精品解析：江西吉安县吉安县文博学校2025-2026学年下学期八年级练习 数 学

八年级练习 数学 说明：1.范围：北师大版，下册第一章． 2.满分：120分；时间：120分钟． 3.请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 在如图所示的图形中，是三角形的外角的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图已知，，则直接判断的根据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，点，分别在边和上，且，则的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 4. 如图，等腰的周长为20，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③的周长；④，其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 三角形的内角和等于_______________度 8. 在等腰三角形中，有一个角为，则底角为____________． 9. 如图，在中，，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为____________． 10. 用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设______． 11. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 12. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 14. 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． （1）两个全等的三角形的周长相等； （2）四边形是多边形． 15. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 16. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点C作边上的高线； （2）在图②中，过点E作的平行线． 17. 如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，求的度数； （2）当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． （1）求证：平分； （2）若的面积为，，求的长． 19. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． （1）求证：是等边三角形； （2）求线段的长． 20. 如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点E． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】 （1）已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 （2）在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 22. 如图所示，D、E分别是的边、上的点，且，． （1）若，则_______． （2）若，则_______． （3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、间所满足的关系吗？请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景进行探究性活动．如图1，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 初步分析 （1）①智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． ②如图2，在①的基础上同学们又进行了如下操作：过点F作交于点M，作，垂足为P，求证：． 操作探究 （2）创新小组的同学在（1）②的基础上继续进行深入探究，发现与恒相等，请你思考此问题，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级练习 数学 说明：1.范围：北师大版，下册第一章． 2.满分：120分；时间：120分钟． 3.请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 在如图所示的图形中，是三角形的外角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，进行判断即可． 【详解】解：是中，边与边的延长线组成的角，符合三角形外角的定义； 、、都是的内角，不符合外角定义． 2. 如图已知，，则直接判断的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据判断，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选C． 3. 如图，在中，，，点，分别在边和上，且，则的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，等腰的周长为20，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：∵等腰的周长为20，， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 5. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的定义，根据三角形内角和定理，直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．∵，， ∴，∴，则不能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，， ∴，∴，无法确定或是否为，则不能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，， ∴，∴，，，则不能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③的周长；④，其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】先由，得，结合角平分线的定义，得，则由等角对等边，得①；因为，所以②；因为③的周长，所以得③；结合三角形的内角和，列式化简，得④．即可作答． 【详解】如图： ∵， ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴，故①是正确的； ∵，， ∴， ∴，故②是错误的； ∵的周长， ∴的周长，故③是正确的； ∵，， ∴， ∴，故④是正确的； 综上，错误的是②． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 三角形的内角和等于_______________度 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：三角形的内角和等于180度， 故答案为：180． 8. 在等腰三角形中，有一个角为，则底角为____________． 【答案】 20度 【解析】 【分析】分情况讨论已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和为排除不符合的情况． 【详解】解：若为底角， 则两底角之和为，这与三角形内角和为矛盾，故只能是顶角， 两底角之和为， 又等腰三角形两底角相等， 底角为． 9. 如图，在中，，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用翻折和三角形内角和定理可得，，则可得，，利用勾股定理求出，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设______． 【答案】这三个数是非正数 【解析】 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是明确原命题结论的否定形式，从而正确作出假设． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题结论为“三个数中至少有一个正数”，“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即需假设这三个数中没有正数（都是非正数）． 【详解】要证明 “三个不相等的数的和等于 0，那么这三个数中至少有一个正数”，用反证法时，应先假设原命题的结论不成立． “三个数中至少有一个正数” 的否定是 “三个数中没有正数”，即 “这三个数都是非正数（0 或负数）”． 故答案为：这三个数是非正数． 11. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 12. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____． 【答案】40°或100°或140° 【解析】 【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，可知DP＝ DE，所以可以分两种情况考虑: ①点P在AB上；②点P在AC上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°， ∴∠EDB＝20°， ∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形， ∴DP＝ DE， ①如图，当点P在AB上时，记为P1， ∵DE＝DP1， ∴∠DP1E＝∠AED＝70°， ∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ②如图，当点P在AC上时，有两个点P2、 P3符合条件， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， 过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∴DG＝DH， 在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ， ∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL）， ∴∠AP2D＝∠AED＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°=80°， ∴∠EDP2＝140°， 同理证得Rt△DEG≌Rt△D P3H（HL）， ∴∠EDG＝∠P3DH， ∴∠EDP3＝∠GDH＝100°， 故答案为：40°或100°或140°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】7 【解析】 【分析】先利用线段和差求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． （1）两个全等的三角形的周长相等； （2）四边形是多边形． 【答案】（1） 逆命题：周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题 （2） 逆命题：多边形是四边形，逆命题是假命题 【解析】 【小问1详解】 解：逆命题：周长相等的两个三角形全等， ∵周长相等的两个三角形不一定全等， ∴逆命题是假命题； 【小问2详解】 解：逆命题：多边形是四边形， ∵五边形、六边形等都是多边形 ∴逆命题是假命题． 15. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 16. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点C作边上的高线； （2）在图②中，过点E作的平行线． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，交于，再连接，并延长交于F，利用垂心的性质从而可得答案； （2）如图所示，在（1）的基础上，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：连接，交于，再连接，并延长交于F， ∵，点D是边的中点， ∴， 又∵， ∴点为三角形三条高的交点， ∴， 【小问2详解】 解： ∵，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，求的度数； （2）当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 【答案】（1） （2）时，， 证明：当时， 在中，． ∵， ∴． 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是角的和差运算，内角和定理的应用，全等三角形的判定； （1）直接利用平角的定义求解即可； （2）先证明，再结合即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． （1）求证：平分； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴． ∵于点，于点． ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分． （2）7cm 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的判定定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过证明直角三角形全等得到，进而利用角平分线判定定理完成证明，再结合面积关系求解线段长度． （1）由D是中点得，结合、及，用证，得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上，证平分； （2）利用的面积等于与的面积之和，结合及的长，列关于的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，则, ∴为等腰三角形，且． ∵，， ∴． 由（1）得， ∴， 解得， ∴的长为． 19. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． （1）求证：是等边三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形 ∴． ∵， ∴，， ∴是等边三角形． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线性质得到角的关系以判定等边三角形，通过作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一建立线段间的等量关系． （1）由等边三角形的各角为，结合利用平行线的同位角相等可得，再结合即可证明是等边三角形； （2）设由是等边三角形得结合可得过E作利用得，进而得由和得再通过建立关于x的方程，求解即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为点，则，设．由（1）得是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，解得， ∴线段的长为6． 20. 如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点E． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据外角平分线的性质和三角形外角的性质计算即可； （2）根据外角平分线的性质证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵是的外角的角平分线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】 （1）已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 （2）在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】（1） 如图，连接并延长至点， ∴，， ∴ （2）或， 如图，当点在点右侧时，设与交于点， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在点左侧时， 连接并延长至点， ∴，， ∴， ∴； 综上，或； 【解析】 【分析】（1）连接并延长至点，利用三角形外角的性质可得，，再利用即可证明； （2）分当点在点右侧时和当点在点左侧时两种情况分别讨论，利用三角形外角的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图所示，D、E分别是的边、上的点，且，． （1）若，则_______． （2）若，则_______． （3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、间所满足的关系吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解； （2）由（1）中结论，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，； 故答案为： 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵，，∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景进行探究性活动．如图1，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 初步分析 （1）①智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． ②如图2，在①的基础上同学们又进行了如下操作：过点F作交于点M，作，垂足为P，求证：． 操作探究 （2）创新小组的同学在（1）②的基础上继续进行深入探究，发现与恒相等，请你思考此问题，并说明理由． 【答案】 解：（1）①证明：平分， ∴. ∵，， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. ②证明：如图，连接. ∵，， ∴， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）如图，过点F作，垂足为N. 平分，且， ∴. 由（1）②可知，， ∴. ∵，， ∴. 又∵，， ∴， ∴. 由（1）①可知，， ∴. 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的性质，平行线的性质性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①由角平分线的性质和余角的性质可得，可得，可得结论； ②连接.证明即可得结论； （2）过点F作，垂足为NFN⊥AC，证明，即可得结论． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $