精品解析：广东广州大学附属中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题（4.3）

广大附中2025-2026学年高一下数学第一次月考（4.3） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2 已知向量.若，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 3. 函数的图象为　　 A B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（） A. 8米 B. 9米 C. 40米 D. 45米 7. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（ ） A. 36 B. 39 C. 45 D. 48 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 已知为的外心，若，则的最大值为_____. 14. 已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线. (2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值. 16. 的内角，，所对边分别为，，.已知. (1) 求； (2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。 17. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求的对称轴以及对称中心； （3）当，求的最大值和最小值． 18. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 19. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求A； （2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设. ①当，时，求； ②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广大附中2025-2026学年高一下数学第一次月考（4.3） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题的否定为. 故选：D． 2. 已知向量.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可求出结果. 【详解】因为，所以，，. 因为，所以， 所以，所以，解得. 故选：C 3. 函数图象为　　 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答案； 【详解】函数y； 可得x， ∵0， ∴y 又x＝3时，y＝0 结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减； 故选C． 【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题． 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又因为，所以． 故选：B． 5. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可. 【详解】设， 因为， 又，即， 解得， 所以， 所以， 故选：A. 6. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（） A. 8米 B. 9米 C. 40米 D. 45米 【答案】D 【解析】 【分析】设，得到可得，在直角中，根据列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设，由，可得， 因为且， 在直角中，可得，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 8. 如图，在四边形中，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（ ） A. 36 B. 39 C. 45 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理算出，进而得到是边长等于的等边三角形，然后以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，推导出用表示点的坐标的式子，从而得出关于的二次函数表达式，结合二次函数的性质得出答案. 【详解】以坐标原点，AD、EB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，连接BD 因为， 所以，可得， 所以，可得，， 结合，所以 因为中，，所以是边长等于的等边三角形， 由， 可得，所以， 设，即 可得，所以， 即， 由此可得， 所以， 由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，，则，解得， 则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误； 对于B，，则，解得，即，， ，则与同向的单位向量为，B正确； 对于C，当时，，又与的夹角为锐角， 则，解得，且，即，C正确； 对于D，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确； 选项B：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或，所以或，的面积或，B说法错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C说法正确； 选项D：如图所示， 若有两解，则，解得，D说法正确； 故选：ACD 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】令，可得，讨论与图象位置关系求解即可. 【详解】由题意，作出函数的图象如图. 令，则函数，即，即，即. 由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标. 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0， 则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意. 综合以上，可知实数的取值范围为， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，可求得，再由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得， 所以， 即向量在向量上的投影向量的坐标为. 13. 已知为的外心，若，则的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义结合三角恒等变换以及正弦定理边化角化简已知等式，可得，再利用二倍角公式化简，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意两边同时乘以得： ， ， 即， ， 即， 即，而， 则，， 又， . 故的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用数量积的几何意义以及三角恒等变换化简得到，继而求解即可. 14. 已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意可作出图形，经分析可知点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上，得当且所在直线过圆心点时最小，然后结合图形即可求解 【详解】，， 如图作， ， 则，， 所以，即， 又为单位向量，所以， 在中，由正弦定理，则， 所以点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上， 由图可知，当且所在直线过圆心点时最小， 作于，于，于， 则， ， 则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹为圆，从而当且所在直线过圆心点时最小，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)已知向量不共线若,,,试证:三点共线. (2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）-8 【解析】 【分析】（1）计算得到，与有公共点B，得到证明. （2）根据共线得到，，计算得到答案. 【详解】(1)，， ，与共线. 又与有公共点B，三点共线. (2). 三点共线，共线. ∴存在实数使，即. . 与不共线，. 16. 的内角，，所对边分别为，，.已知. (1) 求； (2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。 【答案】（1）B=60°；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果； （2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围. 【详解】解：（1）由题设及正弦定理得． 又因为中可得， ,所以， 因为中sinA0，故． 因为，故，因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积． 由正弦定理得． 由于△ABC为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°， 由（1）知A+C=180°B＝120°， 所以30°<C<90°，故 . 所以，从而． 因此，△ABC面积取值范围是． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式，以及利用不等式性质求取值范围，熟练掌握公式是解题的关键，是一道综合题. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求的对称轴以及对称中心； （3）当，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）对称轴为，，对称中心为， （3）最大值为2，最小值为1 【解析】 【分析】（1）运用诱导公式、降次公式、辅助角公式化简，结合周期公式计算即可. （2）运用整体性求的对称轴、的对称中心. （3）由的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦函数图象及性质得出结果. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 令，，解得，， 故的对称轴为，， 令，，解得，，故的对称中心为，. 【小问3详解】 当时，， 又， 所以当，即时，取得最大值为2， 当，即时，取得最小值为1. 故最大值为2，最小值为1. 18. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【小问1详解】 因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求A； （2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设. ①当，时，求； ②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；的值为定值，此定值为. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知式可得，由辅助角公式可得，即可求出A； （2）①由题意可得，由，得，代入即可求解； ②根据正弦定理、三角形的恒等变换和平面向量的数量积公式，即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理可得：， 即， 整理得：，即， 因为为三角形的内角，所以，即. 【小问2详解】 ①由知，为AC中点，因为外接圆圆心为，所以， 由（1）知，，由，得， 当时，点与重合，为切点，且，. ②在中，， ， 故， 所以在点D、E的运动过程中，的值为定值，此定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $