上海师范大学附属中学2026届高三下学期4月月考数学试卷

2025 学年第二学期高三数学试卷 【2026届高三】 【2026年4月】（考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 已知集合 A ={1,0,1,2}, ，则 ___ 2． 已知 ，若复数 满足 （i为虚数单位），且 ，则 __ 3．设 为任取的某袋包装误差的产品的质量， ，则 的概率是______（结果精确到 ）．（已知 表示标准正态分布的密度函数从 到 的累计面积) 4 在 的二项展开式中，常数项的值为__________ 5．设 ，拋物线 上的点 到 的焦点的距离为 5，点 到 轴的距离为 3，则 的值为________ 6． 有 4辆车停放在 5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 _________种不同的停放方法 7． 如图，在正方体 中， 是 的中点，平面 将正方体分成体积分别为 ， （ ） 的两部分，则 ________ 8． 设 ，函数 的表达式为 ，则对任意的实数 ，皆有 成立的一个充分条件是________ 9． 已知函数 ，若 仅存在唯一整数解，则a的取值范围为_________ 10． 山大致呈圆锥形，母线 千米，母线与圆锥底面所成角的大小为 arccos ， 为母线 上靠近 的三等分点．现要建设一条从 到 的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从 出发到 的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为 _________千米．（精确到 0．1千米） 11． 在平面直角坐标系 中， ．设 ，则 的最小值是________ 12． 由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形 ACDE是△ACE与矩形BCDE 的并集.已知 是正整数，在平面直角坐标系 中直线 的方程为 ，若直线 交 轴于点 ，交 轴于 点 ，则 的并集，其面积为________ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．设实数a,b∈R，则不等式 的等号成立的一个充分不必要条件为（ ） 14．对变量 、 有观测数据 ，得散点图 1；对变量 、 有观测数据 ，得散点图 2．分别用 、 表示变量 与 、 与 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是 A．变量 与 呈现正相关，且 B．变量 与 呈现负相关，且 C．变量 与 呈现正相关，且 D．变量 与 呈现负相关，且 图1 图2 15． 已知 为平面内两定点,过该平面内动点 作直线 的垂线,垂足为 ． 若 ,其中 为常数,则动点 的轨迹不可能是 A 圆 B． 椭圆 C． 抛物线 D．双曲线 16． 在平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点 逆时针旋转 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数 为“ 函数”．对于命题； ① 设 ，若函数 为“ 函数”，则 ； ②设 ，若函数 为“ 函数”，则满足条件的 的整数值至少有 4 个 则下列结论中正确的是（ ） A． ①为真 ②为真 B． ①为真 ②为假 C． ①为假 ②为真 D． ①为假 ②为假 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6分，第 2小题满分 8 分） 如图，在正三棱柱 中， ， ，点 、 、 分别是棱 、BC 、 的中点． （1）证明： E F / /平面 ； （2）求二面角 的大小 18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8 分） 设 ，函数 的表达式为 （1）若 ，设 的内角 的对边分别为 ， ，且 ，求 的面积． （2）对任意的 ，皆有 成立，且该函数在区间 上不存在最小值，求函数 在 的单调区间 19． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3小题满分 6 分）为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 20 16 30 20 函数试题 30 24 20 18 （1）分别估计 软件、 软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为 ，是函数题的概率为 将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答6道类似试题，其中几何、函数各3道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用 、 分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，求随机变量 的数学期望和方差 20．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分） 已知双曲线 的标准方程为 ，点 是双曲线 右支上的一个动点 （1）求双曲线 的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点 分别向两条渐近线作垂线，垂足为点 ，求 的值； （3）若 ，如图，过 作圆 的切线 ，切点为 ，交双曲线 的左支于点 ，分别交两条渐近线于点 ．设 ，求实数的取值范围 21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分） 已知区间 ，定义域为 的函数 的图像是一条连续不断的曲线，点 不在函数 的图像上，点 在函数 的图像上．若线段 与函数 的图像有且仅有一个公共点，则称点 是“ －可见”的 (1)若 ， ，点 的坐标为 ，判 断点 与是否是 －可见”的； (2)已知 为实数，若 ， ，点 的坐标为 ，点 是“P－可见”的，求 的取值范围； (3)若 ，点 的坐标为 ，证明：“函数 的图像上任意一点都是‘ 可见’的”是“函数 在 上严格增或严格减”的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $