精品解析：江西省吉安市吉安县凤凰中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

江西省2024届八年级第七次阶段适应性评估 数学 ▶下册1．1～5．3◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内，错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义：形如，B中含有字母且，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，只有符合分式的定义， 故选：D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，是多项式乘多项式，不符合题意； B、，结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、，原等式不成立，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 不等式的整数解有无数个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式的解一定是不等式的解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的解和解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式性质3计算判定A；根据不等式整解判定B；求出不等式的解集即可判定C；根据不等式解意义好戏可判定D． 【详解】解：A、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； B、不等式的整数解有无数个，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，又，所以是不等式的一个解说法错误，故此选项符合题意； D、不等式的解一定是不等式的解，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 若且，则分式的值是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，由题意可得再把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 6. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交点为E，F，连接， 与相交于点D，连接．若，则的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，为垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得出，，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得出，进而可得出，由含的直角三角形的性质可得出，由勾股定了可得出，根据三角形周长公式可得出答案． 【详解】解：由作图可知，为垂直平分线， ∴， ∴ ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握这些定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 8. 若分式的值为0，则a的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件．熟练掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不等于0是解题的关键． 根据分式值为0的条件得，求解即可． 【详解】解：∵的值为0 ∴ 解得：． 故答案为：0． 9. 若点在第二象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，根据点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得到关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】． 【解析】 【分析】两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质求解，勾股定理，根据旋转性质可得出，，根据角度间的关系得出，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：． 12. 如图，，已知点A在射线上，点B在上，，，将沿向右平移，得到（点D在线段上），当为等腰三角形时，平移的距离为______． 【答案】2或或6 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．注意分类讨论，以免漏解． 分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解： ①当时，如图1， 当平移到，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ，即平移距离为2． ②当时，如图2， 当平移到，， ∴， ∴， ，即平移距离为． ③当时，如图3， 当平移到，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ，即平移距离为6． 综上所述，的长为2或或6． 故答案为：2或或6. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简分式：． （2）通分：，． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键． （1）将分式分子分母分解因式，再约分即可； （2）根据通分法则计算即可． 【详解】解：（1）． （2）最简公分母为， ， ． 14. 已知，求的值． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求解，先将式子因式分解得到，再将给出的式子代入求解即可． 【详解】解：． ， ． 15. 在实数范围内规定新运算“”，基本规则是．已知不等式的解集在数轴上的表示如图所示，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解不等式，不等式解集在数轴上的表示，熟练掌握解不等式和不等式解集在数轴上的表示方法是关键． 根据新定义的运算，得出不等式，再求解不等式，然后根据在数轴上表示的不等式解集，得出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得． 由不等式的解集在数轴上的表示可知， ， 解得． 16. 如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，P为内部的格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在的边上确定一点D，使的长最短． （2）如图2，在的边上确定一点M，边上确定一点N，连接，，使的周长最短． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求； （2） 解：如图，为所求； 【解析】 【分析】（1）如图，证明，可得，再利用等量代换可得，从而可得，再根据垂线段最短即可求解； （2）如图，分别作点P关于、的对称点、，再连接，分别交、于点M、N，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，此时，的长最短； 【小问2详解】 解：如图，分别作点P关于、的对称点、，再连接，分别交、于点M、N， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当、M、N、共线时，的周长最短，最小值为的长． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图、轴对称的性质、垂线段最短、全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程． （1）小红同学解法的依据是 ；小逸同学解法的依据是 ．（填序号） ①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；④分式的基本性质． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）④；② （2） 解：小逸同学的解法： ． 小红同学的解法： ． 【解析】 【分析】（1）小红同学的解法两个分式先通分，依据是分式的基本性质；小逸同学根据乘法分配律先算乘法，后算减法； （2）选择小红同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择小逸同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行减法运算即可． 【小问1详解】 解：小红同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相减，再进行乘法运算，通分的依据是分式的基本性质． 小逸同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算减法． 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … （1）按上面的规律，第6个等式为 ． （2）请你归纳出第个等式（用含的等式表示， 为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论． 【答案】（1） （2）， 证明：等式右边等式左边， ∴等式成立． 【解析】 【分析】此题考查分式的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． （1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第n个式子为． （2）由（1）的规律发现第n个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明． 【小问1详解】 解：第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 由此规律可得，第6个等式为， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 由（1）可得，第个等式为． 19. 为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） （1）求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． （2）若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 【答案】（1）米/天 （2）天 【解析】 【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键． （1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解； （2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解； 【小问1详解】 解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成， 甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天， 甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． 答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． 【小问2详解】 解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为， 则完成工程需要的时间为：（天） 答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天． 20. 下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水． 因式分解：． （1）分别求出“▲”“■”代表的数字． （2）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点A和点B关于原点对称，则点B的坐标为______． 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】本题考查整式乘法，关于原点对称点的坐标特征，熟练掌握多项式乘以多项式法则与关于原点对称点的坐标特征是解题的关键． （1）根据，，得，解之即可； （2）由（1）得，再根据关于原点对称点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求解即可． 【小问1详解】 解：设“▲”代表的数字为a，“■”代表的数字为b， ． ， ∴ 解得 “▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是． 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为， 由（1）知：“▲”代表的数字是3，“■”代表的数字是． ∴ ∵点A和点B关于原点对称， ∴ 故答案为：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：． （1）分式是______（填“真”或“假”）分式． （2）将假分式化为整式与真分式的和的形式． （3）若分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）假 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查新定义，分式的化简，分式的值．理解新定义是解题的关键． （1）根据“假分式”定义判定即可； （2）将分式变形，再化简即可． （3）根据，再根据的值为整数， x为整数，则，求解即可． 【小问1详解】 解：∵分子x的次数与分母中字母x的次数都要是1，相等， ∴分式是假分式， 故答案为：假． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：由（2）知， 又∵的值为整数，x为整数， ∴， ∴或． 22. 问题情境 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如：图1可以得到完全平方公式，这样的方法称为“面积法”． 问题解决 （1）图2利用上述“面积法”，可以得到数学等式___________． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证（1）中的数学等式． 应用迁移 （3）如图3，在中，为底边（不含端点）上的动点，过点作，垂足分别为，求的值． 【答案】（1）； （2）验证： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的几何应用，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先利用长乘以宽计算大矩形面积，再由大矩形面积等于6个小矩形面积和，即可得到等式； （2）利用多项式乘以多项式运算法则计算即可； （3）由等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理求得，再由等面积法即可求解． 【详解】解：（1）∵大矩形面积为：， 大矩形面积等于6个矩形面积之和，则大矩形面积为：， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，连接，过点作，垂足为． ， ． 在中，由勾股定理得． ， ，即， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 课本再现 在学习了等腰三角形的性质后，得出一个推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合． （1）如图1，在中，，是的平分线．求证：，． 知识应用 （2）如图2，在中，，，． ①求的长； ②求． 【答案】 （1）证明：， ． 是的平分线， ． 在与中， ， ，． ， ，即． （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）用证明即可； （2）①在上取一点，使，并过点作，垂足为．证明，设，则，由勾股定理得，从而求得 ，根据，求解得，即可求解； ②在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，在上取一点，使，并过点作，垂足为． ，，， ， ， ． 设， ，由勾股定理得． ，， ， ， 解得， ，， ． ②由①知，， 在中，由勾股定理得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024届八年级第七次阶段适应性评估 数学 ▶下册1．1～5．3◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内，错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 不等式的整数解有无数个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式的解一定是不等式的解 5. 若且，则分式的值是（ ） A. 2024 B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交点为E，F，连接， 与相交于点D，连接．若，则的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 8. 若分式的值为0，则a的值为______． 9. 若点在第二象限，则的取值范围为_________． 10. 因式分解：______． 11. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，，则的长为___________． 12. 如图，，已知点A在射线上，点B在上，，，将沿向右平移，得到（点D在线段上），当为等腰三角形时，平移的距离为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简分式：． （2）通分：，． 14. 已知，求的值． 15. 在实数范围内规定新运算“”，基本规则是．已知不等式的解集在数轴上的表示如图所示，求m的值． 16. 如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，P为内部的格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在的边上确定一点D，使的长最短． （2）如图2，在的边上确定一点M，边上确定一点N，连接，，使的周长最短． 17. 下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程． （1）小红同学解法的依据是 ；小逸同学解法的依据是 ．（填序号） ①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；④分式的基本性质． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … （1）按上面的规律，第6个等式为 ． （2）请你归纳出第个等式（用含的等式表示， 为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论． 19. 为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） （1）求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． （2）若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 20. 下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个数字沾上了墨水． 因式分解：． （1）分别求出“▲”“■”代表的数字． （2）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点A和点B关于原点对称，则点B的坐标为______． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：． （1）分式是______（填“真”或“假”）分式． （2）将假分式化为整式与真分式的和的形式． （3）若分式的值为整数，求x的整数值． 22. 问题情境 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如：图1可以得到完全平方公式，这样的方法称为“面积法”． 问题解决 （1）图2利用上述“面积法”，可以得到数学等式___________． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证（1）中的数学等式． 应用迁移 （3）如图3，在中，为底边（不含端点）上的动点，过点作，垂足分别为，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 课本再现 在学习了等腰三角形的性质后，得出一个推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合． （1）如图1，在中，，是的平分线．求证：，． 知识应用 （2）如图2，在中，，，． ①求的长； ②求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $