2.2～2.3 平行线的判定与性质 题型讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2026-2027学年七年级下册题型讲义 课题：平行线的判定与性质 基础测 + 知识梳理 + 例题精讲 + 课后练习 基础测 1、有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 2、平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 答案：D 3、下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 4、如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 答案：4 2.4 3 5、投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 答案：垂线段最短 知识梳理 知识点一 基本概念与性质定理 1. 三线八角（两条直线被第三条直线所截形成） 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 截线同侧，被截两直线同侧 形如“F”（倒置/旋转均可） 内错角 截线两侧，被截两直线之间 形如“Z”（倒置/旋转均可） 同旁内角 截线同侧，被截两直线之间 形如“U”（倒置/旋转均可） 知识点二：平行线的判定定理（核心：由角的关系推线的平行） 判定1：同位角相等，两直线平行， 符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b。 如下图。 判定2：内错角相等，两直线平行， 符号语言：∵∠1=∠3，∴a∥b。如下图。 判定3：同旁内角互补，两直线平行， 符号语言：∵∠1+∠4=180°，∴a∥b。如下图。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，即若a∥c，b∥c，则a∥b。 知识点三 平行线的性质 1. 平行线的性质定理（核心：由线的平行推角的关系，与判定定理互逆） 性质1：两直线平行，同位角相等，符号语言：∵a∥b，∴∠1=∠2。 性质2：两直线平行，内错角相等，符号语言：∵a∥b，∴∠1=∠3。 性质3：两直线平行，同旁内角互补，符号语言：∵a∥b，∴∠1+∠4=180°。 例题精讲 知识点一 内错角、同位角、同旁内角概念 【例题1】如图，与的位置关系是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 答案：A 解析判定依据：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线同侧、被截两直线同一方的角为同位角（形如 “F”）。 本题分析：截线为直线BC，被截直线为AD、AC；∠1与∠C在截线BC的同侧，且在被截直线AD、AC的同一方，符合同位角的定义。 排除其他选项：内错角需在截线两侧、两线之间，不符合； 同旁内角需在截线同侧、两线之间，不符合； 对顶角需有公共顶点且两边互为反向延长线，不符合。 【对应练习】 1、下列图中不是同位角的是（　　） A. B. C. D. 答案：D 2、如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 答案： (1) 80° (2) 是，理由见解析 解析：(1) 小题解析 根据 “关联角” 的定义：∠β=∠α+30∘ 将∠α=50∘代入公式： ∠β=50∘+30∘=80∘ (2) 小题解析 结论：∠DHG是∠BGH的 “关联角”，证明如下：利用 “关联角” 定义列等式 由题意，∠AGH是∠CHG的 “关联角”，因此： ∠AGH=∠CHG+30° 又∵∠AGH与∠CHG是直线AB、CD被EF所截形成的同旁内角，根据邻补角的性质： ∠AGH+∠CHG=180° 将(1)代入(2)：(∠CHG+30°)+∠CHG=180° 2∠CHG=150°解得：∠CHG=75°，代入(1)得∠AGH=105° ∵∠AGH与∠BGH互为邻补角∴∠BGH=180°−∠AGH=180°−105°=75° ∵∠CHG与∠DHG互为邻补角∴∠DHG=180°−∠CHG=180°−75°=105° ∠DHG=105°,∠BGH+30°=75°+30°=105°满足∠DHG=∠BGH+30°，完全符合 “关联角” 的定义。因此，∠DHG是∠BGH的 “关联角”。 知识点二：平行线的判定定理 【例题1】如图，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 答案：B 解析： A 错误：∠1=∠2 是内错角相等，可判定AD∥BC，不是AB∥CD。 B 正确：∠1与∠2是直线AD、BC被BD所截的内错角，内错角相等，两直线平行，故AD∥BC。 C 错误：∠A=∠3 无法判定AD∥BC。 D 错误：∠A+∠ABC=180∘ 可判定AD∥BC，不是AB∥CD。 【对应练习】 1、如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 答案：A 2、下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 答案：B 3、如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 答案：D 【例题2】如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 答案：∠A=∠EBF（答案不唯一，任选其一即可） 解析：根据平行线的判定定理，可添加的条件如下（任选其一）： 1. ∠A=∠EBF：同位角相等，两直线平行； 2. ∠D=∠DCF：内错角相等，两直线平行； 3. ∠A+∠ABC=180∘：同旁内角互补，两直线平行 【变式练习】 1、如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 答案：∠BDE=∠A（答案不唯一，任选其一即可） 【例题3】如图，在中． （1）尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不用写作法） ： 答案：图略 【变式练习】 1、根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： （1）过点作直线； 答案：图略 【例题4】在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 答案：证明：如图， ∵∠2+∠3=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， ∴∠1=∠3（同角的补角相等），又∵∠3=∠4（已知）， ∴∠1=∠4（等量代换）， ∴c∥d（同位角相等，两直线平行）。 【对应练习】 1、问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 答案： 解：BC∥OE，理由如下： ∵OA平分∠EOD， ∴∠AOE=∠AOD（角平分线的定义）。 ∵AB与CD相交于点O， ∴∠COB=∠AOD（对顶角相等）。 ∴∠COB=∠AOE（等量代换）。 ∵∠B=∠COB， ∴∠B=∠AOE。 ∴BC∥OE（同位角相等，两直线平行）。 2、如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 答案：证明：∵BE平分∠ABD，（已知） ∴∠ABD=2∠DBE，（理由：角平分线的定义） ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDC=2∠BDE（理由：角平分线的定义） ∴∠ABD+∠BDC=2(∠DBE+∠BDE)，（等量代换） ∵∠DBE+∠BDE=90∘，（已知） ∴∠ABD+∠BDC=180∘， ∴AB∥CD。（理由：同旁内角互补，两直线平行） 3、如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，GE平分，GF平分，，ABCD吗？为什么？ 答： 解：因为GE平分，GF平分（已知） 所以＝2． ＝2．(                  ) 所以 +＝ (等式性质) 因为（已知） 所以 +＝ ． 所以ABCD(                     )． 答案： 答：AB∥CD，理由如下： 解：因为GE平分∠AEF，GF平分∠EFC（已知） 所以∠AEF=2∠1， ∠EFC=2∠2（角平分线的定义） 所以∠AEF+∠EFC=2(∠1+∠2)（等式性质） 因为∠1+∠2=90∘（已知） 所以∠AEF+∠EFC=180∘ 所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 4、如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 答案：证明：∵CD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BGE=90∘，∠BDC=90∘（垂直的定义） ∴∠BGE=∠BDC=90∘ ∴GE∥DC（同位角相等，两直线平行） ∴∠BEG=∠BCD（两直线平行，同位角相等） ∵∠FDC=∠BEG ∴∠FDC=∠BCD ∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行） ∴∠DFC+∠FCB=180∘（两直线平行，同旁内角互补） 【例题5】如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 答案： 答案：63∘ 解析： 1. ∵∠DBF=54∘，∠ABD+∠DBF=180∘（平角定义）， ∴∠ABD=180∘−54∘=126∘，∵BC平分∠ABD（已知）， ∴∠2=∠ABD ∴ ∠2=×126∘=63∘。 (2) 证明AB∥CD 证明过程： ∵BC平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD=2∠2（角平分线定义）。 又∵∠1+∠2=180∘（已知），且∠1=∠ABC（对顶角相等）， ∴∠ABC+∠2=180∘。 ∴∠ABD+∠2=2∠2+∠2=180∘（等量代换）， 即∠ABD+∠CDB=180∘。 ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 【对应练习】 1、当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D． （1）若于点O，与平行吗？说说你的理由． （2）若，求的度数． 答案：(1) OE与MD平行，理由如下 结论：OE∥MD 证明： ∵AB∥CD（扶手与底座都平行于地面）， ∴∠GOD=∠AOG（两直线平行，内错角相等）。 ∵OE⊥OF，∴∠EOF=90∘，即∠AOG+∠AOD=90∘。 又∵OD⊥DM，∴∠ODM=90∘，即∠AOD+∠AND=90∘（直角三角形两锐角互余）。 ∴∠AOG=∠AND（同角的余角相等）， ∴OE∥MD（同位角相等，两直线平行）。 (2) 求∠ODC的度数 答案：32∘ 解析： ∵AB∥CD， ∴∠MNB=∠MDC=58∘（两直线平行，同位角相等）。 ∵OD⊥DM，∴∠ODM=90∘， ∴∠ODC=90∘−∠MDC=90∘−58∘=32∘。 知识点三 平行线的性质 【例题1】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 答案：B（55∘） 解析：核心依据：直尺的上下两边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得与∠1相等的内错角为35∘。 角度计算：三角尺为直角三角尺，直角为90∘，因此：∠2=90∘−35∘=55∘ 排除其他选项：A.65∘：计算错误；C.45∘：无依据；D.35∘：混淆角的位置关系。 【对应练习】 1、如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 °． 答案：15° 【例题2】随着人们对环境日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 答案：67° 【对应练习】 1、如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 答案：B 2、如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 答案：B 3、杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 答案：106° 【例题3】如图，直线，，求、的度数． 根据下面的解答过程，填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） ∴（______） ∵（______），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（______） 答案：解：∵a∥b（已知） ∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∵∠4=∠3（对顶角相等），∠3=85°（已知） ∴∠1=85°（等量代换） 又∵∠2+∠3=180°（平角的定义） ∴∠2=95°（180°−85°=95°） 解析 1. 第一步：直线a∥b，∠1与∠4是同位角，根据两直线平行，同位角相等，得∠1=∠4； 2. 第二步：∠4与∠3是对顶角，根据对顶角相等，得∠4=∠3=85°，等量代换得∠1=85°； 3. 第三步：∠2与∠3组成平角，根据平角定义，∠2=180°−85°=95°。 【对应练习】 1、如图，已知，．求证：． 证明：（已知），（ ） （等量代换） ∥________（同位角相等，两直线平行） ________（ ） （已知） ________（等量代换） （ ） （ ） 答案：证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行） ∴∠4=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠C=∠D（已知） ∴∠4=∠C（等量代换） ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等） 2、完成证明并写出推理根据： 已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接，若，． 求证：． 证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 答案： 证明：∵ 点E在CD的延长线上（已知） ∴∠2+∠1=180∘（平角的定义） 又∵∠2+∠3=180∘（已知） ∴∠3=∠1（同角的补角相等） 又∵∠B=∠1（已知） ∴∠B=∠3（等量代换） ∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行） ∴∠4=∠F（两直线平行，内错角相等） 3、 如图，，与，交于点，，平分，，求的度数．请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点，（______）． （______） （______）（已知）， （______）． （已知）， （______）， ______． 平分（已知）， ____________（______）． 答案：解：∵EF与CD交于点H，（已知） ∴∠3=∠4（对顶角相等） ∵∠3=60∘（已知）， ∴∠4=60∘（等量代换） ∵AB∥CD（已知）， ∴∠4+∠FGB=180∘（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠FGB=120∘ ∵GM平分∠FGB（已知）， ∴∠1=∠FGB=60∘（角平分线的定义） 知识点四 平行线的判定与性质综合 【例题1】泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析 1. 作辅助线：过点B作BF∥CD。 ∵CD∥AE（已知CD与AE始终平行），∴BF∥AE。 2. 由平行线性质推导角度 · ∵BF∥AE，AB⊥AE，∴AB⊥BF，即∠ABF=90∘。 · ∵BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF=180∘（两直线平行，同旁内角互补）。 3. 求和计算 ∠ABC+∠BCD=(∠ABF+∠CBF)+∠BCD=90∘+(∠CBF+∠BCD)=90∘+180∘=270∘ 因此无论BC如何转动，∠ABC+∠BCD的度数始终为270∘。 【对应练习】 1、如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 答案：100° 2、平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 答案：32° 【例题2】某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下从正面看到的图形，上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点处）可以控制椅背以的速度顺时针旋转，按下开关2（装在点处）可以控制腿托以的速度顺时针旋转． （1）课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）午休时小明想要在图1的状态下将椅子调到最舒适的状态（腿托与椅背平行），于是他同时按下开关1、2，请帮小明计算按下开关多久后可以达到最舒适的状态？ 答案： (1) 尺规作图：作腿托AD所在的直线 作图步骤： 1. 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点； 2. 保持圆规半径不变，以点A为圆心，相同长度画弧，交AM（或凳面）于一点； 3. 以该交点为圆心，截取步骤 1 中弧长的距离，与前一步的弧相交； 4. 连接A与交点，所得直线即为所求的AD（满足AD∥BC）。 (作图痕迹保留：保留圆弧、交点及最终直线) (2) 计算按下开关的时间 答案：2.5 秒 【对应练习】 1、一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 答案： ①∵AB∥CD（扶手与底座都平行于地面）， ∴∠AOD=∠ODC=30∘（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠EOF=90∘（已知），即∠EOD=90∘， ∴∠EOA=∠EOD−∠AOD=90∘−30∘=30∘。 ② ∵DM∥OE（靠背与支架平行）， ∴∠ANM=∠AOE的同旁内角（两直线平行，同位角相等）。  由AB∥CD，∠EOA=30∘， ∴∠ANM=180∘−30∘=150∘（平角定义，或两直线平行，同旁内角互补）。 【例题3】如图，点是上一点，，，， (1)___________； (2)求证：直线； 答案：70∘ 解析： ∵CD∥AB（已知）， ∴∠ABC=∠DCB=70∘（两直线平行，内错角相等）。 (2) 证明：EF∥CD 证明过程： ∵∠ABC=70∘，∠CBF=20∘（已知）， ∴∠ABF=∠ABC−∠CBF=70∘−20∘=50∘。 又∵∠EFB=130∘（已知）， ∴∠EFB+∠ABF=130∘+50∘=180∘， ∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）。 又∵CD∥AB（已知）， ∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 【对应练习】 1、如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 答案：75∘ 解析：∵DA平分∠BDC（已知），∴∠ADC=∠2（角平分线的定义）。 ∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ADC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 ∴∠B+∠BDC=180∘（两直线平行，同旁内角互补）。 已知∠B=105∘，∴∠BDC=180∘−105∘=75∘。 ∵DA平分∠BDC，∴∠ADC=21​∠BDC=21​×75∘=75∘。 (2) 证明：CD∥EF 证明过程：由 (1) 已证AB∥CD。∵∠B+∠F=180∘（已知），∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）。∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。 2、如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 答案：(1) 判断ED与FG的位置关系，并说明理由 结论：ED∥FG 理由： ∵∠CMG=∠EMD（对顶角相等）， 又∵∠ENC+∠CMG=180∘（已知）， ∴∠ENC+∠EMD=180∘， ∴ED∥FG（同旁内角互补，两直线平行）。 (2) ∠2与∠3相等吗？为什么？ 结论：∠2=∠3 理由： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）。 由 (1) 知ED∥FG， ∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2=∠3（等量代换）。 (3) 求∠B的大小 答案：38∘ 解析： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠A+∠ACD=180∘（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠A+∠1+∠ACB=180∘。在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180∘， ∠A=∠1+60∘，∠B=∠1（AB∥CD，内错角相等），∠ACB=44∘， (∠1+60∘)+∠1+44∘=180∘，2∠1=76∘⟹∠1=38∘ ∴∠B=∠1=38∘ 课后练习 1、如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 答案：A 2、如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有 ．（填序号） 答案：②④ 3、如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 答案： B 4、如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 答案：C 5、如图，直线a，b被c所截，下列结论：①和互为对顶角；②和是同位角；③和是内错角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．其中结论一定正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 答案：B 6、 如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A. B. C. D. 答案：C 7、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 答案：A 8、 请阅读以下“预防近视”知识卡： 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（　　） 读书、写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角（如图视线与水平线的夹角），在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼睛与书本的距离1尺，身体与桌子距离1拳，握笔时，手指离笔尖1寸，书本与课桌的角度要保持在至 A. B. C. D. 答案：C 9、如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 答案：60° 10、为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 答案：45° 11、一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 答案：B 12、如图：已知：，， 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， 又∵， ∴____（_____）． ∴（_____）． ∴（_____）． 答案：证明：∵EF∥AD（已知）， ∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3（等量代换）． ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）． ∴∠B+∠BDG=180∘（两直线平行，同旁内角互补） 13、填空并完成推理过程． 如图，点为上的点，点为上的点，，，试说明：． 证明：∵（已知） （______） ∴（______） ∴__________（同位角相等，两直线平行．） ∴（______） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（______） 答案： 证明：∵∠1=∠2（已知） ∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行） ∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等） 又∵∠C=∠D（已知） ∴∠D=∠ABD（等量代换） ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级下册题型讲义 课题：平行线的判定与性质 基础测 + 知识梳理 + 例题精讲 + 课后练习 基础测 1、有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 3、下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 5、投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 知识梳理 知识点一 基本概念与性质定理 1. 三线八角（两条直线被第三条直线所截形成） 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 截线同侧，被截两直线同侧 形如“F”（倒置/旋转均可） 内错角 截线两侧，被截两直线之间 形如“Z”（倒置/旋转均可） 同旁内角 截线同侧，被截两直线之间 形如“U”（倒置/旋转均可） 知识点二：平行线的判定定理（核心：由角的关系推线的平行） 判定1：同位角相等，两直线平行， 符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b。 如下图。 判定2：内错角相等，两直线平行， 符号语言：∵∠1=∠3，∴a∥b。如下图。 判定3：同旁内角互补，两直线平行， 符号语言：∵∠1+∠4=180°，∴a∥b。如下图。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，即若a∥c，b∥c，则a∥b。 知识点三 平行线的性质 1. 平行线的性质定理（核心：由线的平行推角的关系，与判定定理互逆） 性质1：两直线平行，同位角相等，符号语言：∵a∥b，∴∠1=∠2。 性质2：两直线平行，内错角相等，符号语言：∵a∥b，∴∠1=∠3。 性质3：两直线平行，同旁内角互补，符号语言：∵a∥b，∴∠1+∠4=180°。 例题精讲 知识点一 内错角、同位角、同旁内角概念 【例题1】如图，与的位置关系是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【对应练习】 1、下列图中不是同位角的是（　　） A. B. C. D. 2、如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 知识点二：平行线的判定定理 【例题1】如图，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【对应练习】 1、如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 2、下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 3、如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【变式练习】 1、如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【例题3】如图，在中． （1）尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不用写作法） ： 【变式练习】 1、根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： （1）过点作直线； 【例题4】在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 【对应练习】 1、问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 2、如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 3、如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，GE平分，GF平分，，ABCD吗？为什么？ 答： 解：因为GE平分，GF平分（已知） 所以＝2 ． ＝2 ．(                  ) 所以+＝ (等式性质) 因为（已知） 所以+＝ ． 所以ABCD(                     )． 4、如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【例题5】如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【对应练习】 1、当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D． （1）若于点O，与平行吗？说说你的理由． （2）若，求的度数． 知识点三 平行线的性质 【例题1】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【对应练习】 1、如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 °． 【例题2】随着人们对环境日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【对应练习】 1、如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2、如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3、杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【例题3】如图，直线，，求、的度数． 根据下面的解答过程，填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） ∴（______） ∵（______），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（______） 【对应练习】 1、如图，已知，．求证：． 证明：（已知），（ ） （等量代换） ∥________（同位角相等，两直线平行） ________（ ） （已知） ________（等量代换） （ ） （ ） 2、完成证明并写出推理根据： 已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接，若，． 求证：． 证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 3、 如图，，与，交于点，，平分，，求的度数．请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点，（______）． （______） （______）（已知）， （______）． （已知）， （______）， ______． 平分（已知）， ____________（______）． 知识点四 平行线的判定与性质综合 【例题1】泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（   ） A． B． C． D． 【对应练习】 1、如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 2、平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【例题2】某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下从正面看到的图形，上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点处）可以控制椅背以的速度顺时针旋转，按下开关2（装在点处）可以控制腿托以的速度顺时针旋转． （1）课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）午休时小明想要在图1的状态下将椅子调到最舒适的状态（腿托与椅背平行），于是他同时按下开关1、2，请帮小明计算按下开关多久后可以达到最舒适的状态？ 【对应练习】 1、一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【例题3】如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； 【对应练习】 1、如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 2、如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 课后练习 1、如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2、如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有 ．（填序号） 3、如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4、如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5、如图，直线a，b被c所截，下列结论：①和互为对顶角；②和是同位角；③和是内错角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．其中结论一定正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6、 如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A. B. C. D. 7、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8、 请阅读以下“预防近视”知识卡： 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（　　） 读书、写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角（如图视线与水平线的夹角），在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼睛与书本的距离1尺，身体与桌子距离1拳，握笔时，手指离笔尖1寸，书本与课桌的角度要保持在至 A. B. C. D. 9、如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 10、为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 11、一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 12、如图：已知：，， 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， 又∵， ∴____（_____）． ∴（_____）． ∴（_____）． 13、填空并完成推理过程． 如图，点为上的点，点为上的点，，，试说明：． 证明：∵（已知） （______） ∴（______） ∴__________（同位角相等，两直线平行．） ∴（______） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（______） 学科网（北京）股份有限公司 $