1.3 第2课时 完全平方公式（课件）--2025--2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3 第2课时 完全平方公式 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月5日 北师大版数学七年级下册1.3第2课时 完全平方公式练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 本套练习题围绕完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)和\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)设计，涵盖公式直接应用、变式运算、易错辨析、化简求值及简单实际应用，旨在巩固完全平方公式的理解与运用，区分与平方差公式的不同，体会转化思想，共10题，满分100分，字数约700字。 一、基础计算题（每题10分，共40分） 1. 计算：\((x+3)^2\)（提示：直接套用完全平方和公式，其中\(a=x\)，\(b=3\)，注意中间项\(2ab\)） 2. 计算：\((x-4)^2\)（提示：套用完全平方差公式，注意中间项为\(-2ab\)，避免符号错误） 3. 计算：\((2a+5)^2\)（提示：找准公式中\(a\)、\(b\)对应项，注意系数的平方和中间项的系数运算） 4. 计算：\((3m-2n)^2\)（重点关注字母项的平方和中间项的符号，确保公式应用规范） 二、易错辨析题（每题10分，共20分） 5. 判断下列计算是否正确，若错误，请改正。 （1）\((x+2)^2=x^2+4\)（错误原因：漏算完全平方公式的中间项\(2ab\)，需补充\(4x\)） （2）\((x-3)^2=x^2-6x-9\)（判断对错，说明理由，注意常数项的平方符号为正） 三、化简求值题（每题15分，共30分） 6. 先化简，再求值：\((x+5)^2-(x-2)(x+2)\)，其中\(x=-1\)。 7. 先化简，再求值：\((2x-3)^2+2(x+1)(x-1)\)，其中\(x=2\)。 四、实际应用题（10分） 8. 一个正方形的边长为\((2x-1)\)厘米，求这个正方形的面积（用含x的多项式表示），并计算当\(x=3\)时，正方形的面积。 附加题（10分，选做） 9. 计算：\((a+b+c)^2\)（提示：将\((a+b)\)看作一个整体，套用完全平方公式逐步计算） 10. 已知\((x+y)^2=25\)，\(xy=4\)，求\(x^2+y^2\)的值。 温馨提示：1. 应用完全平方公式时，务必牢记“首平方、尾平方，积的2倍在中央”；2. 注意区分完全平方公式与平方差公式，避免混淆；3. 计算时关注符号，\((a-b)^2\)的中间项为负，常数项恒为正；4. 化简后再求值，可简化运算过程，提高准确率。 2026年4月5日星期日4时54分39秒 2026年4月5日星期日4时54分40秒 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算；(重点) 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法.(难点) 学习目标 1.问：平方差公式是怎样的？ (a + b)(a − b) = a2 − b2. 2.利用平方差公式计算： (1) (2x + 7b)(2x – 7b)； (2) (－m + 3n)(m + 3n). 4x2－49b2 9n2－m2 完全平方公式 1 算一算： (1) (1 - p)2 解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p ) = 1² - p - p + p2 = 1² - 2p + p2. (2) (m + 3)2 解：原式 = (m + 3)(m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2 + 2×3m + 9 = m2 + 6m + 9. 解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x) = 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 = 4 + 2×2×3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2. (3) (2 + 3x)2 追问 1：上述式子的左边有什么共同特征? 计算的结果都是几次几项式? 左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式. 追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系? 结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍. (1) (1 - p)2 = 1² - 2p + p2. (2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9 (3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2. 比一比： 根据发现的特征，写出下面式子的答案： (1) (a＋b)2 = ； (2) (a－b)2 = . a2＋2ab＋b2 a2－2ab + b2 观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项. (1) (a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋ab＋ab＋b2 = a2＋2ab＋b2 (2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2 = a2＋2a(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2 推导 过程验证： (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间” 知识要点 完全平方公式 例1 利用完全平方公式计算： 解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－ 2 • (2x) • 3 + 32 = 4x2－12x + 9； (1) (2x－3)2； 典例精析 (2) (4x＋5y)2； (2) (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 • (4x) • 5y＋(5y)2 = 16x2＋40xy＋25y2； (3) (mn－a)2. (3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2 = m2n2－2amn＋a2. 1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 练一练 完全平方公式的几何验证 2 问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). (1) 四块实验田面积分别为： ， ， ， . a a b b a2 ab b2 ab (2)两种形式表示实验田的总面积： a a b b ①从整体看： 边长为 的大正方形， S大正方形＝ ； (a+b) (a+b)2 ②从部分看： 四块面积的和S＝ . a²+2ab+b² a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： 想一想 你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 画一画 画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2? a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 差的完全平方公式： a−b 思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？ (1) 1022； (2) 1972. 解：原式 = (100 + 2)2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. 解：原式 = (200－3)2 = 40 000－1200 + 9 = 38 809. = 1002－2×100×2 + 22 = 2002－2×200×3 + 32 想一想 例2 计算： (1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9； 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9. 还有其他的方法吗？ 典例精析 (2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )； 解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9. (3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3). 解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19. (4) [( a + b) ( a - b)]2. 解： 原式 = ( a2 - b2 )2 = a4 - 2a2b2 + b4. 知识点1 利用图形验证平方差公式 1.如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再将 阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两个图 中的阴影部分的面积相等可以验证的数学公式为 ( ) B ① ② A.B. C.D. 中考考法 17 2.如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为 的小正方形 后得到的图形。若将阴影部分通过分割、拼接，形成新的图形②，则能 够正确表示该图形面积关系的等式是________________________。 ① ② 中考考法 18 知识点2 利用平方差公式进行简便计算 3.运用平方差公式计算： （________） （________）___ _______。 200 5 200 5 5 39975 中考考法 19 4.（8分）计算： （1） ； 解：原式 ； （2） 。 解：原式 。 中考考法 20 知识点3 平方差公式的运用 5.计算 的结果是____。 16 中考考法 21 6. 西安发展旅游行业，政府美化环境，将边长大于 的 正方形花坛的南北方向增加，东西方向缩短 ，则美化后的长方 形花坛与原来正方形花坛的面积相比( ) C A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.不能确定大小关系 中考考法 22 7.（8分）计算： （1） ； 解：原式 ； （2） 。 解：原式 。 中考考法 23 8.（4分）先化简，再求值： ，其中 ， 。 解：原式 。 当，时，原式 。 中考考法 24 9.有三个连续的整数，若设中间的数是 ，则这三个整数的积是( ) D A. B. C. D. 中考考法 25 完全平方公式 文字描述 几何验证 两个数的和(差)的平方， 等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=b $