10.当a<-1时，√(a+1)2= 11.当a取什么值时，代数式V2a+1+1取值最小？并求出这个最小值. 12.当α为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式？ Va+10,√a2-1,a2+1,√(a-1)2 13.实数a在数轴上的位置如图，化简1a-2+Va2-8a+16. 14.(1)若√(1+x)2=-1-,则x的取值范围为 (2)已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简Va2-lc-+√仍-c)严. ab0&→ 专项二：二次根式的乘除及最简二次根式 1.下列运算结果正确的是() A.V4=±2 B.√-2)2=-2C.V3×V2=V6D.V12÷2=V6 2.若√x(x-6=VxVx-6则() A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数 3.计算×√7的结果为() A.V10 B.7V3 C.3V7 D.V21 .计第v5x侵的结果为《) A.1 B.V2 C.3 D.5 5.下列各式计算正确的是() A.V3z=±3 B.V4×9=6 C.V4.9=0.7 D.V4+9=5 6计算：5×层 7.计算：(-2V52= 8.计算：V6÷V3= 9.计算：V5×V12= 10.计算：(3+V2)(W3-V2)=— 11.计算：V6×√50÷V3. 12.计算：V30÷V3×V2. 13.计算： 4)5×层 (2)(√12×√6)÷3. 14.把下列各式化成最简二次根式： (1)V12: 3) (4)V32x2y(x>0) 15.把下列二次根式化成最简二次根式： (1)V32: (2)√40： (3)1.5: 16.把下列二次根式化为最简二次根式： (1)V1200: 9b2 (2)2a 17.判断下列二次根式是不是最简二次根式： (2)V42a: (3)V24x; (4)√3(a2+2a+1)(a≥-1). 专项三：同类二次根式专项练习 1.下列二次根式中，能与32合并的是() A.√0.2 B.v4 C.v6 D.V⑧ 2.下列二次根式，与V18不是同类二次根式的是() A.V2 B.V12 C.V32 D.V50 3.将下列二次根式化为最简二次根式后，与V2不是同类二次根式的是() A月 B.V12 C.V18 D.V50 4.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A.√2与V6 B.V3与√⑧ C.V5与v10 D.V12与23 5.若最简二次根式3√2x-5与V3+x是同类二次根式，则x的值是 、 6.若V2与最简二次根式Va-1是同类二次根式，则a的值为一 7.若V⑧与最简二次根式√Q-1是同类二次根式，则a=一 专项四：二次根式加减运算、化简求值专项练习 1.计算：√12+V27. 2.计算：V18-2W8+√2： 3.计算：4W5+√4-V⑧+4v2; 4.计算√27-V12+V48. 5.计算：3v3-2W2+V12-V18. 6.计算：V+3写® 7.计算：2-2-层 8.计算：2v2露+月-丽 9.计算：V243居+54 10.计算： 1)12-2+(-)4 (2)(3-1)2-(2+V3)(2-5). 11.计算： 1)须5-经x匣+24 (2)(3+V5)(3-V5)-(3-1)2. 12.计算： (1)(2-V5)(5-√2)： (2)2W7灭+√8-√27： (3)已知x=V2+1,y=V2-1,求x2-2x叶y2的值. 13.阅读下面的文字，解答后面的问题. 例如：，V4<√7<，即2<√7<3， ∴V7的整数部分为2，小数部分为V7-2. (1)√17的整数部分是，小数部分是 (2)如果v5的小数部分为a,√13的整数部分为b,求a+b-v5的值. 1 14.我们知道(V5+V2)v3-V②=1，因此将+V疙分子、分母同时乘“V3-V2分母就变成了1， 原式可以化简为3-2，所以有V+V=V3-V2, 请仿照上面的方法，解决下列各题. (1)化简：5+2 1 1 V6-√5 1 1 (2)若x=3+22/y=322求x-)2w的值： 1 (3)根据以上规律计算下列式子的值：2+1+3+2+V4+V3…+2022+V202 1 1 1 15.观察下列等式： 1 V2-1 ①V2+1- (W2+1)(W2-1) =V2-1: 1 3-V2 ②5+V7万s+V2NiV②=Vi-Va, 4-V3 ®V4+V4-v5V4-V3, 1 回答下列问题： 1 (1)化简：V2025+V2024 -:n+1+V元 ；(n为正整数) (2)利用上面所揭示的规律计算： 1 1 1 1+V2+V2+V5+V3+V4+…+V2023+V20z+V2024+V202 1 1 (3)拓展延伸：若x=35y=5+5:求2-的值. 第11章 《二次根式》专项练习参考答案 专项一：二次根式定义、性质专项练习 1.下列各式中，一定是二次根式的是() A.V-1.2 B.V2.4 C.-1.2 D.-2.4 【详解】解：A、V一1.2的被开方数-1.2<0，不是二次根式，故此选项不符合题意： B、√2.4是二次根式，故此选项符合题意： C、√一1.2是三次根式，故此选项不符合题意： D、√一2.4三次根式，故此选项不符合题意： 故选：B. 2.下列各式中，一定是二次根式的是() A.V-2 B.5 C.Va2+1 D.va-1 【详解】解：A、√一2的被开方数-2<0，不是二次根式，故此选项不符合题意： B、3是三次根式，故此选项不符合题意： C、√a2+1的被开方数2+1>0，是二次根式，故此选项符合题意： D、√a-1的被开方数a-1有可能小于0，即当a<1时不是二次根式，故此选项不符合题意： 故选：C 3.若Vx+1+3有意义，则实数x的取值范围是（) A.x>-1且x≠3B.x≥-1且x≠3C.x≥1且x≠3D.x≠-1且x≠3 【详解】解：由题意得：x+1≥0且x-3≠0， 解得：x≥-1且x≠3， 故选：B. 4.若V√x+3是二次根式，则x的取值范围是x≥-3_. 【详解】解：，√x+3是二次根式， x+3≥0，解得：x≥-3， 故答案为：x≥-3. 5.若V⑧x为整数，则x的最小正整数值为2_ 【详解】解：8=4×2=22×2， .V8x=√22×2x, ∴.x的最小正整数值是2. 故答案为：2. 6.若Vx-2是二次根式，则x的取值范围为x≥2一， 【详解】解：根据题意得：x-2≥0， 即x≥2， 故答案为：x≥2 7.已知x,y都是实数，且y=V3-x+Vx-3+4,则y=64 【详解】解：y=√3-x+Vx-3+4, ∴.x-3≥0,3-x≥0， ,x=3, 将x=3代入y=V3-x+Vx-3+4, 得：y=4, y=43=64. 故答案为：64. 1 8。若代数式有意义，则实数x的取值范围是3 1 【详解】解：“代数式后有意义， .x-3>0, 解得x>3. 故答案为：x>3. 9.化简：W7-3)2=_3-V7_ 【详解】解：：√7<3，即v7-3<0, ∴W7-3)2=3-V7. 10.当a<-1时，√(a+1)2=-a-1_ 【详解】解：，a<-1, ∴.+1<0， ∴.原式=-a-1, 故答案为：-a-1. 11.当a取什么值时，代数式2a+I+1取值最小？并求出这个最小值. 【详解】解：，√2a+1≥0， ∴当a-2时，V2a+1有最小值，是0. 则V2a+1+1的最小值是1. 12.当a为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式？ a+10,Va2-1,Va2+1,√(a-1)2 【详解】解：由平方非负数的性质可知，当a为实数时，√a2+1,√(a-1)2一定是二次根式. 13.实数a在数轴上的位置如图，化简1a-2+Va2-8a+16, 024 【详解】解：由数轴可得出：2<a<4, .la-2+Va2-8a+16=a-2+√(a-4)2=a-2+4-a=2. 14.(1)若√1+x)2=-1-x,则x的取值范围为x≤-1： (2)己知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简V-c-d+√仍-c)严. a60c→ 【详解】解：(1)：√(1+x)2=-1-x, ∴.-1-x≥0， .x≤-1， 故答案为：x≤-1： (2)由数轴得，a<b<0<c, .c-a>0,b-c<0, .√a2-lc-ad+√b-c) =-a-(c-a)+(c-b) =-a-c+a+c-b =-b 专项二：二次根式的乘除及最简二次根式 1.下列运算结果正确的是() A.V4=士2 B.V(-2)2=-2C.V5×V2=V6D.V12÷2=V6 【详解】解：A、√4=2，故A不符合题意： B、√(-2)2=2，故B不符合题意： C、V3×√2=√6，故C符合题意： D、√12÷2=√3，故D不符合题意： 故选：C 2.若√x(x-6=VxVx-6则() A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数 【详解】解：根据题意得x≥0且x-6≥0， 所以x≥6. 故选：A. 3.计算V3×V7的结果为() A.V10 B.7V3 C.3V7 D.21 【详解】解：√5×√7 =√3×7 =√21. 故选：D 4.计算V5× 、的结果为() A.1 B.V2 C.3 D.5 【期1第：6×-5×号=1， 故选：A 5.下列各式计算正确的是() A.V32=±3 B.V4×9=6 C.V4.9=0.7 D.V4+9=5 【详解】解：V32=3,故A不符合题意： √4×9=6，运算正确，故B符合题意： √4.9= ,故C不符合愿意： 49x10=710, N100