精品解析：江苏省南通市海门区2026年初中毕业、升学第二次模拟考试 数学·试题卷

南通市海门区2026年初中毕业、升学第二次模拟考试 数学试题卷 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 2. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数大小的比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小，即可得出答案. 【详解】解：正数和0都大于负数， B、C选项不符合题意； ，， ， 故A选项不符合题意； ， ， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 ． 4. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案． 【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2=1+44%， 解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础． 5. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理先求出的度数，假设D点在优弧上时，，点需要在优弧外才能保证安全，因此需要满足小于时，船D才能安全通行即可得出结果． 【详解】解：为圆心，， ， 假设D点在优弧上时，， 点为触礁临界点，为危险角， 点需要在优弧外才能保证安全， 因此需要满足小于时，船D才能安全通行，选项D，满足题意， 故选：D． 6. 如图，菱形的顶点A 在 x 轴正半轴上，反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的坐标特征，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 7. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积． 【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H． ∵点D为△ABC的内心，∠A=60°， ∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°， 则∠BDH=60°， ∵BD=4，BD：CD=2：1 ∴DH=2，BH=2，CD=2， ∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2. 故选B. 【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 8. 已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含二次根式的一元方程整数根的求解及非负整数参数的确定，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再结合整数根的特征列举可能的整数解，代入方程求解参数并验证其非负整数属性． 由二次根式有意义得，即，列举的整数；将每个整数代入方程解出；判断是否为非负整数，统计符合条件的的个数，进而确定选项． 【详解】解：∵有意义， ∴，即；又方程至少有一个整数根，故为的整数，代入方程求： 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，非整数，不符合； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，代入方程得为负数或非整数，均不符合． 综上，符合条件的的值有、、，共个． 故选：D． 9. 如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案． 【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令BC=2a，则BD=a， 在等边三角形ABC中 AD⊥BC，OB平分∠ABC， ∴∠OBD=∠ABC=30°， 由勾股定理，得AD=， 在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键． 10. 如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，过作于点交于点，过作于点交于点，根据正方形的性质可证明，，得，，再由勾股定理得即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点交于点，过作于点交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴, ， ， 当，有最小值，即当变化时，正方形面积的最小值为， 故选：． 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 分解因式：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分组分解法分解因式．熟练掌握掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 先前三项分一组，用完全正确平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为0的概率是__． 【答案】 【解析】 【分析】列出所有等可能的结果，看指针所指区域内的数字之和为0占总情况数的比即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中指针所指区域内的数字之和为0的有3种结果， 所以指针所指区域内的数字之和为0的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查画树状图求概率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 若，且，，设，则t的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 14. 已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定在上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可． 【详解】解：整理函数得， 当时，，因此该一次函数恒过定点， 当时，可分段写为： ， 其图象为折线，端点坐标为，，， 当一次函数过点时，将点代入解析式得： ， 解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求， 当时，一次函数解析式为，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点， 根据函数图象可知：当时，两个函数有2个公共点， 因此满足的条件是． 15. 如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接、，，，根据三角形三边关系有，即O、E、B三点共线时取得最大值，求出最大值即可． 【详解】解：取的中点E，连接、，，， ∵， ∴当O、E、B三点共线时取得最大值， 菱形边长为2，， ，，为等边三角形， ，， ， ∴点B到原点O的最大距离为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 【答案】4≤t≤6 【解析】 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围． 【详解】连接AP， 由题意得， t要最大，就是点A到上的一点的距离最大 在AD延长线上， 的最大值是APAD+PD=5+1=6 的最小值是APAD-PD=5-1=4 故t的取值范围为： 4≤t≤6 故答案为：4≤t≤6． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，直线与抛物线交于A，B两点，P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大值时，点P的横坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出抛物线的解析式，然后求出A、B的坐标，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，求出PC的长度，利用二次函数的最值性质，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，把点和代入抛物线，则 ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得：，； ∴A、B两点的横坐标分别为：，2； 如图，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C， 设点P为（x，），则点C的坐标为（x，x+1）， ∴线段PC=， 点A、B的横坐标距离为：， ∴的面积为：， 整理得到：； ∴当时，的面积最大； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行分析． 18. 如图，在矩形中，已知，，P是边上任意一点，，，E，F分别是垂足，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形面积问题，过A作于G，列式表示，，由此推出，勾股定理求出，根据面积相等求出答案． 【详解】如图，过A作于G，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案是：． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 计算： （1） （2） （3）解不等式组： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简绝对值和立方根，再合并计算； （2）整理后，利用加减消元法求解； （3）分别求出每一个不等式的解集，再取公共部分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ，整理得：， 得：， 解得：，代入中， 解得：， ∴方程组的解为； 【小问3详解】 ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则． 20. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】任务1：，统计图见解析；任务2：，；任务3：达到“效果显著” 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，频数直方图，加权平均数，求扇形统计图的圆心角；熟练掌握以上知识点是解题的关键； 任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出组有人，进而求得组的人数，根据频数直方图求得组的人数，进而补全统计图； 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组，进而求得第，个数据分别为，，即可求得中位数，根据组的人数为人，用其占比乘以，进而求得组对应圆心角的度数； 任务3：根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，进而求得心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，和比较，即可求解． 【详解】解：任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴组的人数为人 则组的人数为：人 补全频数分布直方图如图， 故答案为：． 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人 ∴从大到小排列，第，个数据分别为， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是 组对应扇形的圆心角是 故答案为：，． 任务3：依题意，， ∴达到“效果显著”． 21. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OP，证明OP⊥AP,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可；（2）根据扇形POD面积减去△OPD的面积即为阴影部分的面积，求出相关数据代入计算. 【详解】（1）证明:连结OP,∵PD⊥BE,如图. ∴∠OCD=90°， ∴∠ODC+∠COD=90°， ∵OD=OP， ∴∠ODC=∠OPC， ∵∠COD=∠APC， ∴∠OPC+∠APC=90°， ∴∠APO=90°,即AP⊥PO， ∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线. （2）在Rt△APO中，tan∠AOP=， ∴∠AOP=60°，∴∠OPC=30°， ∴OC=2，∴PC= ， ∴PD=， ∵OD=OP，OB⊥PD， ∴∠POB=∠COD=60°， ∴∠POD=120°， ∴阴影部分面积为： . 【点睛】此题主要考查切线的判定及不规则图形面积的求法，应用切线的判定定理证出OP⊥AP是证明圆的切线的关键. 22. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可． 【小问1详解】 解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 如图，过作轴于，过作轴于， 即 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． 23. 某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． （1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ （2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【答案】（1）购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； （2）①A型器材最多购买套；②共有三种购买方案，详见解析． 【解析】 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设购买A型器材套，根据题意，列出不等式，求解即可；②根据题意，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； 【小问2详解】 解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套； ②设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由①可得： 根据题意可得：，解得 ∴ 又∵为正整数， ∴的取值为，即有三种购买方案， 具体为：A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组和不等式组． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，，点是抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，点为轴上两个动点，点在点的左侧，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点作于点，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）P 点坐标为 ，的最小值为 （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据，在 轴负半轴，求出，将、代入抛物线即可求解． （2）先求出顶点 ，从而求出直线 解析式，根据，，得出，从而得，求出，设 ，则，即可表示出，得出当时，取得最大值，求出P 点坐标为 ，将 向左移1个单位得 ，则，证出四边形是平行四边形，则，作点关于轴的对称点，得，则当点共线时，最小，最小值为，求出，即可解答． （3）根据题意得出抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，求出新抛物线解析式为：，分①当点位于直线上方时，②当点位于直线下方时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：在抛物线 中，令，则，则， ∴， ∵，在 轴负半轴， ∴， 将、代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线表达式为：． 【小问2详解】 解：∵抛物线表达式为：， ∴顶点 ， 设直线 解析式为， 则，解得：， ∴直线 解析式为 ， 设直线 解析式为， 则，解得：， ∴直线 解析式为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，故当时，取得最大值， 将代入得 ​， ∴P 点坐标为 ， ∵，将 向左移1个单位得 ， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点， 则 ，， ∴， 当点共线时，最小，最小值为， ∵，  ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新抛物线解析式为：， ①当点位于直线上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，点是与轴的交点， 在中，令， 解得：（舍去）或， ∴点的横坐标为； ②当点位于直线下方时，如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得：或（舍去，此时为钝角）， ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为或． 25. 如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右作匀速运动，过点作于．设运动时间为秒，且第一象限内有点． （1）当时，若恰好经过点，求的值； （2）连接，记面积为，面积为． ①当时，求的取值范围； ②当时，记，若取得最小值时，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】此题考查一次函数的综合运用，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角函数，分别对两种可能的坐标分析求出点的坐标实现问题求解． （1）构造草图分析，由点和点，得出，得出在中，，，，进一步利用，，求得答案即可； （2）①当时，可得，按点在点下方时和当点在点上方时，探讨得出答案即可； ②当时，可得，按点在点下方时和当点在点上方时，探讨得出答案即可． 【小问1详解】 解：当时，点， 过N点作轴于点H，如图， 由点和点， ， ， ． 在中，，， ， ． 即． 【小问2详解】 解：①当时，由于两个三角形同高，即有， 当点在点下方时，点为线段的中点，如图， ∵， ∴，即， 当点在点上方时，，如图， ∴，即， 当时，的取值范围是． ②当时，由于两个三角形同高，即有， ， 由代数式的特点，本质上求点到点的最小距离， 而点在直线上， 设此直线交轴于点，如图， 则， 点到直线的距离就是的最小值． 当点在点下方时，点为线段的三等分点，如图，过点作轴于点， ，， ， 点， 作直线于点，过点作轴，交轴于点，过点作直线平行于轴，交于点， 此时，，，， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，即， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为； 当点在点上方时，，如图， 同理可得， 作直线于点，过点作轴，交轴于点，过点作直线平行于轴，交于点， 此时，，，， 同理可得为等腰直角三角形， ，即， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 综上所示，直线的解析式为或． 26. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 【答案】（1）；（2），；（3）80米 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区2026年初中毕业、升学第二次模拟考试 数学试题卷 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 2. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 1 C. 0 D. 3. 发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 5. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的顶点A 在 x 轴正半轴上，反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 8. 已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 分解因式：__________________． 12. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为0的概率是__． 13. 若，且，，设，则t的取值范围为______． 14. 已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 15. 如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，直线与抛物线交于A，B两点，P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大值时，点P的横坐标为___________． 18. 如图，在矩形中，已知，，P是边上任意一点，，，E，F分别是垂足，那么_________． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 计算： （1） （2） （3）解不等式组： 20. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 21. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 23. 某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． （1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ （2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，，点是抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，点为轴上两个动点，点在点的左侧，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点作于点，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右作匀速运动，过点作于．设运动时间为秒，且第一象限内有点． （1）当时，若恰好经过点，求的值； （2）连接，记面积为，面积为． ①当时，求的取值范围； ②当时，记，若取得最小值时，求直线的解析式． 26. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $